BTS ANALYSES BIOLOGIQUES 1999

BTS ANALYSES BIOLOGIQUES 1999
Devoir n°4 ; BTS 1 AB ; (Ellipses page 100)
Année scolaire 2005/2006
Le 15 Février 2006
Les calculatrices de poche sont autorisées. Le formulaire officiel est autorisé.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
EXERCICE 1 : ( points)
Les statistiques ont permis d’établir qu’en période de compétition la probabilité pour qu’un sportif
pris au hasard ; d’être déclaré positif est égale à 0,02.
Partie I :
La prise d’un médicament M peut entraîner; chez certains sportifs, un contrôle antidopage positif.
En période de compétition, ce médicament, qui diminue fortement les effets de la fatigue musculaire
est utilisé par 25% des sportifs. La probabilité, pour un tel sportif, d’être déclaré positif au contrôle
antidopage est alors égal à 0,05 ;
Pour un sportif choisi au hasard en période de compétition, on appelle :
A l’évènement “ utiliser le médicament M ” et
B l’évènement “ être déclaré positif au contrôle antidopage ” :
∂ – Préciser les probabilités suivantes : P(A) , P(B) , P(B/A) ; calculer alors P ( A ∩ B ) ;
∑ – Pour un sportif choisi au hasard en période de compétition calculer la probabilité de chacun
des évènements suivants :
E1 : “ utiliser le médicament M sachant qu’il est déclaré positif au contrôle antidopage ”
E2 : “ être déclaré positif au contrôle antidopage sachant qu’il n’utilise pas le médicament M ”
Partie II :
On fait subir des contrôles antidopages à un échantillon de 200 individus pris au hasard. On désigne
par X la variable aléatoire qui mesure le nombre d’individus dont les contrôles sont déclarés positifs.
Pour les questions suivantes les résultats seront arrondis à 10-3 près ;
∂ – Démontrer que X suit la loi binomiale B ( 200 , 0,02 ) ;
∑ – Calculer la probabilité qu’aucun contrôle ne soit déclaré positif ( donner les résultats à 0,001
près ) ; calculer l’espérance et la variance mathématique de X ;
Suite de l'épreuve : non demandée
∏ – Démontrer que la loi X peut être approchée par une loi de Poisson dont on précisera la valeur du paramètre λ ( λ = np ). Calculer la
probabilité p( X ≥ 1 ) ;
Partie III :
A la suite de contrôles antidopages, sur un échantillon de 200 individus pris au hasard ; 8 individus ont été déclarés positifs .
On désigne par F la variable aléatoire qui , à tout échantillon de 200 individus, associe le pourcentage de sportifs déclarés positifs. On suppose que F
suit la loi normale
∂ – Au seuil de risque 0,10 calculer un intervalle de confiance centré en p0 = 0,02 permettant d’établir si l’échantillon choisi avant la compétition
sportive témoigne ou non d’une augmentation du dopage pour cette compétition.
© ELSA Productions NANTES Septembre 2005
– Page 1–
A
B
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Devoir n°4 ; BTS 1 AB ; (Ellipses page 100)
Année scolaire 2005/2006
Le 15 Février 2006
EXERCICE 1 ( points)
A∩B
Les statistiques ont permis d’établir qu’en période de compétition la probabilité pour qu’un sportif pris au hasard; d’être déclaré positif
est égale à 0,02.
Partie I :
A∩B
La prise d’un médicament M peut entraîner; chez certains sportifs, un contrôle antidopage positif. En période de compétition, ce
médicament, qui diminue fortement les effets de la fatigue musculaire est utilisé par 25% des sportifs. La probabilité, pour unA
tel sportif,
d’être déclaré positif au contrôle antidopage est alors égal à 0,05 ; Pour un sportif choisi au hasard en périodse de compétition, on appelle
A l’évènement “ utiliser le médicament M ” et B l’évènement
A ∩ B“ être déclaré positif au contrôle antidopage ” :
B
∂ – Préciser les probabilités suivantes : P(A) , P(B) , P(B/A) ; calculer alors P ( A ∩ B ) ;
Solution :
En hypothèse : p( A ) = 0,25 , p( B ) = 0,02 , p( B/A ) = 0,05 .
A
A ∩ B : “ utiliser le médicament M et être déclaré positif au contrôle antidopage ” ;
A∩B
Par définition de la probabilité conditionnelle
p ( A ∩ B ) = p( A ) . p( B/A ) = 0,25 0,05 = 0,0125 ;
B
A
A
A∩B
p(B/A) =
B
p(A) = 0,25
A
A∩B
A
B
p(B/A) =
B
A
A∩B
B
A∩B
A∩B
p ( A ∩ B ) = p( B ) . p( A/B )
A∩B
B
A
A
B
p(B) = 0,02
p(A/B) =
A∩B
BA
A∩B
B
A∩B
A∩B
A∩B
A∩B
AA∩∩BB
∑– Pour un sportif choisi au hasard en période de compétition calculer la probabilité deAchacun
:
∩ B des évènements suivants
A
∩
B
E1 : “ utiliser le médicament M sachant qu’il est déclaré positif au contrôle antidopage ” A ∩ B
E2 : “ être déclaré positif au contrôle antidopage sachant qu’il n’utilise pas le médicament M ”
Solution :
AA∩∩BB
En hypothèse : p( A ) = 0,25 , p( B ) = 0,02 , p( B/A ) = 0,05 .
