Cours d`algèbre linéaire 2 de S. Paños

Cours d’algèbre linéaire 2 de S. Paños
FMdKdD
fmdkdd [à]free.fr
Université du Havre
Année 2008–2009

Table des matières
1 Dualité 2
2 Formes bilinéaires et formes quadratiques 7
2.1 Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Propriétés particulières aux espaces vectoriels de dimension finie 16
3 Espaces euclidiens 22
3.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Espaces hermitiens 33
4.1 Propriétés des formes hermitiennes non dégénérées . . . . . . . . 40
4.2 Espaces pré-hilbertiens et espaces hermitiens . . . . . . . . . . . . 41
1

Chapitre 1
Dualité
Définition 1.1. Soit E un K-espace vectoriel. L’espace vectoriel des applica-
tions linéaires de E dans K, LK(E,K)s’appelle l’espace dual de E et se note
E∗. Les éléments de E∗s’appellent les formes linéaires sur E. Le dual de E∗
s’appelle le bidual de E et se note E∗∗.
Notation. Au lieu de noter ϕ(x)l’image d’un vecteur xde E par la forme
linéaire ϕ, les physiciens notent <x,ϕ>l’application E ×E∗→K : (x,ϕ)7→<
x,ϕ>telle que ∀x1,x2∈E, ∀ϕ1,ϕ2∈E∗,∀λ∈K,
<x1,ϕ1+ϕ2>=<x1,ϕ1>+<x1,ϕ2>
<x1+x2,ϕ1>=<x1,ϕ1>+<x2,ϕ1>
λ<x1,ϕ1>=<λx1,ϕ1>=<x1,λϕ1>
On l’appelle la forme bilinéaire canonique sur E ×E∗.
Pour le reste de ce chapitre, on suppose que E est un K-espace vectoriel de
dimension finie n.
Théorème 1.1. Soit {e1,.. ., en}une base de E. Les formes e∗
1,... , e∗ ndéfinies par
∀i∈N∗
n,∀j∈N∗ n, e∗ i(ej) = δi j 1forment une base de E∗appelée base duale de
{e1,... , en}.
Démonstration. Soit λ1e∗
1+···+λne∗ n=0∗ E.∀x∈E,
(λ1e∗
1+···+λne∗ n)(x) = 0∗ E(x) = 0K
λ1e∗
1(x) + ···+λne∗ n(x) = 0K
1Notation de Kronecker : δi j =1⇐⇒ i=jet δi j =0⇐⇒ i6=j.
2

CHAPITRE 1. DUALITÉ 3
En remplaçant successivement xpar e1, ..., en, on obtient
λ1e∗
1(e1)
|{z}
δ11=1
+···+λne∗
n(e1)
|{z}
δn1=0
=0K
D’où λ1=0Ket de même pour λ2,..., λn. Donc {e∗
1,... , e∗ n}est une famille
libre de E∗. Or dimKE∗=dimLK(E,K) = dimKE×dimKK.
Théorème 1.2. Si Eest un K-espace vectoriel de dimension n finie, alors dimE∗=
dimE∗∗ =dimE.
Théorème 1.3. L’application
J :E →E∗∗
x7→ e x: E∗→K
ϕ7→ ϕ(x)
est un isomorphisme. Si Eest de dimension finie, Jest seulement un homomor-
phisme injectif.
Démonstration. J est une application linéaire (voir notation des physiciens).
J est injective car KerJ ={0E}. En effet, supposons que x∈E et x6=0,
alors on peut compléter xdans E par (n−1)vecteurs pour obtenir une base
de E : {e1=x,e2,.. ., en}. Soit {e∗
1,... , e∗ n}, par définition on a <e∗ 1,J(x)>=<
x,e∗
1>=<e1,e∗ 1>=1.
Nous savons (1.2) que dans E∗∗ =dimE, comme J est injective et linéaire,
J est bijective. On appelle J l’isomorphisme canonique de E dans E∗∗.
Remarque. À l’aide de J, on peut identifier E et E∗∗. Ce résultat est important
car toute propriété de dualité montrée pour le couple (E,E∗)nous donne une
propriété analogue pour le couple (E∗,E∗∗), c’est à dire (E∗,E)car appliquée à
E∗∗ elle nous donnera la même propriété pour le couple (E∗,E∗∗). Comme on a
identifié E et E∗∗, on a cette propriété pour (E∗,E): lorsque E est de dimension
finie, on a une parfaite symétrie entre les rôles de E et de E∗.
Définition 1.2. Soit A une partie non vide de E. On appelle annihilateur (ou
orthogonal) de A dans E∗:
A0={ϕ∈E∗/∀x∈A,ϕ(x) = 0}
Soit A une partie non vide de E∗. On appelle annihilateur de A dans E :
A0={x∈E/∀ϕ∈A,ϕ(x) = 0}

CHAPITRE 1. DUALITÉ 4
Théorème 1.4. 1. Pour toute partie Ade E(resp. de E∗), A0est un sous
espace vectoriel de E∗(resp. de E).
2. Quelques soient Aet B∈ P (E),A⊆B⇒B0⊆A0et A⊆A00.
3. (A∪B)0=A0∩B0
4. −→ V(A)0=A0, où −→ V(A)est le sous espace vectoriel de Eengendré par A.
Théorème 1.5. Soit Hun sous espace vectoriel de Eet H0son annihilateur. Alors
dimH +dimH0=dimE.
Démonstration. Soit n=dimE et p=dim H. Soit {e1, ..., en}une base de E
telle que {e1,... , ep}soit une base de H. Alors H0={ϕ∈E∗/∀x∈H,ϕ(x) =
0}. Si ϕ∈H0,ϕannule tous les éléments de la base {e1,... , ep}:ϕ(ej) = 0
pour tout j∈N∗
p.
Soit {e∗
1,... , e∗ n}la base duale de la base {e1,..., en}de E, ϕadmet une
décomposition dans cette base : ϕ=Pn
i=1λie∗ i. Or
∀j∈N∗
p,ϕ(ej) = 0= n
X
i=1
λie∗
i!(ej) =
n
X
i=1
λie∗
i(ej) = λj
D’où ϕ=λp+1e∗
p+1+···+λne∗ n.ϕ∈−→
V({e∗
p+1,... , e∗ n})et H0⊆−→
V({e∗
p+1,... , e∗ n}).
Réciproquement ∀ψ∈−→ V({e∗
p+1,... , e∗ n}),
∀x∈Hψ(x) = n
X
i=1
e∗
i! p
X
j=1
µiei!=0
et ψ∈H0. D’où l’égalité H0=−→ V({e∗
p+1,... , e∗ n}).
Or dim−→ V({e∗
p+1,... , e∗ n}) = n−pd’où p+ (n−p) = n, et dimH+dimH0=
dimE.
Remarque. La symétrie entre E et E∗nous donne la propriété duale : si H est
un sous espace vectoriel de E∗et H0son annihilateur dans E, alors dim H +
dimH0=dimE∗.
Corollaire 1.1. Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie n et Hun sous
espace vectoriel de E. Alors H00 =H(de même si Hest un sous espace vectoriel de
E∗).
Démonstration. Le théorème 1.4 nous donne H ⊆H00. De plus dim H+dimH00 =
dimE. D’où dimH =dimH00. Comme H ⊆H00, H =H00.