Mathématiques 2 - chap4 Applications linéaires

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Chapitre 4 : Applications linéaires
I. Applications
Dans ce paragraphe, on s’intéresse à des applications allant d’un ensemble à un autre (sans
aucune structure d’espace vectoriel).
Un ensemble est un « regroupement » d’une liste d’éléments.
Une application d’un ensemble ܣ vers un ensemble ܤ est la donnée, pour chaque élément de
ܣ, d’un élément de ܤ.
L’application consiste à associer ainsi un élément de ܤ à chaque élément de ܣ.
Définition :
L’élément ܾ de ܤ qu’on associe à l’élément ܽ de ܣ est appelé image de ܽ par l’application,
qu’on va noter ݂ , et on écrit ܾ=݂(ܽ) .
ܽ est alors antécédent de ܾ par ݂.
Plus généralement, on appelle antécédent par ݂ de ܾ∈ܤ tout élément ܽ∈ܣ tel que =݂(ܽ) .
Remarque :
Si ݂ est une application de ܣ vers ܤ, tout élément de ܣ a une image par ݂ et elle est unique.
Un élément de ܤ peut avoir 0,1 ou plusieurs antécédents.
Définition :
Soit ݂:ܣ→ܤ .
݂ est injective si et seulement tout élément de ܤ admet au plus un antécédent par ݂.
Propriété :
Soit ݂:ܣ→ܤ .
݂ est injective si et seulement si ݂(ܽ
ଵ
)=݂(ܽ
ଶ
) → ܽ
ଵ
=ܽ
ଶ
Définition :
Soit ݂:ܣ→ܤ .
݂ est surjective si et seulement tout élément de ܤ admet au moins un antécédent.
Définition :
Soit ݂:ܣ→ܤ .
݂ est bijective si et seulement si ݂ est à la fois injective et surjective.
Propriété :
݂ est bijective si et seulement si tout élément de ܤ admet un unique antécédent par ݂.

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II. Applications linéaires
On va s’intéresser à des applications d’un espace vectoriel à un autre espace vectoriel qui
respecte les opérations existantes dans ces espaces vectoriels.
Définition :
Soit ܧ et ܨ 2 espaces vectoriels sur ॶ.
Soit ݂ une application de ܧ vers ܨ.
݂ est dite linéaire si et seulement si :
i. ∀ ݔ,ݕ∈ܧ ݂(ݔ+ݕ)=݂(ݔ)+݂(ݕ)
ii. ∀ ݔ∈ܧ ∀ ߣ∈ॶ ݂(ߣݔ)=ߣ݂(ݔ)
Propriété :
݂ est linéaire si et seulement si elle transforme une combinaison linéaire en la combinaison
linéaire des images, c'est-à-dire :
∀ ߣ,ߤ∈ॶ
∀ ݔ,ݕ∈ܧ ݂(ߣݔ+ߤݕ)=ߣ݂(ݔ)+ߤ݂(ݕ)
Propriété :
Soit ݂:ܧ→ܨ une application linéaire.
i. ݂(0
ா
)=0
ி
ii. ݂(−ݔ)=−݂(ݔ)
Notation :
On note ܮ(ܧ,ܨ) l’ensemble des applications linéaires de ܧ vers ܨ.
Définition :
Lorsque ܧ=ܨ , on appelle une application linéaire de ܧ vers ܧ un endomorphisme de ܧ et
on note ܮ(ܧ) au lieu de ܮ(ܧ,ܧ) .
Notation :
Soit ݂∈ܮ(ܧ,ܨ) et soit ܸ∈ܧ un sous-espace vectoriel.
On note ݂(ܸ)=ሼ݂(ݒ) , ݒ∈ܸሽ .
Soit ܹ⊂ܨ un sous-espace vectoriel.
On note ݂
ିଵ
(ܹ)=ሼݔ∈ܧ, ݂(ݔ)∈ܹሽ l’image réciproque de ܹ.
Remarque :
Dans l’image réciproque, le « −1 » en exposant est une notation et on ne suppose pas
l’existence d’une application réciproque.
Propriété :
Avec ces mêmes notations :
Soit ܸ un sous-espace vectoriel de ܧ, ݂(ܸ) est alors un sous-espace vectoriel de ܨ.
Soit ܹ un sous-espace vectoriel de ܨ, ݂
ିଵ
(ܹ) est alors un sous-espace vectoriel de ܧ.
Remarque : ݂
ିଵ
(ܨ)=ܧ
݂(ሼ0
ா
ሽ)=ሼ0
ி
ሽ

