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Chapitre 14 Algobox
Jacques ou Jakob Bernoulli (27 décembre 1654, Bâle - 16 août 1705) est un mathématicien et physicien suisse
Une jeu consiste à lancer quatre fois de suite un dé cubique parfait.
On gagne si, on obtient exactement deux fois le numéro 6, on perd sinon.
Partie 1 : Simulations de l'expérience
1) Que permet de faire l'algorithme suivant ?
(Quel est le lien avec le problème qui nous occupe ? Que représente la variable Nbre ? Qu'affiche cet algorithme en
sortie ?)
DEBUT_ALGORITHME
Nbre PREND LA VALEUR 0
POUR k ALLANT DE 1 A 10000
S PREND LA VALEUR 0
POUR i ALLANT_DE 1 A 4
A PREND COMME VALEUR UN NOMBRE ENTIER ALERATOIRE ENTRE 1 ET 6
SI A=6 ALORS
S PREND LA VALEUR S+1
SI S=2 ALORS
Nbre PREND LA VALEUR Nbre+1
Nbre PREND LA VALEUR Nbre/10000
AFFICHER Nbre
FIN_ALGORITHME
2) Ouvrir le logiciel AlgoBox et programmer l'algorithme précédent.
3) Donner un encadrement de la probabilité de gagner à ce jeu.
Partie 2 : En modifiant les règles du jeu
On cherche à modifier les règles du jeu pour augmenter la probabilité de gagner à ce jeu.
1) Durant cette expérience aléatoire, combien de fois peut sortir le numéro 6 ?
On veut donc comparer les chances d'obtention de différents nombres de "6", ce qui nécessite de disposer de l'ensemble
des résultats.
Ouvrir le document : "partie2_F.alg". C'est un programme Algobox. Il contient plusieurs erreurs !
2) Pour chacune des valeurs de k que doit représenter la valeur stockée dans NbreS[k] en fin de programme ?
3) Corriger le programme pour obtenir le résultat souhaité. On pourra vérifier la cohérence avec le résultat trouvé dans la
première partie (NbreS[2] )
4) Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de 6 obtenus après les quatre lancers.
Conjecture la loi de probabilité de X en complétant le tableau d'après les résultats de l'algorithme.
xi
01234
P(X=xi)
5) Dessiner le diagramme en bâton correspondant.
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Partie 3 : Vers une validation de la conjecture à l'aide d'un arbre
Une expérience aléatoire consiste à lancer un dé cubique parfait.
On note S (comme succès) l'issue : "Obtenir un 6" et p(S) sa probabilité.
On notera E (comme échec) l'autre issue et p(E) sa probabilité.
On réalise une expérience.
1) Que vaut p(S) ?
2) Préciser l'issue E et donner sa probabilité p(E).
Deux expériences.
On réitère l'expérience deux fois de façons identiques et indépendantes, c'est-à-dire que le résultat d'un lancer n'influence
pas celui d'un autre lancer.
On s'intéresse à l'événement R : "Obtenir deux fois un 6 au cours de ces deux lancers".
3) Représenter cette nouvelle expérience par un arbre.
4) Déterminer le nombre de chemins dans l'arbre réalisant deux succès.
5) Quelle est la probabilité de l'événement R ?
Trois expériences.
On réitère l'expérience trois fois de façons identiques et indépendantes, c'est-à-dire que le résultat d'un lancer n'influence
pas celui d'un autre lancer.
On s'intéresse à l'événement R : "Obtenir deux fois un 6 au cours de ces trois lancers".
6) Représenter cette expérience par un arbre.
8) Recopier et compléter la phrase suivante : "On obtient un schéma de .... épreuves de Bernoulli de paramètre ...."
9) Déterminer le nombre de chemins dans l'arbre réalisant deux succès.
10) Comment peut on noter ce nombre ?
11) Quelle est la probabilité de l'événement R ?
12) Exprimer cette probabilité avec les notations du cours.
13) Calculer
(
3
0
)
,
(
3
1
)
et
(
3
3
)
.
Quatre expériences.
On réitère l'expérience quatre fois de façons identiques et indépendantes, c'est-à-dire que le résultat d'un lancer n'influence
pas celui d'un autre lancer.
On s'intéresse à l'événement R : "Obtenir deux fois un 6 au cours de ces quatre lancers". c'est à dire avec les notation de
la partie 2 l'événement
P(X=2)
13) Représenter cette expérience par un arbre.
14) Recopier et compléter la phrase suivante : "On obtient un schéma de .... épreuves de Bernoulli de paramètre ...."
15) Quelles sont les probabilités des issues S-E-S-E et E-S-S-E ?
16) Déterminer le nombre de chemins dans l'arbre réalisant deux succès.
17) Comment peut on noter ce nombre ?
18) Quelle est la probabilité de l'événement
P(X=2)
?
19) Exprimer cette probabilité en utilisant les notations du cours .
20) Comparer ce résultat avec celui obtenu dans la partie 1 (vérifié dans la partie 2).
21) Exprimer avec la nouvelle notation la probabilité des événements :
p(X=0); p(X=1); p(X=3) et p(X=4)
puis pour
0≤k≤4, p(X=k)
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