Divisibilité

Mme Morel-sp´ecialit´e math-cours divisibilit´e 1
Divisibilit´e
L’arithm´etique n’est, `a proprement parler que l’´etude des nombres entiers. ` A premi`ere vue, cela semble
tr`es restreint, mais les math´ematiciens ont d´evelopp´e sur le sujet une histoire qui s’´etend sur plus de
deux mill´enaires. Les plus grands math´ematiciens se sont pench´es sur la question : Pythagore, Euclide,
Fermat, Euler, Lagrange, Gauss, Hilbert, Weil et r´ecemment Wiles. Pourquoi un tel attrait pour le sujet :
la simplicit´e des probl`emes pos´es et la complexit´e des d´emonstrations (penser au th´eor`eme de Fermat!).
Ces nombres entiers sont partout pr´esents dans notre entourage : pour compter, d´enombrer, coder, en
passant du num´ero de t´el´ephone au num´ero de s´ecurit´e sociale · · · ; ce sont eux aussi qui fournissent une
premi`ere id´ee de la notion d’infini.
Sans entrer dans l’extˆeme complexit´e de la th´eorie des nombres, nous allons cette ann´ee d´ecouvrir
quelques notions et quelques th´eor`emes fondamentaux qui ouvrent les portes de probl`emes passionnants.
1 Quelques propri´et´es sur Net sur Z
D´efinition 1.0.1. L’ensemble des entiers {0; 1; 2; 3 · · · } est appel´e ensemble des entiers naturels et not´e
N.
L’ensemble des entiers {· · · ;−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; · · · } est appel´e ensemble des entiers relatifs et not´e
Z.
Remarques :
1. N⊂Z
2. Net Zsont stables apr l’addition et la multiplication.
Th´eor`eme 1.1. L’axiome du plus petit ´el´ement Toute partie non vide major´ee de Zadmet un plus
grand ´el´ement.
Toute partie non vide minor´ee de Zadmet un plus petit ´el´ement.
Exemples :
1. Soit A={5; 2; 8; 15; 68}.Aest une partie de N. Son plus petit ´el´ement est 2.
2. Soit Bl’ensemble des nombres impairs. Best une partie de N; son plus petit ´el´ement est 1.
Remarque : Une partie non vide de Zd’admet pas n´ecessairement de plus petit ´el´ement.
2 Divisibilit´e dans Z
2.1 D´efinition
D´efinition 2.1.1. Soient aet bdeux entiers relatifs. On dit que adivise bsi et seulement si il existe
un entier relatif ktel que ak =b. On note a|b. On a donc :
∀(a, b)∈Z2(a|b⇔ ∃k∈Ztel que ak =b)
On dit aussi que aest un diviseur de b;best un multiple de a;best divisible par a.
Exemples :
1. De l’´egalit´e 4×9 = 36, on peut d´eduire que :

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•36 est multiple de 4; de 9;
•4 est un diviseur de 36;
•9 divise 36.
2. L’ensemble des multiples de 3 est l’ensemble des nombres s’´ecrivant : 3×k,k∈Z. On le note
3Z.
3. D’une mani`ere g´en´erale, les multiples d’un entier asont : · · · − 3a;−2a;−a; 0; a; 2a; 3a; 4a· · · .
On note donc aZl’ensemble des multiples de a.
2.2 Premi`eres propri´et´es
Th´eor`eme 2.1. 1. 0 est multiple de tout nombre (ou tout entier divise 0).
2. 1est diviseur de tout nombre.
3. −1est diviseur de tout nombre.
4. 1n’a pas d’autre diviseur que 1 et -1.
5. adivise apour tout entier relatif a.
6. Pour tout entier relatif a,aet −aont les mˆemes diviseurs.
D´emonstration :
1. ∀n∈Z, n ×0 = 0.
2. ∀n∈Z,n×1 = n.
3. ∀n∈Z,(−n)×(−1) = n.
4. Soit aun diviseur de 1. Alors il existe k∈Ztel que a×k= 1. Donc, aet ksont non nuls. Donc
k=1
a∈Z. Donc a=±1.
5. ` A faire.
2.3 Propri´et´es
Th´eor`eme 2.2. Soient a,bet ctrois entiers relatifs.
1. a|b⇔ ∀c∈Z,a|bc.
2. Si adivise bet bdivise aalors a=bou a=−b.
3. Si adivise bet bdivise calors adivise c. (transitivit´e de la relation de divisibilit´e)
4. Si adivise bet c, alors adivise b+c,b−cet d’une mani`ere g´en´erale tout entier de la forme bu +cv
o`u uet vsont des entiers relatifs.
D´emonstration :
1. a|bdonc ∃k∈Ztel que ak =b. Donc bc =akc = (kc)adonc a|(bc).
2. a|bdonc ∃k∈Ztel que ak =b.
b|adonc ∃k0∈Ztel que bk0=a.
On a donc : (ak)k0=bk0=a, donc kk0= 1. Or 1 n’ayant que 1 et -1 pour diviseurs, k=k0= 1
ou k=k0=−1. Donc a=bou a=−b.