A∩B
A∩B
a p(E1) = p( A/B ): “utiliser le médicament M sachant qu’il a été déclaré positif au contrôle antidopage” ;
A
∩B
p ( A ∩ B ) = 0,0125 = p( B ) . p( A/B ) = 0,02 . p( A/B ) = 0,0125 ; p( A/B ) = 0,0125 / 0,02 = 0,625 ;
= p B/A
p(pE( E
1 2))= 0,625 .
(
)
(
AA∩∩BB
p ( E2 ) = p B/A
a
A ∩n’utilise
B
: “ être déclaré positif au contrôle antidopage sachant qu’il
pas le médicament
A ∩MB” ;
)
A∩B
∩∩
Sachant que B = (A
BA
∩
AB)B
∪ B∩ A
(
)
((
)
))
(
)
et que les évènements ( B ∩ A ) et B ∩ A sont incompatibles
Sachant que B = ( B ∩ A ) ∪ B ∩ A
donc : p ( B ) = p ( B ∩ A ) +p B ∩ A
et que les évènements ( B ∩ A ) et B ∩ A sont incompatibles
AA∩p∩BBB∩ A
donc : 0,02 = 0, 0125+
donc : p ( B ) = p ( B ∩ A ) +p B ∩ A
donc : 0,02 − 0, 0125= p B ∩ A
donc : 0,02 = 0, 0125+ p B ∩ A
donc : 0, 0075= p B ∩ A
donc : 0,02 − 0, 0125= p B ∩ A
A∩∩BB conditionnelle :
Par définition de laAprobabilité
donc : 0, 0075= p B ∩ A
p B∩ A = p A p B/ A
Par définition
de laSeptembre
probabilité
conditionnelle : – Page 2–
© ELSA Productions
NANTES
2005
Puisque les évènements A et A sont contraires donc :
p B∩ A = p A p B/ A
(
(
)
(
(
(
)
( ) ( ()
)
( ) (
(
) (
() )
(
)
)
)
)
A∩B
A∩B
A∩B
A∩B
A∩B
A∩B
A∩B
(
donc : p ( B ) = p ( B ∩ A ) +p B ∩ A
)
(
)
donc : 0,02 − 0, 0125= p ( B ∩ A )
BTS ANALYSES BIOLOGIQUES 1999
donc : 0, 0075= p ( B ∩ A )
donc : 0,02 = 0, 0125+ p B ∩ A
Devoir n°4 ; BTS 1 AB ; (Ellipses page 100)
Année scolaire 2005/2006
Le 15 Février 2006
Par définition de la probabilité conditionnelle :
(
)
( ) (
p B∩ A = p A p B/ A
)
Puisque les évènements A et A sont contraires donc :
( )
( )
( )
Donc : p ( B ∩ A ) = 0, 0075 = p ( A ) p ( B / A ) = 0,75 p ( B / A ) ;
0, 0075
Donc : p ( B / A ) =
= 0, 01
0, 75
p A + p ( A ) = 1 ; p A + 0,25 = 1 ; p A = 1 - 0,25 = 0,75 ;
Partie II :
On fait subir des contrôles antidopages à un échantillon de 200 individus pris au hasard. On désigne par X la variable aléatoire qui
mesure le nombre d’individus dont les contrôles sont déclarés positifs. Pour les questions suivantes les résultats seront arrondis à 10-3
près ;
∂ – Démontrer que X suit la loi binomiale B ( 200 , 0,02 ) ;
Solution :
a L’expérience aléatoire qui consiste à effectuer un contrôle antidopage, conduit à deux issues contradictoires:
+ P : contrôle positif avec la probabilité p = 0,02 ;
+ P(barre) : contrôle négatif avec la probabilité q = 1 - p = 0,98 ;
a On peut considérer que les contrôles sont effectués dans un échantillon dont la taille n = 200 est très petite par
rapport à la population des sportifs ; ceci nous permet d’assimiler ces contrôles à des tirages successifs indépendants.
Ainsi X la variable aléatoire qui, à 200 individus, associe le nombre de contrôles antidopages positifs suit la loi binomiale
B ( n , p ) c’est à dire B ( 200 , 0,02 ).
