Divisibilité

Mme Morel-spécialité math-cours divisibilité
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Divisibilité
L’arithmétique n’est, à proprement parler que l’étude des nombres entiers. À première vue, cela semble
très restreint, mais les mathématiciens ont développé sur le sujet une histoire qui s’étend sur plus de
deux millénaires. Les plus grands mathématiciens se sont penchés sur la question : Pythagore, Euclide,
Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Hilbert, Weil et récemment Wiles. Pourquoi un tel attrait pour le sujet :
la simplicité des problèmes posés et la complexité des démonstrations (penser au théorème de Fermat!).
Ces nombres entiers sont partout présents dans notre entourage : pour compter, dénombrer, coder, en
passant du numéro de téléphone au numéro de sécurité sociale · · · ; ce sont eux aussi qui fournissent une
première idée de la notion d’infini.
Sans entrer dans l’extême complexité de la théorie des nombres, nous allons cette année découvrir
quelques notions et quelques théorèmes fondamentaux qui ouvrent les portes de problèmes passionnants.
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Quelques propriétés sur N et sur Z
Définition 1.0.1. L’ensemble des entiers {0; 1; 2; 3 · · · } est appelé ensemble des entiers naturels et noté
N.
L’ensemble des entiers {· · · ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; · · · } est appelé ensemble des entiers relatifs et noté
Z.
Remarques :
1. N ⊂ Z
2. N et Z sont stables apr l’addition et la multiplication.
Théorème 1.1. L’axiome du plus petit élément Toute partie non vide majorée de Z admet un plus
grand élément.
Toute partie non vide minorée de Z admet un plus petit élément.
Exemples :
1. Soit A = {5; 2; 8; 15; 68}. A est une partie de N. Son plus petit élément est 2.
2. Soit B l’ensemble des nombres impairs. B est une partie de N; son plus petit élément est 1.
Remarque : Une partie non vide de Z d’admet pas nécessairement de plus petit élément.
2
Divisibilité dans Z
2.1
Définition
Définition 2.1.1. Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a divise b si et seulement si il existe
un entier relatif k tel que ak = b. On note a|b. On a donc :
∀(a, b) ∈ Z2 (a|b ⇔ ∃k ∈ Z tel que ak = b)
On dit aussi que a est un diviseur de b; b est un multiple de a; b est divisible par a.
Exemples :
1. De l’égalité 4 × 9 = 36, on peut déduire que :
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• 36 est multiple de 4; de 9;
• 4 est un diviseur de 36;
• 9 divise 36.
2. L’ensemble des multiples de 3 est l’ensemble des nombres s’écrivant : 3 × k, k ∈ Z. On le note
3Z.
3. D’une manière générale, les multiples d’un entier a sont : · · · − 3a; −2a; −a; 0; a; 2a; 3a; 4a · · · .
On note donc aZ l’ensemble des multiples de a.
2.2
Premières propriétés
Théorème 2.1.
1. 0 est multiple de tout nombre (ou tout entier divise 0).
2. 1 est diviseur de tout nombre.
3. −1 est diviseur de tout nombre.
4. 1 n’a pas d’autre diviseur que 1 et -1.
5. a divise a pour tout entier relatif a.
6. Pour tout entier relatif a, a et −a ont les mêmes diviseurs.
Démonstration :
1. ∀n ∈ Z, n × 0 = 0.
2. ∀n ∈ Z, n × 1 = n.
3. ∀n ∈ Z, (−n) × (−1) = n.
4. Soit a un diviseur de 1. Alors il existe k ∈ Z tel que a × k = 1. Donc, a et k sont non nuls. Donc
1
k = ∈ Z. Donc a = ±1.
a
5. À faire.
2.3
Propriétés
Théorème 2.2. Soient a, b et c trois entiers relatifs.
1. a|b ⇔ ∀c ∈ Z, a|bc.
2. Si a divise b et b divise a alors a = b ou a = −b.
3. Si a divise b et b divise c alors a divise c. (transitivité de la relation de divisibilité)
4. Si a divise b et c, alors a divise b + c, b − c et d’une manière générale tout entier de la forme bu + cv
où u et v sont des entiers relatifs.
Démonstration :
1. a|b donc ∃k ∈ Z tel que ak = b. Donc bc = akc = (kc)a donc a|(bc).
2. a|b donc ∃k ∈ Z tel que ak = b.
0
0
b|a donc ∃k ∈ Z tel que bk = a.
0
0
0
0
On a donc : (ak)k = bk = a, donc kk = 1. Or 1 n’ayant que 1 et -1 pour diviseurs, k = k = 1
0
ou k = k = −1. Donc a = b ou a = −b.