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3. a|bdonc ∃k∈Ztel que ak =b.
b|cdonc ∃k0∈Ztel que bk0=c.
On a donc : c=bk0= (ak)k0=a(kk0). Or kk0∈Z, donc a|c.
4. a|bdonc ∃x∈Ztel que ax =b.
a|cdonc ∃y∈Ztel que ay =c.
Donc b+c=ax +ay =a(x+y)donc a|(b+c).
Remarque : On peut montrer par r´ecurrence que si un entier adivise plusieurs entiers a1,· · · , analors
il divise aussi tout entier de la forme a1u1+a2u2+· · · +anuno`u u1· · · unsont des entiers donn´es.
2.4 Pour aller plus loin
Soient aet bdeux entiers relatifs non nuls. Montrer :
1. Si a|balors |a|6|b|
2. En d´eduire que les diviseurs d’un nombre entier non nul sont en nombre fini.
3 Division euclidienne
3.1 Principe de la division euclidienne
Th´eor`eme 3.1. Soit bun entier naturel non nul. Alors, pour tout entier relatif a, il existe un unique
entier (relatif) qet un unique entier rtels que a=bq +ret 06r < b.
D´emonstration :
Existence :
1. Si 06a < b, on prend alors q= 0 et r=a.
2. Si a>b, alors aet bsont deux entiers naturels strictement positifs. Soit alors E={n∈
Ntels que nb 6a}.
Eest une partie de Nnon vide (1∈E), major´e (aest un majorant), donc Eadmet un plus grand
´el´ement. On le note q.
Soit alors r=a−bq.q∈Edonc bq 6adonc r>0. De plus, a,bet q´etant des entiers, rest
un entier.
qest le plus grand ´el´ement de E. Donc q+ 1 /∈E. Par suite, a < (q+ 1)b, c’est-`a-dire
qb +r6a < qb +b, donc r < b. On a donc a=bq +ravec 06r < b,qet r´etant des entiers.
3. Si a < 0, il existe alors un couple (q;r)∈Z×Ntel que −a=bq +ret 06r < b. Si r= 0 on a
alors a= (−q)bet si r6= 0, on a alors a= (−q−1)b+b−r, avec 06b−r < b.
Unicit´e : Supposons qu’il existe deux couples (q;r)et (q0;r0)r´epondant au probl`eme pos´e.
On a : bq +r=bq0+r0donc b(q−q0) = r0−r, donc bdivise r0−r.
De plus, 06r < b et 06r0< b, donc −b < r0−r < b. Le seul multiple de bcompris strictement entre
−bet b´etant 0, on en d´eduit que r=r0.b´etant non nul, on a alors q=q0.
Remarque : Le th´eor`eme reste vrai si best un entier n´egatif.
D´efinition 3.1.1. D´eterminer qet rs’appelle faire la division euclidienne de apar b.
•as’appelle le dividende.
•best le diviseur.

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•qest le quotient.
•rest le reste.
Exemples :
1. On veut effectuer la division euclidienne de 37 par 5.
Pour cela, on cherche les multiples du diviseur (5) et on choisit celui qui pr´ec`ede imm´ediatement
le multiple sup´erieur au dividende :
les multiples de 5 sont : 0 5 10 15 20 25 30 35 40 · · · On choisit donc 35 = 5 ×7car 40 >37.
On a alors : 37 = 5 ×7+2.
2. Avec la calculatrice :
•TI 89 : le quotient est obtenu par intDiv(37,5) (en fran¸cais divEnt(37,5)); le reste est obtenu
par remain(37,5) (en fran¸cais reste (37,5))
•TI 82 (qui ne connaˆıt pas la division euclidienne) : il faut utiliser la fonction partie enti`ere.
Pour obtenir le quotient, demander int((37,5) (aller dans MATH/NUM). Une fois le quotient
obtenu, on trouve le reste an calculant : 37 −int(37,5) ×5.
•Pour les Casio, faire de mˆeme avec Int (OPTION/NUM)
3. Le reste d’une division euclidienne par 2 est soit 0 soit 1.
3.2 Cons´equences
On se place sous les hypoth`eses du th´eor`eme de la division euclidienne.
Th´eor`eme 3.2. bdivise a´equivaut `a r= 0.
D´emonstration :
•Si r= 0 alors a=bq, donc bdivise a.
•Si bdivise aalors il existe un entier qtel que a=bq. D’apr`es l’unicit´e de la division euclidienne,
on en conclut que le reste de la division euclidienne de apar best nul.
Th´eor`eme 3.3. Il n’y a que brestes possibles dans la division euclidienne de apar b.
D´emonstration : On a 06r < b,b∈N∗et r∈N, donc rne peut prendre que bvaleurs distinctes.
3.3 Applications
Probl`emes de calendriers, syst`emes de num´eration, cryptographie... : voir les exercices.