On dit que deux vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque
<u,v>=0 .
Théorème 16. de Pythagore
Soient deux vecteurs orthognoaux u et v , alors ku+vk2=kuk2+kvk2
Théorème 17. La projection orthogonale d’un vecteur u sur le vecteur v (non nul).
On note proj v(u) le projeté orthogonal de u sur v; on le calcule comme suit: proj v(u)= <u, v >
kvk2v.
Il a la propriété: u-proj v(u) est orthogonal à v.
6. Représentation matricielle du produit scalaire de Rn
On considérera un vecteur u=
u1
u2
un
comme une matrice à n lignes et 1 colonne; le produit scalaire
de deux vecteurs est alors le produit de deux matrices, une matrice-ligne et une matrice colonne:
<u,v>=u1v1+u2v2++unvn=(u1,, un)
v1
vn
=tuv=tvu.
Proposition 18. Soient A∈Mnn(R), (u,v)∈Rn×Rn
<Au,v>=<u,tAv>.
Remarque 19. Traduction des systèmes d’équations linéaires en termes de produit scalaire
AX =b
<L1, X >
<Ln, X >
=b.
7. Orthogonalité (suite)
Définition 20. L’orthogonal d’un sous-espace vectoriel
Soit W un sous-espace vectoriel de Rnon désigne par W⊥l’ensemble des vecteurs qui sont orthogo-
naux à tous les vecteurs de W; c’est un sous-espace vectoriel de Rn, appelé l’ « orthogonal » de W.
Théorème 21. Soit A∈Mnp(R)le noyau de A est l’orthogonal de l’espace des lignes de A.
Exercice 6. Dans Rpon considère une famille libre (v1,, vn)telle que pour chaque i vi=
vi1
vi2
vip
et
F=Vect((v1,, vn).
a. Déterminer au plus vite la dimension de F.
b. Ecrire le système que doivent vérifier les vecteurs x=
x1
x2
xp
pour appartenir à F⊥.
c. Déterminer la dimension de l’ensemble des solutions de ce système.
d. En déduire la dimension de F⊥.
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