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3. a|b donc ∃k ∈ Z tel que ak = b.
0
0
b|c donc ∃k ∈ Z tel que bk = c.
0
0
0
0
On a donc : c = bk = (ak)k = a(kk ). Or kk ∈ Z, donc a|c.
4. a|b donc ∃x ∈ Z tel que ax = b.
a|c donc ∃y ∈ Z tel que ay = c.
Donc b + c = ax + ay = a(x + y) donc a|(b + c).
Remarque : On peut montrer par récurrence que si un entier a divise plusieurs entiers a1 , · · · , an alors
il divise aussi tout entier de la forme a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un où u1 · · · un sont des entiers donnés.
2.4
Pour aller plus loin
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls. Montrer :
1. Si a|b alors |a| 6 |b|
2. En déduire que les diviseurs d’un nombre entier non nul sont en nombre fini.
3
Division euclidienne
3.1
Principe de la division euclidienne
Théorème 3.1. Soit b un entier naturel non nul. Alors, pour tout entier relatif a, il existe un unique
entier (relatif) q et un unique entier r tels que a = bq + r et 0 6 r < b.
Démonstration :
Existence :
1. Si 0 6 a < b, on prend alors q = 0 et r = a.
2. Si a > b, alors a et b sont deux entiers naturels strictement positifs. Soit alors E = {n ∈
N tels que nb 6 a}.
E est une partie de N non vide (1 ∈ E), majoré (a est un majorant), donc E admet un plus grand
élément. On le note q.
Soit alors r = a − bq. q ∈ E donc bq 6 a donc r > 0. De plus, a, b et q étant des entiers, r est
un entier.
q est le plus grand élément de E. Donc q + 1 ∈
/ E. Par suite, a < (q + 1)b, c’est-à-dire
qb + r 6 a < qb + b, donc r < b. On a donc a = bq + r avec 0 6 r < b, q et r étant des entiers.
3. Si a < 0, il existe alors un couple (q; r) ∈ Z × N tel que −a = bq + r et 0 6 r < b. Si r = 0 on a
alors a = (−q)b et si r 6= 0, on a alors a = (−q − 1)b + b − r, avec 0 6 b − r < b.
0
0
Unicité : Supposons qu’il existe deux couples (q; r) et (q ; r ) répondant au problème posé.
0
0
0
0
0
On a : bq + r = bq + r donc b(q − q ) = r − r, donc b divise r − r.
0
0
De plus, 0 6 r < b et 0 6 r < b, donc −b < r − r < b. Le seul multiple de b compris strictement entre
0
0
−b et b étant 0, on en déduit que r = r . b étant non nul, on a alors q = q .
Remarque : Le théorème reste vrai si b est un entier négatif.
Définition 3.1.1. Déterminer q et r s’appelle faire la division euclidienne de a par b.
• a s’appelle le dividende.
• b est le diviseur.
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• q est le quotient.
• r est le reste.
Exemples :
1. On veut effectuer la division euclidienne de 37 par 5.
Pour cela, on cherche les multiples du diviseur (5) et on choisit celui qui précède immédiatement
le multiple supérieur au dividende :
les multiples de 5 sont : 0 5 10 15 20 25 30 35 40 · · · On choisit donc 35 = 5 × 7 car 40 > 37.
On a alors : 37 = 5 × 7 + 2.
2. Avec la calculatrice :
• TI 89 : le quotient est obtenu par intDiv(37,5) (en français divEnt(37,5)); le reste est obtenu
par remain(37,5) (en français reste (37,5))
• TI 82 (qui ne connaı̂t pas la division euclidienne) : il faut utiliser la fonction partie entière.
Pour obtenir le quotient, demander int((37,5) (aller dans MATH/NUM). Une fois le quotient
obtenu, on trouve le reste an calculant : 37 − int(37, 5) × 5.
• Pour les Casio, faire de même avec Int (OPTION/NUM)
3. Le reste d’une division euclidienne par 2 est soit 0 soit 1.
3.2
Conséquences
On se place sous les hypothèses du théorème de la division euclidienne.
Théorème 3.2. b divise a équivaut à r = 0.
Démonstration :
• Si r = 0 alors a = bq, donc b divise a.
• Si b divise a alors il existe un entier q tel que a = bq. D’après l’unicité de la division euclidienne,
on en conclut que le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
Théorème 3.3. Il n’y a que b restes possibles dans la division euclidienne de a par b.
Démonstration : On a 0 6 r < b, b ∈ N∗ et r ∈ N, donc r ne peut prendre que b valeurs distinctes.
3.3
Applications
Problèmes de calendriers, systèmes de numération, cryptographie... : voir les exercices.