Mathématiques 2 - chap4 Applications linéaires

Chapitre 4 : Applications linéaires
I.
Applications
Dans ce paragraphe, on s’intéresse à des applications allant d’un ensemble à un autre (sans
aucune structure d’espace vectoriel).
Un ensemble est un « regroupement » d’une liste d’éléments.
Une application d’un ensemble ‫ ܣ‬vers un ensemble ‫ ܤ‬est la donnée, pour chaque élément de
‫ܣ‬, d’un élément de ‫ܤ‬.
L’application consiste à associer ainsi un élément de ‫ ܤ‬à chaque élément de ‫ܣ‬.
Définition :
L’élément ܾ de ‫ ܤ‬qu’on associe à l’élément ܽ de ‫ ܣ‬est appelé image de ܽ par l’application,
qu’on va noter ݂ , et on écrit ܾ = ݂(ܽ) .
ܽ est alors antécédent de ܾ par ݂.
Plus généralement, on appelle antécédent par ݂ de ܾ ∈ ‫ ܤ‬tout élément ܽ ∈ ‫ ܣ‬tel que = ݂(ܽ) .
Remarque :
Si ݂ est une application de ‫ ܣ‬vers ‫ܤ‬, tout élément de ‫ ܣ‬a une image par ݂ et elle est unique.
Un élément de ‫ ܤ‬peut avoir 0,1 ou plusieurs antécédents.
Définition :
Soit ݂: ‫ ܤ → ܣ‬.
݂ est injective si et seulement tout élément de ‫ ܤ‬admet au plus un antécédent par ݂.
Propriété :
Soit ݂: ‫ ܤ → ܣ‬.
݂ est injective si et seulement si ݂(ܽଵ ) = ݂(ܽଶ )
→
ܽଵ = ܽଶ
Définition :
Soit ݂: ‫ ܤ → ܣ‬.
݂ est surjective si et seulement tout élément de ‫ ܤ‬admet au moins un antécédent.
Définition :
Soit ݂: ‫ ܤ → ܣ‬.
݂ est bijective si et seulement si ݂ est à la fois injective et surjective.
Propriété :
݂ est bijective si et seulement si tout élément de ‫ ܤ‬admet un unique antécédent par ݂.
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II.
Applications linéaires
On va s’intéresser à des applications d’un espace vectoriel à un autre espace vectoriel qui
respecte les opérations existantes dans ces espaces vectoriels.
Définition :
Soit ‫ ܧ‬et ‫ ܨ‬2 espaces vectoriels sur ॶ.
Soit ݂ une application de ‫ ܧ‬vers ‫ܨ‬.
݂ est dite linéaire si et seulement si :
i. ∀ ‫ݔ‬, ‫ܧ ∈ ݕ‬
݂(‫ ݔ‬+ ‫ )ݔ(݂ = )ݕ‬+ ݂(‫)ݕ‬
∀ߣ ∈ॶ
݂(ߣ‫)ݔ(݂ߣ = )ݔ‬
ii. ∀ ‫ܧ ∈ ݔ‬
Propriété :
݂ est linéaire si et seulement si elle transforme une combinaison linéaire en la combinaison
linéaire des images, c'est-à-dire :
∀ ߣ, ߤ ∈ ॶ
݂(ߣ‫ ݔ‬+ ߤ‫ )ݔ(݂ߣ = )ݕ‬+ ߤ݂(‫)ݕ‬
∀ ‫ݔ‬, ‫ܧ ∈ ݕ‬
Propriété :
Soit ݂: ‫ ܨ → ܧ‬une application linéaire.
i. ݂(0ா ) = 0ி
ii. ݂(−‫ = )ݔ‬−݂(‫)ݔ‬
Notation :
On note ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬l’ensemble des applications linéaires de ‫ ܧ‬vers ‫ܨ‬.
Définition :
Lorsque ‫ ܨ = ܧ‬, on appelle une application linéaire de ‫ ܧ‬vers ‫ ܧ‬un endomorphisme de ‫ ܧ‬et
on note ‫ )ܧ(ܮ‬au lieu de ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܧ‬.
Notation :
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬et soit ܸ ∈ ‫ ܧ‬un sous-espace vectoriel.
