Devoir de mathématiques

Devoir de mathématiques
Exercice 1
Soit fla fonction définie sur par .
1) Vérifier que . En déduire la limite de florsque xtend vers .
.
Lorsque xtend vers , x - 2 tend vers , et donc tend vers 0 car
et donc .
On a donc
2) Calculer la limite de florsque xtend vers .
Lorsque xtend vers , x-2 tend vers et extend vers 0+. On en déduit que
.
3) Calculer f '(x), étudier son signe et en déduire les variations de f. Quel est le maximum de
f?
La fonction fest le quotient des fonctions u(x)=x-2 et v(x)=ex.
Comme , u'(x)=1 et v'(x)=ex, on a
.
Le dénominateur exétant toujours positif, f '(x) a le même signe que -x+3.
Si x> 3, alors f '(x) < 0 et si x< 3, alors f '(x) > 0.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Le maximum de fest .
1

Exercice 2
(d'après Bac 2004)
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires.
1) On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.
On note A0l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire", A1l'évènement "On a obtenu
une seule boule noire" et A2l'évènement "On a obtenu deux boules noires".
Calculer les probabilités de A0,A1et A2.
On peut représenter le tirage des deux boules par l'arbre suivant :
Les probabilités inscrites pour le tirage de la 2ème boule tiennent compte du
tirage de la première boule puisqu'il n'y a pas de remise.
On obtient les résultats :
, .
Pour A1, on peut calculer la probabilité de deux façons :
- en remarquant que A0,A1et A2forment une partition de l'univers, on a
;
- en utilisant l'arbre, .
2) Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. On effectue à nouveau au
hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.
On note B0l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire au 2ème tirage", B1l'évènement
"On a obtenu une seule boule noire au 2ème tirage" et B2l'évènement "On a obtenu deux
boules noires au 2ème tirage".
a) Calculer , et .
Après l'évènement A0, il reste 2 boules rouges et 2 boules noires dans l'urne. On
peut utiliser l'arbre suivant :
2

La probabilité, sachant A0, de ne tirer aucune boule noire est donc
.
Après l'évènement A1, il reste 3 boules rouges et 1 boule noire dans l'urne. D'où :
La probabilité, sachant A1, de ne tirer aucune boule noire est donc
.
Après l'évènement A2, il reste 4 boules rouges et aucune boule noire dans l'urne.
D'où :
La probabilité, sachant A2, de ne tirer aucune boule noire est donc .
b) En déduire P(B0).
Comme A0,A1et A2forment une partition de l'univers, la formule des
probabilités totales donne :
, donc
.
En utilisant les résultats précédents on obtient
3

c) Calculer P(B1) et P(B2).
En raisonnant comme au a) on trouve que et
,
puis que et ,
et enfin que et .
En appliquant de nouveau la formule des probabilités totales on obtient :
, donc
.
, donc
Remarque : B0,B1et B2forment une partition de l'univers,
.
d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d'avoir
obtenu une seule boule noire lors du premier ?
Il faut calculer .
Or , on a donc
.
3) On considère l'évènement R"il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux
boules noires soient extraites de l'urne".
Montrer que .
Pour réaliser l'évènement R il faut soit tirer une boule noire à chaque tirage, soit
ne tirer aucune boule noire au 1er tirage et deux boules noires au second. On a
donc l'égalité . Comme les deux termes de la réunion
sont disjoints, on a .
On a déjà vu que , on trouve de
même que .
Ainsi .
4