2 4 6 21 21 21 + + 1000 140 1000

EXERCICES ET PROBLÈMES + certaines CORRECTIONS
1. Le dé pipé
On considère un dé cubique truqué de telle manière que la probabilité d’apparition d’une face soit
proportionnelle au nombre marqué sur la face supérieure de ce dé.
a) Déterminez la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. x + 2x + … + 6x = 1 d'où x =1/ 21
b) Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ? 246
21 21 21
++
2. Défectuosités
Un appareil produit en très grande série peut être défectueux à cause de deux défauts seulement désignés
par A et B. Dans un lot de 1000 appareils prélevés, on a constaté que 100 appareils présentaient le défaut A
(et peut-être aussi le défaut B), 80 appareils présentaient le défaut B
(et peut-être aussi le défaut A) et 40 présentaient simultanément les défauts A et B.
Un client achète un des appareils produits.
a) Calculez la probabilité pour que cet appareil ne présente aucun défaut. 1000 140
1000
−
b) Calculez la probabilité pour que cet appareil présente le défaut A seulement. 60
1000
c) Calculez la probabilité pour que cet appareil présente le défaut B seulement. 40
1000
3. Roi ou trèfle ?
On tire au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Calculez la probabilité d’obtenir :
a) le roi de trèfle ; b) un roi ; c) un trèfle ; d) un roi ou un trèfle ; e) ni roi ni trèfle.
1
52
4
52 13 52 13 3 52
+ 52 13 3
52
−−
5. Daltonisme
Une personne sur 1500 est daltonienne.
Combien doit-on prendre de personnes pour être sûr à 95 % d’avoir au moins un daltonien ?
prob("d'être daltonien") = 1/ 1500 d'où prob("ne pas être daltonien") = 1499/ 1500.
Cette situation est identique aux épreuves successives n−fois.
On obtient en résolvant 1499 95
1
1500 100
n
⎛⎞
>−
⎜⎟
⎝⎠ que n = 4493 personnes.
10. Espérance de vie
Sur 100 000 garçons qui naissent, 92152 sont encore en vie à 50 ans et 66419 à 70 ans (voir tables de
mortalité dans «Formulaires et Tables» de la CRM, page 150-151).
Quelle probabilité un homme de 50 ans a-t-il d’être encore en vie à 70 ans ?

92'152 66'419
192'152
−
− où utiliser la prob. conditionnelle ( selon moi, inutile dans cette situation)
12. Urne et boules
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules bleues ; on tire, au hasard, successivement et sans remise
deux boules de l’urne. Déterminez la probabilité d’obtenir deux boules bleues.
Effectuer un "arbre". Faire la somme des probabilité de chaque chemin.
prob("bleu 2e tirage" ∩ "bleu 1er tirage") = prob(" bleu 2e tirage" | "bleu 1er tirage") · prob( "bleu 1er tirage")
D'où ( 5 / 9) · ( 6 / 10 )= 1 / 3. Autre méthode avec "épreuves successives" aboutit au même calcul.
13. Le Grand Vizir et le condamné
Cette histoire, qui se passe dans un pays d’Orient, met en scène un condamné et le grand vizir.
Le condamné obtiendra sa grâce si, tirant au hasard une boule dans une urne, cette boule est blanche.
Il a le choix entre deux urnes identiques, chacune contenant 10 boules blanches et 10 boules noires.
Avant de procéder au tirage, le condamné demande au grand vizir la permission de répartir les boules
autrement entre les deux urnes. Permission que le grand vizir lui accorde, considérant que, « le nombre de
boules blanches étant toujours égal au nombre de boules noires, le prisonnier aura une chance sur deux de
tirer une blanche quelle que soit la répartition des boules ».
Existe-t-il une stratégie permettant au prisonnier d’augmenter la probabilité d’obtenir sa grâce ?
Prendre par exemple la répartition 4 blanches et une noire dans 1er urne et le reste dans l'autre.
D'où (d'après "épreuves successives" (1/2)·(4/5) + (1/2)·(6/15) = 3 / 5 = 0,6 > 0,5.
Qui fait mieux ?
14. Salles d’opération (lire d'abord les deux premières lignes de la correction, avant de …)
Un hôpital comporte deux salles d’opération qui ont la même probabilité d’être occupées. La probabilité
que l’une des salles au moins soit occupée vaut 0,9 , celle que toutes deux soient occupées 0,5 . Quelle
probabilité y a-t-il que a)que la première salle soit libre ? 0,2 + 0,1
b) les deux salles soient libres ? 0,1
c) l’une des salles au moins soit libre ? 1− 0,5
d) une seule salle soit libre ? 0,2 + 0,2
e) la seconde salle soit libre si l’on sait que la première est occupée ?
Les événements A et B suivants sont-ils indépendants ? A : « la première salle est occupée » 0,7
B : « la seconde salle est occupée » 0,7
L'univers U ={ (l;l) ; (l;o) ; ( o;l) ; (o;o) } l = "libre" et o = "occupée"
Les probabilités associées (après réflexion) : p((l;l)) = 0,1 ; p((l;o))=p(( o;l)) = 0,2 et p((o;o)) =0,5.
p(2e libre | 1er occup) = p(2e libre ∩ 1er occup) ÷ p(1er occ) = 0,2 / 0,7
et enfin : 0,5 =
?
( ) ( ) ( ) 0, 49pA B pA pB∩=⋅= alors NON !
17. Test