On note ݂(ܸ) = ሼ݂(‫ )ݒ‬, ‫ܸ ∈ ݒ‬ሽ .
Soit ܹ ⊂ ‫ ܨ‬un sous-espace vectoriel.
On note ݂ ିଵ (ܹ) = ሼ‫ܧ ∈ ݔ‬, ݂(‫ܹ ∈ )ݔ‬ሽ l’image réciproque de ܹ.
Remarque :
Dans l’image réciproque, le « −1 » en exposant est une notation et on ne suppose pas
l’existence d’une application réciproque.
Propriété :
Avec ces mêmes notations :
Soit ܸ un sous-espace vectoriel de ‫ܧ‬, ݂(ܸ) est alors un sous-espace vectoriel de ‫ܨ‬.
Soit ܹ un sous-espace vectoriel de ‫ܨ‬, ݂ ିଵ (ܹ) est alors un sous-espace vectoriel de ‫ܧ‬.
Remarque :
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݂ ିଵ (‫ܧ = )ܨ‬
݂(ሼ0ா ሽ) = ሼ0ி ሽ
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Définition :
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬.
i. On appelle image de ݂, noté ‫ ݂ ݉ܫ‬, le sous-espace vectoriel de ‫ ܨ‬constitué des
images de tous les éléments de ‫ܧ‬, c'est-à-dire ݂(‫ )ܧ‬.
ii. On appelle noyau de ݂, noté ‫ ݂ ݎ݁ܭ‬, le sous-espace vectoriel de ‫ ܧ‬constitué des
antécédents de 0ி , c'est-à-dire ݂ ିଵ (ሼ0ி ሽ) .
Propriété :
i. ݂ est surjective si et seulement si ‫ܨ = ݂ ݉ܫ‬.
ii. ݂ est injective si et seulement si ‫ = ݂ ݎ݁ܭ‬ሼ0ா ሽ
On se place désormais dans la situation où dim ‫ ܧ‬et dim ‫ ܨ‬sont finies.
Définition :
On appelle rang de ࢌ ∈ ࡸ(ࡱ, ࡲ) , la dimension de l’image de ݂, noté ‫ ݂ ݃ݎ‬, c'est-à-dire
‫ = ݂ ݃ݎ‬dim ‫݂ ݉ܫ‬.
Théorème : formule du rang
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬.
On a alors :
dim ‫ = ܧ‬dim ‫ = ݂ ݎ݁ܭ‬dim ‫ = ݂ ݉ܫ‬dim ‫ ݂ ݎ݁ܭ‬+ ‫݂ ݃ݎ‬
Remarque :
Ce théorème sert très souvent dans les exercices. Il permet, si on connaît la dimension du noyau,
de connaître celle de l’image et réciproquement.
Propriété :
i. ݂ est surjective si et seulement si ‫ = ݂ ݃ݎ‬dim ‫ܨ‬.
ii. ݂ est injective si et seulement si dim ‫ = ݂ ݎ݁ܭ‬0 .
Propriété : (cas particulier des endomorphismes)
Soit ݂ ∈ ‫ )ܧ(ܮ‬.
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i. ݂ est injective.
ii. ݂ est surjective.
iii. ݂ est bijective.
Remarque :
C’est une conséquence du théorème du rang.
III.
Applications linéaires et familles de vecteurs
Propriété :
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬.
Soit (‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ) un famille de génératrice de ‫ ܧ‬.
Alors, la famille ൫݂(‫ݒ‬ଵ ) … ݂(‫ݒ‬௞ )൯ est une famille génératrice de ݂(‫( )ܧ‬attention : pas de ‫ܨ‬
lui-même).
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Remarque :
• L’image d’une famille génératrice de ‫ ܧ‬n’est pas généralement une famille génératrice
de ‫ܨ‬.
• L’image d’une famille libre n’est pas généralement une famille libre.
• L’image d’une famille liée est toujours une famille liée.
• L’image par ݂ d’une base de ‫ ܧ‬n’est généralement pas une base de ‫ܨ‬, ni même une
base de ݂(‫ )ܧ‬.
On peut par contre déduire de la propriété une méthode pour calculer le rang de ݂.