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Définition :
Soit ݂∈ܮ(ܧ,ܨ) .
i. On appelle image de ݂, noté ܫ݉ ݂ , le sous-espace vectoriel de ܨ constitué des
images de tous les éléments de ܧ, c'est-à-dire ݂(ܧ) .
ii. On appelle noyau de ݂, noté ܭ݁ݎ ݂ , le sous-espace vectoriel de ܧ constitué des
antécédents de 0
ி
, c'est-à-dire ݂
ିଵ
(ሼ0
ி
ሽ) .
Propriété :
i. ݂ est surjective si et seulement si ܫ݉ ݂=ܨ.
ii. ݂ est injective si et seulement si ܭ݁ݎ ݂= ሼ0
ா
ሽ
On se place désormais dans la situation où dimܧ et dimܨ sont finies.
Définition :
On appelle rang de ࢌ∈ࡸ(ࡱ,ࡲ) , la dimension de l’image de ݂, noté ݎ݃ ݂ , c'est-à-dire
ݎ݃ ݂=dimܫ݉ ݂.
Théorème : formule du rang
Soit ݂∈ܮ(ܧ,ܨ) .
On a alors : dimܧ=dimܭ݁ݎ ݂=dimܫ݉ ݂=dimܭ݁ݎ ݂+ ݎ݃ ݂
Remarque :
Ce théorème sert très souvent dans les exercices. Il permet, si on connaît la dimension du noyau,
de connaître celle de l’image et réciproquement.
Propriété :
i. ݂ est surjective si et seulement si ݎ݃ ݂=dimܨ.
ii. ݂ est injective si et seulement si dimܭ݁ݎ ݂=0 .
Propriété : (cas particulier des endomorphismes)
Soit ݂∈ܮ(ܧ) .
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i. ݂ est injective.
ii. ݂ est surjective.
iii. ݂ est bijective.
Remarque :
C’est une conséquence du théorème du rang.
III. Applications linéaires et familles de vecteurs
Propriété :
Soit ݂∈ܮ(ܧ,ܨ) .
Soit (ݒ
ଵ
…ݒ
௞
) un famille de génératrice de ܧ .
Alors, la famille ൫݂(ݒ
ଵ
)…݂(ݒ
௞
)൯ est une famille génératrice de ݂(ܧ) (attention : pas de ܨ
lui-même).

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Remarque :
• L’image d’une famille génératrice de ܧ n’est pas généralement une famille génératrice
de ܨ.
• L’image d’une famille libre n’est pas généralement une famille libre.
• L’image d’une famille liée est toujours une famille liée.
• L’image par ݂ d’une base de ܧ n’est généralement pas une base de ܨ, ni même une
base de ݂(ܧ) .
On peut par contre déduire de la propriété une méthode pour calculer le rang de ݂.
Soit (ݒ
ଵ
…ݒ
௞
) une famille génératrice de ܧ.
Alors (݂(ݒ
ଵ
)…݂(ݒ
௞
)) forme une famille génératrice de ݂(ܧ)
Par échelonnement, on déduit une base de ܧ.
D’où : dim݂(ܧ)=dimܫ݉ ݂=ݎ݃ ݂
Et en particulier, cette méthode peut partir d’une base de ܧ.
Propriété :
Soit ݂∈ܮ(ܧ,ܨ).
݂ est entièrement déterminée si on connait les images des vecteurs d’une base de ܧ.
En effet, tout élément de ܧ est combinaison linéaire des vecteurs de base et ݂ transformant
une combinaison linéaire en une combinaison linéaire des images, on obtient le résultat.
Propriété : (cas particulier des endomorphismes)
Soit ݂∈ܮ(ܧ).
Alors ݂ est bijective si et seulement si l’image par ݂ d’une base de ܧ est une base de ܧ.
IV. Applications linéaires et matrices
Soit ݂∈ܮ(ܧ,ܨ) avec dimܧ=݌ et dimܨ=݊ .
Soit ܤ=൛ݒ
ଵ
,ݒ
ଶ
,…,ݒ
௣
ൟ une base de ܧ et ܤ
ᇱ
=ሼݓ
ଵ
,ݓ
ଶ
,…,ݓ
௡
ሽ une base de ܨ.
On a vu que si on connait ൫݂(ݒ
ଵ
)…݂(ݒ
௣
)൯ , on connait entièrement l’application linéaire ݂.
Or : ݂(ݒ
ଵ
)=ߣ
ଵଵ
ݓ
ଵ
+ߣ
ଶଵ
ݓ
ଶ
+⋯+ߣ
௡ଵ
ݓ
௡
ܽݒ݁ܿ ߣ
௝ଵ
∈ॶ
De même : ݂൫ݒ
௝
൯=ߣ
ଵ௝
(ݓ
ଵ
)+ߣ
ଶ௝
(ݓ
ଶ
)+⋯+ߣ
௡௝
(ݓ
௡
) ܽݒ݁ܿ ߣ
௜௝
∈ॶ
Ceci pour ݆=1…݌ . on a ainsi ݊×݌ coefficients ݆݅ .
Définition :
On appelle matrice de ݂ par rapport aux bases ܤ et ܤ′ respectivement de ܧ et ܨ la matrice
dont les coefficients sont les ൫ߣ
௜௝
൯
௜ୀଵ…௡
௝ୀଵ…௣
.
Remarque :
Il s’agit d’une matrice de ܯ
௡௣
(ॶ) .
Elle a autant de lignes que dimܨ et autant de colonnes que dimܧ .
Cette matrice est obtenue colonne par colonne, chaque colonne correspondant à un vecteur
de la base ܤ dont on donne les composants dans la base ܤ′.

