probabilité choisir -avec

L5–1 Gilles DUCHARME (2012)
Leçon 1!: Eléments de la théorie des probabilités
Partie 1!: Probabilités et Hasard
➧ La théorie des probabilités permet de quantifier le hasard. Elle ne cherche pas à
définir ce hasard. Ses fondements reposent sur des idées de simple bon sens,
communément admises. On commence par l’exemple du dé, où l’intuition
fonctionne facilement.
Exemple!: Le jeu de dé
• Si on utilise un dé, à moins de vouloir tricher, on souhaite qu’il soit tel que chacun
des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6 ait la même chance de sortir.
• Le modèle idéal du dé honnête confère donc à chaque face du dé une probabilité 1/6
• Un dé réel n’est jamais équilibré, ne serait-ce que parce que chaque face porte un
nombre différent de trous, chaque trou correspondant à la perte d’un peu de matière
• Le modèle du dé réel confère à chaque face du dé sa propre probabilité p1, p2,…, p6.
Ces nombres sont ∈ [0, 1], a priori inconnus et tels que p1 + p2 +…+ p6 = 1

L5–2 Gilles DUCHARME (2012)
➧ L’idée d’additivité est basique en théorie des probabilités
• Quand on jette un dé honnête, on conçoit que la probabilité de voir apparaître un
nombre pair 2, 4 ou 6 est égale à la probabilité de voir apparaître un nombre impair
1, 3 ou 5. Chacune des deux réalisations a donc une probabilité 1/2.
• Or 1/2 est aussi la somme des probabilités individuelles de chaque face!:
Pr{ 2, 4 ou 6 } = 1/2 = Pr{ 2} + Pr{ 4} + Pr{ 6}
= 1/6 + 1/6 + 1/6
• Si on applique les mêmes idées au dé réel, la probabilité d’un nombre pair est
Pr{ 2, 4 ou 6 } = p2 + p4 + p6
et la probabilité d’un nombre impair est Pr{ 1, 3 ou 5 } = p1 + p3 + p5.
• Selon les mêmes idées, la probabilité de voir apparaître un multiple de trois est
Pr{ 3 ou 6 } = p3 + p6 (= 1/3 si le dé est honnête)

L5–3 Gilles DUCHARME (2012)
Partie 2!: Indépendance
➧ L’idée d’indépendance est très importante dans les applications. Cette notion
intuitive peut s’exprimer en termes de probabilités. On la comprend plus facilement
à l’aide de l’exemple d’un jeu de cartes.
Exemple!: Jeu de 52 cartes
• On choisit une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes et on demande à un
candidat de deviner si cette carte est un ♠, un ♥, un ♦ ou un ♣
• À moins de disposer d’un don, le candidat répond !«!au hasard!» et il a, par
conséquent, une chance sur quatre (13/52 = 1/4) de donner la bonne réponse
• Supposons qu’on donne au candidat un indice!: on lui dit que la carte est Valet…
• Le candidat sait maintenant que la carte choisie est le V♠, V♥, V♦ ou le V♣
• Mais ceci ne résout pas son problème : le candidat doit toujours dire si la carte est
un ♠, un ♥, un ♦ ou un ♣!!!

L5–4 Gilles DUCHARME (2012)
• Il a toujours une chance sur quatre (1/4) de bien répondre puisque qu’il y a un
Valet de chaque couleur.
• Les mêmes conclusions suivraient si on lui avait dit que la carte choisie était un
«!As!», ou n’importe quelle autre valeur.
➧ Ici, l’information concernant la valeur de la carte n’apporte aucune information
concernant sa couleur.
➧ On dit que la «!valeur!» de la carte est indépendante de sa «!couleur»!: toute
réalisation concernant uniquement la valeur de la carte est indépendante de toute
réalisation concernant uniquement la couleur de la carte.
➧ Comment cela se traduit-il en termes de probabilités!?

L5–5 Gilles DUCHARME (2012)
• La probabilité que la carte choisie soit d’une couleur donnée (♠, ♥, ♦, ♣) est
p♠ = p♥ = p♦ = p♣ =
1
4
( =
13
52
)
• La probabilité que la carte choisie soit d’une valeur donnée (A, R, D, V, 10,…, 2) est
pA = pR = … = p2 =
1
13
( =
4
52
)
• La probabilité d’une réalisation «!valeur!, couleur » comme par exemple V♥, est de
1
52
puisqu’il n’y a qu’un seul V♥ (idem pour les autres réalisations!: R♠, A♦ etc..)
• Or
pV♥ =
1
52
=
1
13
x
1
4
= pV x p♥
➧ Cette propriété caractérise l’indépendance des réalisations «!la valeur de la carte
est!x!» et «!la couleur de la carte est!y!». La probabilité de leur concomitance pxy
est le produit des probabilités de chacune d’entre elles: pxy = px x py