Soit (‫ݒ‬ଵ … ‫ݒ‬௞ ) une famille génératrice de ‫ܧ‬.
Alors (݂(‫ݒ‬ଵ ) … ݂(‫ݒ‬௞ )) forme une famille génératrice de ݂(‫)ܧ‬
Par échelonnement, on déduit une base de ‫ܧ‬.
D’où :
dim ݂(‫ = )ܧ‬dim ‫݂ ݃ݎ = ݂ ݉ܫ‬
Et en particulier, cette méthode peut partir d’une base de ‫ܧ‬.
Propriété :
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫)ܨ‬.
݂ est entièrement déterminée si on connait les images des vecteurs d’une base de ‫ܧ‬.
En effet, tout élément de ‫ ܧ‬est combinaison linéaire des vecteurs de base et ݂ transformant
une combinaison linéaire en une combinaison linéaire des images, on obtient le résultat.
Propriété : (cas particulier des endomorphismes)
Soit ݂ ∈ ‫)ܧ(ܮ‬.
Alors ݂ est bijective si et seulement si l’image par ݂ d’une base de ‫ ܧ‬est une base de ‫ܧ‬.
IV.
Applications linéaires et matrices
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬avec dim ‫ ݌ = ܧ‬et dim ‫ ݊ = ܨ‬.
Soit ‫ = ܤ‬൛‫ݒ‬ଵ , ‫ݒ‬ଶ , … , ‫ݒ‬௣ ൟ une base de ‫ ܧ‬et ‫ ܤ‬ᇱ = ሼ‫ݓ‬ଵ , ‫ݓ‬ଶ , … , ‫ݓ‬௡ ሽ une base de ‫ܨ‬.
On a vu que si on connait ൫݂(‫ݒ‬ଵ ) … ݂(‫ݒ‬௣ )൯ , on connait entièrement l’application linéaire ݂.
Or :
݂(‫ݒ‬ଵ ) = ߣଵଵ ‫ݓ‬ଵ + ߣଶଵ ‫ݓ‬ଶ + ⋯ + ߣ௡ଵ ‫ݓ‬௡
ܽ‫ߣ ܿ݁ݒ‬௝ଵ ∈ ॶ
De même :
݂൫‫ݒ‬௝ ൯ = ߣଵ௝ (‫ݓ‬ଵ ) + ߣଶ௝ (‫ݓ‬ଶ ) + ⋯ + ߣ௡௝ (‫ݓ‬௡ )
ܽ‫ߣ ܿ݁ݒ‬௜௝ ∈ ॶ
Ceci pour ݆ = 1 … ‫ ݌‬. on a ainsi ݊ × ‫ ݌‬coefficients ݆݅ .
Définition :
On appelle matrice de ݂ par rapport aux bases ‫ ܤ‬et ‫ܤ‬′ respectivement de ‫ ܧ‬et ‫ ܨ‬la matrice
dont les coefficients sont les ൫ߣ௜௝ ൯ ௜ୀଵ…௡ .
௝ୀଵ…௣
Remarque :
Il s’agit d’une matrice de ‫ܯ‬௡௣ (ॶ) .
Elle a autant de lignes que dim ‫ ܨ‬et autant de colonnes que dim ‫ ܧ‬.
Cette matrice est obtenue colonne par colonne, chaque colonne correspondant à un vecteur
de la base ‫ ܤ‬dont on donne les composants dans la base ‫ܤ‬′.
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Remarque :
Cette matrice est dépendantes des choix des bases ‫ ܤ‬et ‫ܤ‬′.
Pour une même application linéaire, on peut avoir des matrices différentes si on choisit des
bases différentes.
Exemple :
Soit ݂: ℝଷ → ℝଶ
i.
ii.
‫ݔ‬
2‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬
ቆ‫ݕ‬ቇ ⟶ ൬
൰
‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ݖ‬
‫ݖ‬
݂ est-elle linéaire ?
