Exercices

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Exercices - Mathématiques
Année 2016-2017
C OUPLES ET VECTEURS DE VARIABLES ALÉATOIRES
1
C OUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES
E XERCICE 1 (*)
On tire au hasard un entier dans [[1, 100]] que l’on note X .
Puis on choisit au hasard un entier Y dans [[1, X ]].
E XERCICE 5 (***)
Une urne contient 4 boules rouges, 4 boules blanches et
2 boules jaunes. On tire successivement avec remise trois
boules. On note R le nombre de boules rouges et J le nombre de boules jaunes.
1) Donner l’univers image du couple (X , Y ).
1) Déterminer les lois de R et J
2) Donner la loi du couple (X , Y )
2) Déterminer la loi du couple (R, J ) et retrouver les lois
de R et J .
3) Donner la loi de Y .
4) Déterminer la loi de X sachant [Y = 20].
E XERCICE 2 (*)
On lance deux dés, X est le résultat du premier, Y est le
maximum des deux.
Voici deux façons de déterminer la loi de Y :
1) Déterminer P(Y ≤ k) pour k ∈ [[1; 6]] sans utiliser la
variable X . En déduire la loi de Y .
2) Déterminer la loi de (X , Y ). En déduire la loi de Y .
E XERCICE 3 (**)
Dans une urne qui contient n jetons numérotés de 1 à n, on
tire successivement (sans remise) deux jetons. On note X 1
le premier numéro, et X 2 le second numéro.
1) Décrire l’univers image du couple (X 1 , X 2 ).
2) Donner la loi du couple (X 1 , X 2 ).
3) On note X = min(X 1 , X 2 ) et Y = max(X 1 , X 2 ).
(a) Déterminer les lois marginales de X et de Y .
E XERCICE 6 (*)
Un avion transporte 230 passagers et leurs bagages. Il pèse
190 tonnes sans passagers ni bagages mais avec l’équipage
et plein de carburant.
Les consignes de sécurité interdisent le décollage si le poids
de l’appareil dépasse 220 tonnes. Les 230 places ont été
réservées et on sait que le poids d’un passager suit une loi
d’espérance 68kg et d’écart type 10kg.
On admet que le poids des bagages suit une loi d’espérance
égale à 18kg et d’écart type 7kg et que ces variables sont indépendantes.
1) Soit X la variable aléatoire égale au poids de l’appareil
au moment du décollage, calculer E(X ) et σ X
2) Déterminer un majorant de la probabilité que
l’appareil n’ait pas l’autorisation de décoller
E XERCICE 7 (**)
Soit (X n )n une suite de variables aléatoires de Bernoulli de
même paramètre p et indépendantes.
1) Soit Yn = X n X n+1 , déterminer la loi de Yn , son espérance et sa variance.
(b) Donner l’univers du couple (X , Y ).
(c) Déterminer la loi conjointe de (X , Y ). Vérifier
que l’on retrouve bien les lois marginales à partir de la loi conjointe.
2) Calculer Cov(Yi , Y j )
E XERCICE 8 (**)
Soient 0 < p < 1 et q = 1 − p,
4) On pose Z = Y − X .
(a) Déterminer l’univers image de Z .
(b) Déterminer la loi de Z .
2
VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES
E XERCICE 4 (*)
Soient X , Y deux variables aléatoires indépendantes qui
suivent la loi de Bernoulli de paramètre p.
1) Donner l’espérance de leur somme.
2) Donner l’espérance de leur minimum.
(X n )n est une suite de variables aléatoires indépendantes
de même loi de Bernoulli de paramètre p.
Pour k ∈ [[1; n]], on note Yk = X k + X k+1
1) Calculer pour k ∈ [[1; n]], Cov(Yk , Yk+1 )
2) Montrer que 0 < Cov(Yk , Yk+1 ) <
1
4
3) Calculer pour tout 1 ≤ k < l ≤ n, Cov(Yk , Yl )
4) (***) Soit ² > 0 fixé, montrer que
Ã
!
¯1 X
¯
n
¯
¯
lim P ¯
Yk − 2p ¯ > ² = 0
n→+∞
n k=1
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Exercices - Mathématiques
E XERCICE 9 (***) n joueurs visent une cible et chaque
joueur effectue deux tirs. À chaque tir, le joueur a une probabilité p de toucher la cible, les tirs sont indépendants les
uns des autres.
X désigne la variable aléatoire correspondant au nombre
de joueurs ayant atteint la cible au premier tir, Z désigne le
nombre de joueurs ayant atteint la cible au moins une fois
sur les deux tirs.
1) Déterminer la loi de X , son espérance et sa variance.
2) Montrer que Z suit une loi binomiale. Donner son
espérance et sa variance.
On note Y = Z − X .
3) Que représente la variable Y ? Déterminer sa loi.
4) Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
5) Calculer la covariance du couple (X , Y ).
E XERCICE 10 (***)
Un centre d’appels effectue n appels téléphoniques vers
n correspondants distincts dont chacun décroche avec la
probabilité p.
1) On note N1 le nombre de correspondants qui ont
décroché. Quelle est la loi de N1 ?
2) L’employé rappelle un peu plus tard les n − N1 correspondants qui n’ont pas décroché au premier appel. On note N2 le nombre de correspondants qui ont
décroché et N = N1 + N2 . Quelle est la loi de N ?
On suppose que la probabilité de décrocher au deuxième appel est également p.
Indication : On doit trouver une loi binomiale dont il
faut exprimer le paramètre en fonction de p.
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