∑ – Calculer la probabilité qu’aucun contrôle ne soit déclaré positif ; calculer l’espérance et la variance mathématique de X ;
Solution :
a p(X=0) =200C0 (0,02)0 (0,98)200 ≈ 0,017
a De plus E(X) = np = 200.0,02 = 4 et V(X) = np(1-p) = 200 0,02 0,98 = 3,92
� – Démontrer que la loi X peut être approchée par une loi de Poisson dont on précisera la valeur du paramètre λ ( λ = np
). Calculer la probabilité p( X ≥ 1 ) ;
Solution :
� Pour réaliser une approximation de X par une loi de Poisson les conditions sont : n ≥ 30 et np ≤10 ;
Dans le cas présent n = 200 et np = 4 ; donc on peut approximer la variable aléatoire X par une loi de Poisson de
paramètre λ = np = 4 ;
� Calculer la probabilité p( X ≥ 1 ) :
p( X ≥ 1 ) + p( X < 1 ) = p( X ≥ 1 )+p( X = 0 )= 1; p( X ≥ 1 ) = 1-p( X = 0 )= 1-0,018 ≈ 0,982 .
Remarque : p( X = 0 ) = 0,98200≈ 0,0175 , en considérant X comme loi binomiale.
Partie III :
A la suite de contrôles antidopages, sur un échantillon de 200 individus pris au hasard; 8 individus ont été déclarés positifs .
On désigne par F la variable aléatoire qui , à tout échantillon de 200 individus, associe le pourcentage de sportifs déclarés positifs. On
suppose que F suit la loi normale
� – Au seuil de risque 0,10 calculer un intervalle de confiance centré en p0 = 0,02 permettant d’établir si l’échantillon choisi
avant la compétition sportive témoigne ou non d’une augmentation du dopage pour cette compétition.
Solution :
Considérons la population P constituée par les sportifs ayant subi le test antidopage.
K la variable aléatoire qui à un sportif ayant subi le contrôle d’alcoolémie associe le résultat de ce contrôle ; toutefois
la proportion d’automobilistes présentant un contrôle positif est estimé à 0,02 noté p0 conventionnellement .;
Solution :
� LOI D’ÉCHANTILLONNAGE :
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Devoir n°3 ; BTS 1 BIO & AB ; (Ellipses page 100)
Année scolaire 2001/2002
Le 8 Janvier 2001
� RECHERCHE D’UN INTERVALLE :
Remarque : il s’agit de vérifier que la proportion f de l’échantillonde 200 personnes appartient ou non à un intervalle d’acceptation
centré en p0 = 0,02, dont l’amplitude dépend du seuil de confiance. Pour réaliser ce calcul nous disposons d’un outil : c’est la loi normale
qui, en fonction de ses caractéristiques p et σ , permettra de calculer cette amplitude.
� F suit la loi normale N ( 0,02 , σ(F) ) ; σ(F) calculable ;
(H0) hypothèse : « l’échantillon choisi avant la compétition sportive ne témoigne pas d’une augmentation du dopage
pour cette compétition »
Remarque : à partir de là deux méthodes sont préconisées :
Première méthode : la condition de vérification de l’hypothèse sera formulée sur la fonction F ,sur un intervalle de valeurs prises par
F ;.
Seconde méthode : la condition de vérification de l’hypothèse sera formulée en utilisant la variable
T = F /σ(F)
T variable suivant la loi normale centrée réduite .
� Première méthode
� On recherche un intervalle centré en p0 = 0,02 : [ 0,02 - h ; 0,02 + h ] tel que l’on ait 90% de chances d’avoir f
appartenant à cet intervalle , c’est à dire p( 0,02 - h < F < 0,02 + h ) = 0,90 ;
� En conclusion :
Si f appartient [ 0,02 - 1,645 σ(F) ; 0,02 +1,645 σ(F) ] : on accepte (H0) au risque 10 % ;
Si f n’appartient pas à [ 0,02 - 1,645 σ(F) ; 0,02 +1,645 σ(F) ] : on refuse (H0) au risque 10 % ;
� Seconde méthode :
� En conclusion :
Si |T| ≤ 1,645 : on accepte (H0) au risque 10 % ;
Si |T ≥ 1,645 : on refuse (H0) au risque 10 % ;
Solution :
� MISE EN OEUVRE :
� Première méthode :
� Calcul de [ 0,02 - 1,645 σ(F) ; 0,02 +1,645 σ(F) ] : 1,645 σ(F) = 1,645 x 0,0098 ≈ 0,016
Donc : [ 0,02 - 1,645 σ(F) ; 0,02 +1,645 σ(F) ] = [ 0,004 ; 0,0316 ] et f = 0,04
� puisque f > 0,0316 ; on rejette (H0) au risque 10 %
� Seconde méthode :
� puisque |t| > 1,645 on rejette (H0) au risque 10 %
� DÉCISION :
Au risque 10 % on affirme
Pour un échantillon de taille n
que l’échantillon choisi
= 200 ; le calcul nous donne une proportion f =
8/
avant la compétition sportive
200 = 0,04 c’est à dire 2 %.
témoigne d’une augmentation du
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dopage pour cette compétition.
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Année scolaire 2001/2002
Le 8 Janvier 2001
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© ELSA Productions NANTES Septembre 2001
Devoir n°3 ; BTS 1 BIO & AB ; (Ellipses page 100)
Année scolaire 2001/2002
Le 8 Janvier 2001
– Page 6–