‫ݔ‬
‫ ݔ‬+ ‫ݔ‬ᇱ
‫ݔ‬ᇱ
2(‫ ݔ‬+ ‫ ݔ‬ᇱ ) + 2(‫ ݕ‬+ ‫ ݕ‬ᇱ ) + (‫ ݖ‬+ ‫ ݖ‬ᇱ )
• ݂ ቌቆ‫ݕ‬ቇ + ൭‫ ݕ‬ᇱ ൱ቍ = ݂ ൭‫ ݕ‬+ ‫ ݕ‬ᇱ ൱ = ൬
൰
(‫ ݔ‬+ ‫ ݔ‬ᇱ ) − (‫ ݕ‬+ ‫ ݕ‬ᇱ ) + 2(‫ ݖ‬+ ‫ ݖ‬ᇱ )
ᇱ
ᇱ
‫ݖ‬
‫ݖ‬+‫ݖ‬
‫ݖ‬
2‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ ݖ‬+ 2‫ ݔ‬ᇱ + 2‫ ݕ‬ᇱ + ‫ݖ‬′
2‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬
2‫ ݔ‬ᇱ + 2‫ ݕ‬ᇱ + ‫ݖ‬′
=൬
൰
=
൬
൰
+
൬
൰
‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ݖ‬
‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ ݖ‬+ ‫ ݔ‬ᇱ − ‫ ݕ‬ᇱ + 2‫ݖ‬′
‫ ݔ‬ᇱ − ‫ ݕ‬ᇱ + 2‫ݖ‬′
‫ݔ‬
‫ݔ‬′
= ݂ ቆ‫ݕ‬ቇ + ݂ ൭‫ݕ‬′൱
‫ݖ‬
‫ݖ‬′
‫ݔ‬
ߣ‫ݔ‬
2ߣ‫ ݔ‬+ 2ߣ‫ ݕ‬+ ߣ‫ݖ‬
2‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬
• ݂ ቌߣ ቆ‫ݕ‬ቇቍ = ݂ ൭ߣ‫ݕ‬൱ = ൬
൰ = ߣ൬
൰
‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ݖ‬
ߣ‫ ݔ‬− ߣ‫ ݕ‬+ 2ߣ‫ݖ‬
‫ݖ‬
ߣ‫ݖ‬
‫ݔ‬
= ߣ݂ ቆ‫ݕ‬ቇ
‫ݖ‬
⟹ ݂ est une application linéaire.
‫?= ݂ ݎ݁ܭ‬
‫ݔ‬
‫ݔ‬
0
ଷ
On cherche les éléments ቆ‫ݕ‬ቇ ∈ ℝ tels que ݂ ቆ‫ݕ‬ቇ = ቀ ቁ
0
‫ݖ‬
‫ݖ‬
Ce qui se traduit par :
2‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ = ݖ‬0
4‫ ݕ‬− 3‫ = ݖ‬0 ൜
→
൜
‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ = ݖ‬0
‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ = ݖ‬0
On obtient un système échelonné de 2 équations à 3 inconnues.
Par conséquent, les solutions forment un sous-espace vectoriel de dimension 1.
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On garde ‫ ݖ‬comme paramètre, d’où :
3
3
5
‫ݖ =ݕ‬
݁‫ݐ‬
‫ ݕ = ݔ‬− 2‫ ݖ = ݖ‬− 2‫ = ݖ‬− ‫ݖ‬
4
4
4
Les solutions sont donc :
5
5
−
− ‫ݖ‬
‫ ۇ‬4 ‫ۊ‬
‫ ۇ‬4‫ ۊ‬1 −5
=
‫ݖ‬
3
‫ۈ‬
‫ۋ‬
‫ ۈ‬3 ‫ = ۋ‬4‫ݖ‬൭ 3 ൱
‫ݖ‬
4
4
4
‫ی ݖ ۉ‬
‫ ۉ‬1 ‫ی‬
iii.
−5
Le noyau est le sous-espace vectoriel de dimension 1 de ℝଷ dont une base est ൭ 3 ൱
4
On applique le théorème du rang :
dim
ᇣᇤᇥ
‫ = ܧ‬dim
‫ݎ݁ܭ‬
݂ + dim ‫݂ ݉ܫ‬
ᇧᇥ
ᇣᇧᇧᇤᇧ
ଷ
ଵ
‫ = ݂ ݃ݎ‬dim ‫ = ݂ ݉ܫ‬2
Donc ‫ ݂ ݉ܫ‬est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de ℝଶ .
