Une fiche méthode pour la résolution des équations

2nde
Fiche Méthode : Équations
Une équation est une égalité qui comprend au moins une inconnue et qui est vraie ou
fausse selon les valeurs de cette inconnue.
Les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie sont appelées solutions de l’équation.
Résoudre une équation, c’est rechercher l’ensemble de toutes les solutions c'est-à-dire
l’ensemble de tous les réels qui rendent l’égalité vraie.
Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont le même ensemble de solutions.
Pour résoudre une équation, on la transforme en une suite d’équations équivalentes et
plus simples à résoudre.
Propriétés :
1°) Additionner ou soustraire un même réel aux deux membres d’une égalité, c’est obtenir
une égalité équivalente.
Soit a, b et c des réels a = b ⇔ a + c = b + c mais aussi a = b ⇔ a − c = b − c
2°) Multiplier ou diviser les deux membres d’un égalité par un même réel non nul, c’est
obtenir une égalité équivalente.
a b
=
Soit a, b des réels et c un réel non nul, a = b ⇔ a × c = b × c mais aussi a = b ⇔
c
c
Remarque : Ces deux propriétés sont aussi appelées règles de transposition.
Exemples : Résoudre dans les équations suivantes :
(1) x − 3 = 8
On ajoute 3 aux deux membres de l’égalité.
⇔x−3+3=8+3
⇔
x = 11
On conclut S = {11}
(3) 2x + 5 = 12
On soustrait 5 aux deux membres de l’égalité
⇔ 2x + 5 − 5 = 12 − 5
On divise par 2 les deux membres de l’égalité.
⇔
2x = 7
2x 7
⇔
=
2
2
7
⇔
x=
2
7
On conclut S = { }
2
(2) 3x = 5
On divise par 3 les deux membres de
l’égalité.
3x 5
=
⇔
3
3
5
5
⇔ x=
On conclut S = { }
3
3
(4) 3x + 4 = 12 + x
On soustrait 4 aux deux membres de
l’égalité
⇔ 3x + 4 − 4 = 12 + x − 4
⇔ 3x
= 8+x
On soustrait x aux deux membres de
l’égalité
⇔ 3x − x
= 8+x−x
⇔ 2x
= 8
On divise par 2 les deux membres de
l’égalité.
2x
8
⇔
=
2
2
⇔
x
= 4.
On conclut S = {4}
Vocabulaire : Une équation du premier degré peut se ramener à une équation de la forme
ax + b = 0 où x est l’inconnue et a et b des réels.
Cas particuliers :
1°) 0x = 3
Impossible S = ∅
2°) 0x = 0
Toujours vrai
S=
Et ce dernier cas qui n’est pas particulier mais attention !!.
3°) 4x = 0
⇔x=0
S = {0}
Cas des équations se ramenant à des équations du premier degré
1°) Produit nul :
Propriété : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un des facteurs au moins est
nul. Cela s’écrit : AB = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0.
Exemple : (1)
(2x + 3)(4 − x) = 0 , 2x + 3 = 0 ou 4 − x = 0
, 2x = – 3 = 0 ou − x = – 4
3
, x = – = 0 ou x = 4
2
3
On conclut S = { – ; 4 }
2
2°) Quotient nul :
Propriété : Un quotient est nul si et seulement son numérateur est nul et son
A
dénominateur est non nul. Cela s’écrit : Avec B ≠ 0,
= 0 ⇔ A = 0.
B
2x − 5
5
= 0 ⇔ 2x – 5 = 0 ⇔ 2x = 5 ⇔ x =
x +1
2
5
5
≠ – 1 donc on conclut S = { }
2
2
Exemple : Avec x ≠ – 1 ;