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Remarque :
Cette matrice est dépendantes des choix des bases ܤ et ܤ′.
Pour une même application linéaire, on peut avoir des matrices différentes si on choisit des
bases différentes.
Exemple :
Soit ݂:ℝ
ଷ
→ℝ
ଶ
ቆݔ
ݕݖቇ⟶൬2ݔ+2ݕ+ݖ
ݔ−ݕ+2ݖ൰
i. ݂ est-elle linéaire ?
• ݂ቌቆݔ
ݕݖቇ+൭ݔ
ᇱ
ݕ
ᇱ
ݖ
ᇱ
൱ቍ=݂൭ݔ+ݔ
ᇱ
ݕ+ݕ
ᇱ
ݖ+ݖ
ᇱ
൱=൬2(ݔ+ݔ
ᇱ
)+2(ݕ+ݕ
ᇱ
)+(ݖ+ݖ
ᇱ
)
(ݔ+ݔ
ᇱ
)−(ݕ+ݕ
ᇱ
)+2(ݖ+ݖ
ᇱ
)൰
=൬2ݔ+2ݕ+ݖ+2ݔ
ᇱ
+2ݕ
ᇱ
+ݖ′
ݔ−ݕ+2ݖ+ݔ
ᇱ
−ݕ
ᇱ
+2ݖ′ ൰=൬2ݔ+2ݕ+ݖ
ݔ−ݕ+2ݖ൰+൬2ݔ
ᇱ
+2ݕ
ᇱ
+ݖ′
ݔ
ᇱ
−ݕ
ᇱ
+2ݖ′൰
=݂ቆݔ
ݕݖቇ+݂൭ݔ′
ݕ′
ݖ′൱
• ݂ቌߣቆݔ
ݕݖቇቍ=݂൭ߣݔ
ߣݕ
ߣݖ൱=൬2ߣݔ+2ߣݕ+ߣݖ
ߣݔ−ߣݕ+2ߣݖ൰=ߣ൬2ݔ+2ݕ+ݖ
ݔ−ݕ+2ݖ൰
=ߣ݂ቆݔ
ݕݖቇ
⟹ ݂ est une application linéaire.
ii. ܭ݁ݎ ݂=?
On cherche les éléments ቆݔ
ݕݖቇ∈ℝ
ଷ
tels que ݂ቆݔ
ݕݖቇ=ቀ0
0ቁ
Ce qui se traduit par :
൜2ݔ+2ݕ+ݖ=0
ݔ−ݕ+2ݖ=0 → ൜ 4ݕ−3ݖ=0 ݔ−ݕ+2ݖ=0
On obtient un système échelonné de 2 équations à 3 inconnues.
Par conséquent, les solutions forment un sous-espace vectoriel de dimension 1.