Donc :
dim ‫ = ݂ ݉ܫ‬ℝଶ
݂ est surjective (tout élément de ℝଶ est atteint).
On a donc :
iv.
1 0 0
1 0
On choisit sur ℝଷ la base canonique ൭0൱ ൭1൱ ൭0൱ et sur ℝଶ la base ቀ ቁ ቀ ቁ .
0 1
0 0 1
1
0
0
2
2
1
݂ ൭0 ൱ = ቀ ቁ
݂ ൭1൱ = ቀ ቁ
݂ ൭0൱ = ቀ ቁ
1
−1
2
0
0
1
D’où la matrice de ݂ par rapport aux bases canoniques de ℝଷ et de ℝଶ :
ଵ
௙൭଴൱
଴
൮
ฎ
2
1
଴
௙൭ଵ൱
଴
ฎ
2
−1
଴
௙൭଴൱
ଵ
ฎ
1
2
൲
ଵ
ቀ ቁ
଴
଴
ቀ ቁ
ଵ
1
1
0
2
݂ ൭0൱ = 2 ቀ ቁ + 1 ቀ ቁ = ቀ ቁ
0
1
1
0
Appelons ‫ ܣ‬cette matrice. On a bien ‫ܯ ∈ ܣ‬ଶଷ (ℝ) (autant de lignes que
dim ‫ = ܨ‬dim ℝଶ = 2 et autant de colonnes que dim ‫ = ܧ‬dim ℝଷ = 3
2 2
‫ ݃ݎ‬ቀ
1 −1
v.
0
0 1
1
0
ቁ ሱۛۛۛۛۛۛሮ
‫ ݃ݎ‬ቀ
ቁ ሱۛۛۛۛۛۛሮ
‫ ݃ݎ‬ቀ
஼
←஼
ିଶ஼
஼
←ିଵ/ଷ஼
భ
భ
య
భ
−3 −5 2 భ
2
1
஼మ ←஼మ ିଶ஼య
0 0
ሱۛۛۛۛۛۛሮ ‫ ݃ݎ‬ቀ
஼భ ←஼భ ି஼మ
0 1
2
ቁ=2
2
஼మ ←ିଵ/ହ஼మ
0 1
ቁ
1 2
1
2×1+2×2+3
9
݂ ൭2൱ = ቀ
ቁ=ቀ ቁ
1−2+2×3
5
3
Or :
1
1
9
2 2 1
ቁ ൭2 ൱ = ቀ ቁ
‫ܣ‬
ณ ൭2 ൱ = ቀ
5
1 −1 2
(ଶ,ଷ) ถ
3
3
(ଷ,ଵ)
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Et plus généralement :
‫ݔ‬
2 2
‫ ܣ‬ቆ‫ ݕ‬ቇ = ቀ
1 −1
‫ݖ‬
‫ݔ‬
2‫ ݔ‬+ 2‫ ݕ‬+ ‫ݖ‬
1 ‫ݕ‬
ቁቆ ቇ = ൬
൰
‫ ݔ‬− ‫ ݕ‬+ 2‫ݖ‬
2 ‫ݖ‬
Notation :
la matrice ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬par rapport aux bases ‫ ܤ‬et ‫ܤ‬′ est notée ‫ܯ‬஻஻ᇲ (݂) .
Propriété :
Le rang de ݂ (c'est-à-dire dim ‫ ) ݂ ݉ܫ‬est égal au rang de ‫ܯ‬஻஻ᇲ (݂) .
Conséquences :
Le rang de toute matrice représentant ݂ est le même, indépendamment du choix des bases.
Propriété :
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬et ‫ܤ‬, ‫ܤ‬′ respectivement bases de ‫ ܧ‬et ‫ܨ‬.
On note ‫ܯ = ܯ‬஻஻ᇲ (݂) .
Soit ܺ ∈ ‫ܯ‬௣ଵ (ॶ) contenant les coefficients de la décomposition d’un vecteur ‫ ܧ ∈ ݔ‬suivant ‫ܤ‬.
