Devoir de mathématiques

Devoir de mathématiques
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur
1) Vérifier que
par
.
. En déduire la limite de f lorsque x tend vers
.
.
Lorsque x tend vers
, x - 2 tend vers
et donc
, et donc
tend vers 0 car
.
On a donc
2) Calculer la limite de f lorsque x tend vers
Lorsque x tend vers
.
x
, x-2 tend vers
+
et e tend vers 0 . On en déduit que
.
3) Calculer f '(x), étudier son signe et en déduire les variations de f . Quel est le maximum de
f?
x
La fonction f est le quotient des fonctions u(x)=x-2 et v(x)=e .
x
Comme
, u'(x)=1 et v'(x)=e , on a
.
x
Le dénominateur e étant toujours positif, f '(x) a le même signe que -x+3.
Si x > 3, alors f '(x) < 0 et si x < 3, alors f '(x) > 0.
On en déduit le tableau de variation suivant :
Le maximum de f est
.
1
Exercice 2
(d'après Bac 2004)
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires.
1) On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.
On note A0 l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire", A1 l'évènement "On a obtenu
une seule boule noire" et A2 l'évènement "On a obtenu deux boules noires".
Calculer les probabilités de A0, A1 et A2.
On peut représenter le tirage des deux boules par l'arbre suivant :
Les probabilités inscrites pour le tirage de la 2ème boule tiennent compte du
tirage de la première boule puisqu'il n'y a pas de remise.
On obtient les résultats :
,
.
Pour A1, on peut calculer la probabilité de deux façons :
- en remarquant que A0, A1 et A2 forment une partition de l'univers, on a
;
- en utilisant l'arbre,
.
2) Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l'urne. On effectue à nouveau au
hasard un tirage sans remise de deux boules dans l'urne.
On note B0 l'évènement "On n'a obtenu aucune boule noire au 2ème tirage", B1 l'évènement
"On a obtenu une seule boule noire au 2ème tirage" et B2 l'évènement "On a obtenu deux
boules noires au 2ème tirage".
a) Calculer
,
et
.
Après l'évènement A0, il reste 2 boules rouges et 2 boules noires dans l'urne. On
peut utiliser l'arbre suivant :
2
La probabilité, sachant A0, de ne tirer aucune boule noire est donc
.
Après l'évènement A1, il reste 3 boules rouges et 1 boule noire dans l'urne. D'où :
La probabilité, sachant A1, de ne tirer aucune boule noire est donc
.
Après l'évènement A2, il reste 4 boules rouges et aucune boule noire dans l'urne.
D'où :
La probabilité, sachant A2, de ne tirer aucune boule noire est donc
.
b) En déduire P(B0).
Comme A0, A1 et A2 forment une partition de l'univers, la formule des
probabilités totales donne :
, donc
.
En utilisant les résultats précédents on obtient
3
c) Calculer P(B1) et P(B2).
En raisonnant comme au a) on trouve que
et
,
puis que
et
,
et enfin que
et
.
En appliquant de nouveau la formule des probabilités totales on obtient :
, donc
.
, donc
Remarque : B0, B1 et B2 forment une partition de l'univers,
.
d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d'avoir
obtenu une seule boule noire lors du premier ?
Il faut calculer
.
Or
, on a donc
.
3) On considère l'évènement R "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux
boules noires soient extraites de l'urne".
Montrer que
.
Pour réaliser l'évènement R il faut soit tirer une boule noire à chaque tirage, soit
ne tirer aucune boule noire au 1er tirage et deux boules noires au second. On a
donc l'égalité
. Comme les deux termes de la réunion
sont disjoints, on a
.
On a déjà vu que
, on trouve de
même que
Ainsi
.
.
4