Travaux Dirigés 4

L2S3 – Maths pour l’info
Travaux Dirigés 4
Logique du premier ordre
Exercice 1 – Syntaxe des formules
On considère la signature S = {a, b, c, E, =} où a, b, c sont des prédicats unaires, E est
un prédicat binaire, et = est le prédicat d’égalité. On appelle FO(S) la logique du premier
ordre sur la signature S. 1 .
Les expressions suivantes sont-elles des formules de FO(S) ?
1. x ∨ (x ∧ y)
2. ¬a(x)
3. ∀(x ⇒ y)
4. ∀xa(x) ∧ b(x)
5. ∀x∃y((a(y) ∧ a(x)) ⇒ x = y)
6. (∀xa(x)) ∨ ∃y(b(y) ∧ E(x, y))
7. (∀x c(x)) ⇒ (∃y(a(y) ∧ (∀x(b(x) ⇒ E(y, x)))))
Donnez une S−structure contenant au moins quatres éléments et dans laquelle aucune
interprétation des prédicats de S n’est une relation vide.
Exercice 2 – Aquarium
On considère une signature avec des prédicats unaires tels que humain, raison, poisson,
enfant, etc, et des prédicats binaires tels que gentil, ami, ennemi, aime, etc. Les variables
sont supposées représenter des êtres vivants (humains, poissons...). Traduisez chacune des
phrases suivantes en une formule de la logique du premier ordre :
1. Tous les êtres humains sont doués de raison.
2. Seuls les êtres humains sont doués de raison.
3. Les enfants sont des humains.
4. Aucun végétal n’est doué de raison.
5. Tous les poissons, sauf les requins, sont gentils avec les enfants.
6. Tout le monde aime quelqu’un et personne n’aime tout le monde.
7. Tout humain a des amis et des ennemis (comprendre : au moins un de chaque).
1. On parle aussi de logique du premier ordre munie des prédicats a, b, c, E et de l’égalité =
1
Exercice 3 – Libre ou liée ?
On considère une signature S − {a, b, E, F} où a et b sont des prédicats unaires, E un
prédicat binaire, R un prédicat d’arité 3.
1. Pour chacune des formules suivantes, déterminez les occurrences liées et libres de
chaque variable. Pour cela vous pouvez dessiner l’arbre syntaxique de la formule.
(a) (∀x a(x)) ∨ (∃y b(y))
(b) (∀x a(x)) ∧ (∃y E(x, y))
(c) (∀x E(x, y)) → (∃y F(x, y))
(d) ∀x ∃z (E(x, z) ⇒ ∃x∀yR(x, y, z))
(e) ∀x(((∃x E(x, z)) ∨ E(x, x)) ∧ ((∀y∃x R(x, y, z)) ∨ ∃z E(z, y)))
2. En renommant certaines variables, transformez chaque formule de sorte que chaque
variable n’ait soit que des occurences libres, soit que des occurences liées.
3. Une formule est dite close si elle ne contient aucune variable libre. Parmi les formules
précédentes, lesquelles sont closes ?
4. Donnez pour chacune des quatre premières formules une S−structure dans la quelle
la formule peut être vraie.
Exercice 4 – Une paire de premiers
On considère une signature S = {Pr, Pa} avec deux prédicats unaires : Pr qui représentent les nombres premiers, et Pa qui représent les nombres pairs.
Traduisez en formules logiques de FO(S) les énoncés :
1. Tout nombre pair est premier.
2. Aucun nombre pair n’est premier.
3. Certains nombres premiers sont pairs.
4. Certains nombres premiers ne sont pas pairs.
Parmi les formules obtenues, lesquelles sont vraies dans N ? Justifier les réponses.
Exercice 5 – Relations binaires
1. Rappelez ce qu’est une relation réflexive, symétrique, irréflexive et transitive.
2. On considère la signature S = {=, R} où R est un prédicat binaire. Écrivez les formules
du premier ordre correspondant à ces propriétés pour la relation correspondant à R.
3. Écrivez la formule qui dit qu’une relation symétrique et transitive est reflexive. Cette
formule a-t-elle un modèle ? Peut-on donner une interprétation qui la rende fausse ?
4. Écrivez la formule qui dit qu’une relation transitive et irréflexive est symétrique.
Cette formule a-t-elle un modèle ? Peut-on donner une interprétation qui la falsifie.
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