Alors ܻ ∈ ‫ܯ‬௡ଵ (ॶ) contenant les coefficients de la décomposition de ݂(‫ )ݔ‬suivant ‫ܤ‬′ est
obtenue par :
ܻ = ‫ܺܯ‬
Cas particulier d’un endomorphisme :
La matrice d’un endomorphisme est une matrice carrée.
Propriété :
Soit ݂ ∈ ‫ )ܧ(ܮ‬avec dim ‫ ݊ = ܧ‬.
On choisit une base ‫ ܤ‬de ‫ ܧ‬et on note ‫ܯ = ܯ‬஻ (݂) .
݂ est bijective si et seulement si det ‫ ≠ ܯ‬0 .
Propriété :
Soit ݂ ∈ ‫ )ܧ(ܮ‬avec dim ‫ ݊ = ܧ‬.
Soient ‫ܤ‬ଵ et ‫ܤ‬ଶ deux bases de ‫ ܧ‬et notons ‫ܯ‬ଵ = ‫ܯ‬஻ଵ (݂) et ‫ܯ‬ଶ = ‫ܯ‬஻ଶ (݂) .
Alors :
det ‫ܯ‬ଵ = det ‫ܯ‬ଶ
Définition :
On appelle déterminant d’un endomorphisme ݂ ∈ ‫ )ܧ(ܮ‬la valeur prise par le déterminant
d’une quelconque des matrices représentant ݂ dans une base de ‫ ܧ‬et on le note det ݂ .
Définition :
Un endomorphisme bijectif est appelé automorphisme.
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V.
Changement de base
Définition :
Soit ‫ ܧ‬un espace vectoriel de dimension ݊ sur ॶ .
Soient ‫ܤ‬ଵ et ‫ܤ‬ଶ deux bases de ‫ܧ‬.
‫ܤ‬ଵ = ሼ݁ଵ , ݁ଶ , … , ݁௡ ሽ
‫ܤ‬ଶ = ሼ݂ଵ , ݂ଶ , … , ݂௡ ሽ
On peut écrire :
݂ଵ = ߙଵଵ ݁ଵ + ߙଶଵ ݁ଶ + ⋯ + ߙ௡ଵ ݁௡
…
݂௝ = ߙଵ௝ ݁ଵ + ߙଶ௝ ݁ଶ + ⋯ + ߙ௡௝ ݁௡
ܽ‫ = ݆ ܿ݁ݒ‬1 … ݊
On appelle matrice de passage de la base ‫ܤ‬ଵ à la base ‫ܤ‬ଶ notée ܲ஻భ →஻మ la matrice de ‫ܯ‬௡ (ॶ)
dont les coefficients sont les ߙ௜௝ provenant des décompositions ci-dessus.
Remarque :
Soient ‫ܤ‬ଵ et ‫ܤ‬ଶ deux bases de ‫ܧ‬, espace vectoriel sur ॶ de dimension ݊ .
Soit ‫ܧ ∈ ݔ‬௡ .
‫ܽ = ݔ‬ଵ ݁ଵ + ܽଶ ݁ଶ + ⋯ + ܽ௡ ݁௡ = ܾଵ ݂ଵ + ܾଵ ݂ଶ + ⋯ + ܾ௡ ݂௡
Soit ܺଵ ∈ ‫ܯ‬௡ଵ (ॶ) contenant les coefficients de la décomposition de ‫ ݔ‬suivant ‫ܤ‬ଵ .
Soit ܺଶ ∈ ‫ܯ‬௡ଵ (ॶ) contenant les coefficients de la décomposition de ‫ ݔ‬suivant ‫ܤ‬ଶ .
Propriété :
Soit ‫ ܧ‬un espace vectoriel de ॶ et ‫ܤ‬ଵ , ‫ܤ‬ଶ deux bases de ‫ ܧ‬et ܲ஻భ →஻మ la matrice de passage.
Alors ܲ஻భ →஻మ est inversible et ܲ஻మ →஻భ = ܲ஻భ →஻మ ିଵ .
Exemple :
Soit ‫ = ܧ‬ℝଷ .
