Devoir de mathématiques Exercice 1 Soit f la fonction définie sur 1) Vérifier que par . . En déduire la limite de f lorsque x tend vers . . Lorsque x tend vers , x - 2 tend vers et donc , et donc tend vers 0 car . On a donc 2) Calculer la limite de f lorsque x tend vers Lorsque x tend vers . x , x-2 tend vers + et e tend vers 0 . On en déduit que . 3) Calculer f '(x), étudier son signe et en déduire les variations de f . Quel est le maximum de f? x La fonction f est le quotient des fonctions u(x)=x-2 et v(x)=e . x Comme , u'(x)=1 et v'(x)=e , on a . x Le dénominateur e étant toujours positif, f '(x) a le même signe que -x+3. Si x > 3, alors f '(x) < 0 et si x < 3, alors f '(x) > 0. On en déduit le tableau de variation suivant : Le maximum de f est . 1 Exercice 2 (d'après Bac 2004) Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires. 1) On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne. On note A0 l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire", A1 l'évènement "On a obtenu une seule boule noire" et A2 l'évènement "On a obtenu deux boules noires". Calculer les probabilités de A0, A1 et A2. On peut représenter le tirage des deux boules par l'arbre suivant : Les probabilités inscrites pour le tirage de la 2ème boule tiennent compte du tirage de la première boule puisqu'il n'y a pas de remise. On obtient les résultats : , . Pour A1, on peut calculer la probabilité de deux façons : - en remarquant que A0, A1 et A2 forment une partition de l'univers, on a ; - en utilisant l'arbre, . 2) Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne. On note B0 l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire au 2ème tirage", B1 l'évènement "On a obtenu une seule boule noire au 2ème tirage" et B2 l'évènement "On a obtenu deux boules noires au 2ème tirage". a) Calculer , et . Après l'évènement A0, il reste 2 boules rouges et 2 boules noires dans l'urne. On peut utiliser l'arbre suivant : 2 La probabilité, sachant A0, de ne tirer aucune boule noire est donc . Après l'évènement A1, il reste 3 boules rouges et 1 boule noire dans l'urne. D'où : La probabilité, sachant A1, de ne tirer aucune boule noire est donc . Après l'évènement A2, il reste 4 boules rouges et aucune boule noire dans l'urne. D'où : La probabilité, sachant A2, de ne tirer aucune boule noire est donc . b) En déduire P(B0). Comme A0, A1 et A2 forment une partition de l'univers, la formule des probabilités totales donne : , donc . En utilisant les résultats précédents on obtient 3 c) Calculer P(B1) et P(B2). En raisonnant comme au a) on trouve que et , puis que et , et enfin que et . En appliquant de nouveau la formule des probabilités totales on obtient : , donc . , donc Remarque : B0, B1 et B2 forment une partition de l'univers, . d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d'avoir obtenu une seule boule noire lors du premier ? Il faut calculer . Or , on a donc . 3) On considère l'évènement R "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de l'urne". Montrer que . Pour réaliser l'évènement R il faut soit tirer une boule noire à chaque tirage, soit ne tirer aucune boule noire au 1er tirage et deux boules noires au second. On a donc l'égalité . Comme les deux termes de la réunion sont disjoints, on a . On a déjà vu que , on trouve de même que Ainsi . . 4