݂ଵ = 1݁ଵ + 1݁ଶ + 0݁ଷ
௘భ
௘మ
௘య
ᇩᇭᇪᇭᇫ , (0,1,0)
ᇩᇭᇪᇭᇫ , (0,0,1)
ᇩᇭᇪᇭᇫൡ
‫ܤ‬ଵ = ൝(1,0,0)
‫ܤ‬ଶ = ൝(1,1,0)
ᇣᇧᇤᇧᇥ , (1,1,1)
ᇣᇧᇤᇧᇥ , (1,0,0)
ᇣᇧᇤᇧᇥൡ
௙భ
௙మ
௙య
݂ଶ = 1݁ଵ + 1݁ଶ + 1݁ଷ
1 1 1
ܲ஻భ →஻మ = ൭1 1 0൱
0 1 0
Dans la base ‫ܤ‬ଶ , le vecteur ݂ଵ s’écrit :
1݂ଵ + 0݂ଶ + 0݂ଷ
1
Donc, ܺଶ , matrice représentant dans ‫ܤ‬ଶ est ൭0൱ .
0
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݂ଷ = 1݁ଵ + 0݁ଶ + 0݁ଷ
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On calcule ܲ஻భ →஻మ :
1 1
ܺଶ = ൭1 1
0 1
1 1
1
0൱ ൭0൱ = ൭1൱
0 0
0
On retrouve les coefficients de la décomposition de ݂ଵ suivant ‫ܤ‬ଵ .
On veut connaitre ܲ஻భ →஻మ ିଵ :
0 0 1 1 −1 0
1 1 1 1 0 0
൭1 1 0൱ ൭0 1 0൱ ሱۛۛۛۛۛሮ ൭1 1 0൱ ൭0 1 0൱
௅భ →௅భ ି௅మ
0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0
1 0 0 0
ሱۛۛۛۛሮ ൭0 1 0൱ ൭0 0 1൱ ሱۛۛۛۛۛሮ ൭0 1 0൱ ൭0
é௖௛௔௡௚௘
௅ ←௅ ି௅
0 0 1 1 −1 0 భ భ మ 0 0 1 1
On en déduit :
݁ଵ = 0݂ଵ + 0݂ଶ + 1݂ଷ
ቐ ݁ଶ = 1݂ଵ + 0݂ଶ − 1݂ଷ ݁ଷ = −1݂ଵ + 1݂ଶ + 0݂ଷ
1 −1
0
1൱
−1 0
Propriété :
Soit ݂ ∈ ‫ܧ(ܮ‬, ‫ )ܨ‬.
Soient ‫ܤ‬ଵ , ‫ܤ‬ଶ deux bases de ‫ܧ‬.
Soient ‫ܤ‬′ଵ , ‫ܤ‬′ଶ deux bases de ‫ܨ‬.
Alors :
‫ܯ‬஻మ ஻ᇱమ (݂) = ܲ஻ᇱమ →஻ᇱభ ‫ܯ‬஻భ ஻ᇱభ (݂)ܲ஻భ →஻మ
Ou encore :
‫ܯ‬஻మ ஻ᇱమ (݂) = ܲ஻ᇱభ →஻ᇱమ ିଵ ‫ܯ‬஻భ ஻ᇱభ (݂)ܲ஻భ →஻మ
Cas particulier d’un endomorphisme :
Soit ݂ ∈ ‫ )ܧ(ܮ‬.
Soient ‫ ܤ‬et ‫ܤ‬′ deux bases de ‫ܧ‬.
Propriété :
On a alors :
‫ܯ‬஻ᇲ (݂) = ܲ஻→஻ᇲ ିଵ ‫ܯ‬஻ (݂)ܲ஻→஻ᇲ
Conséquences :
Ceci permet de vérifier que det ‫ܯ‬஻ᇲ (݂) = det ‫ܯ‬஻ (݂) .
En effet :
det ‫ܯ‬஻ᇲ (݂) = det൫ܲ஻→஻ᇲ ିଵ ‫ܯ‬஻ (݂)ܲ஻→஻ᇲ ൯ = det ܲ஻→஻ᇲ ିଵ det ‫ܯ‬஻ (݂) det ܲ஻→஻ᇲ
Peut-on trouver un changement de base de manière à trouver une base suivant laquelle la
matrice de ݂ est la plus simple possible ?
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