version complétée

Chapitre 10
Géométrie spatiale
10.1
Droites et plans de l'espace
10.1.1
Généralités
Dénitions.
• Deux droites de l'espace sont
parallèles
si elles sont coplanaires sans aucun point commun
(strictement parallèles), ou si elles sont confondues.
• Deux plans de l'espace sont
parallèles
s'ils n'ont aucun point commun (strictement paral-
lèles) ou s'ils sont confondus.
• Une droite de l'espace est
parallèle
à un plan si elle n'a pas de point commun avec le plan
(strictement parallèle) ou si elle est incluse dans ce plan.
Propriété. Si une droite d est parallèle à une droite d0 d'un plan P , alors la droite d est parallèle
au plan P .
Démonstration. Si d est incluse dans P , alors elle est parallèle à P .
Dans le cas contraire, d et d0 étant parallèles, elles dénissent un plan P 0 distinct de P . La
droite d0 étant incluse dans P et dans P 0 , c'est l'intersection de ces deux plans. Si d coupait
le plan P en un point A, alors A serait contenu dans d0 , donc d et d0 seraient sécantes, ce qui
contredirait l'hypothèse initiale. Donc d est parallèle à P .
Propriété. Si deux plans P et P 0 sont strictement parallèles, alors tout plan Q qui coupe le plan
P coupe aussi le plan P 0 et les droites d'intersection sont parallèles entre elles.
1
2
CHAPITRE 10.
GÉOMÉTRIE SPATIALE
Démonstration. Soit Q un plan sécant avec P , et d leur droite d'intersection. Supposons que
P 0 et Q ne soient pas sécants, alors ils sont strictement parallèles. Or le seul plan strictement
parallèle à P 0 passant par d est le plan P , donc P et P 0 sont confondus, ce qui est absurde.
Q et P 0 sont donc sécants en une droite d0 . d et d0 appartiennent au même plan Q, et n'ont
aucun point commun sinon celui-ci appartiendrait à P et P 0 à la fois, ce qui est exclu.
Donc d et d0 sont strictement parallèles.
Théorème.
Théorème du toit.
Soient P et P 0 deux plans sécants. Si une droite d de P est parallèle à une droite d0 de P 0 ,
alors ces deux droites sont parallèles à la droite d'intersection ∆ de P et P 0 .
Démonstration. Traitée plus tard.
Propriété. Si un plan P contient deux droites sécantes d et d0 qui sont toutes deux parallèles à
un plan P 0 , alors P et P 0 sont parallèles.
Démonstration. Si P et P 0 sont confondus, ils sont a fortiori parallèles.
S'ils ne sont pas confondus, d est parallèle à P 0 et incluse dans P . Si P et P 0 étaient sécants
en une droite ∆, alors d serait parallèle à ∆ en vertu du théorème du toit. De même, d0 serait
parallèle à ∆ donc d et d0 seraient parallèles entre elles, ce qui est absurde !
Donc P et P 0 sont parallèles.
Corollaire. Si deux droites sécantes d'un plan
P sont respectivement parallèles à deux droites
sécantes d'un plan P 0 , alors P et P 0 sont parallèles entre eux.
10.1.2
Orthogonalité dans l'espace
Dénition. Deux droites d et d0 sont orthogonales s'il existe une droite ∆ parallèle à d et une
droite ∆0 parallèle à d0 telles que ∆ et ∆0 sont coplanaires et perpendiculaires.
Propriété. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'une est orthogonale
à l'autre.
Démonstration. Trivial (un peu laborieux à écrire).
Dénition. Une droite d est perpendiculaire à un plan P si elle est orthogonale à deux droites
sécantes de P .
10.1.
DROITES ET PLANS DE L'ESPACE
Théorème. Si une droite
3
d est perpendiculaire à un plan P , elle est orthogonale à toutes les
droites de ce plan.
Démonstration. Trivial (un peu laborieux à écrire).
Propriétés.
• Il existe une unique droite d passant par un point A et perpendiculaire à un plan P donné.
• Il existe un unique plan P passant par un point A et perpendiculaire à une droite d donnée.
• Si deux droites d et d0 sont parallèles, alors tout plan P perpendiculaire à d est aussi
perpendiculaire à d0 .
• Si deux droites d et d0 sont perpendiculaires à un même plan P , alors elles sont parallèles
entre elles.
• Si deux plans P et P 0 sont parallèles, alors toute droite d perpendiculaire à P l'est à P 0 .
Démonstration.
• Admis.
• Admis.
• Toute droite ∆ de P est orthogonale à d, donc orthogonale à d0 , donc d0 est perpendiculaire
à P.
• Soit A le point d'intersection de d0 et P . La parallèle à d passant par A est perpendiculaire
à P d'après le point précédent, et d'après le premier point il s'agit de d0 (par unicité).
• Soit ∆0 une droite quelconque de P 0 et A le point d'intersection de P et d. Le plan Q, déni
par ∆0 et A, coupe P selon ∆ parallèle à ∆0 passant par A. Comme d est perpendiculaire à
P et ∆ est incluse dans P , d est orthogonale à ∆ donc aussi à ∆0 : d est donc orthogonale
à toute droite de P 0 , cela prouve bien que d est orthogonale à P 0 .
Dénition. Le
plan médiateur
P d'un segment [AB] est le plan passant par le milieu I du
segment et perpendiculaire à la droite (AB).
Propriété. Le plan médiateur de [AB] est l'ensemble des points équidistants de A et de B .
Démonstration. Admis.
4
CHAPITRE 10.
10.2
10.2.1
GÉOMÉTRIE SPATIALE
Géométrie vectorielle dans l'espace
Vecteurs de l'espace
De la même manière qu'on les dénit dans le plan (repéré ou non), les vecteurs de l'espace
sont dénis dans l'espace.
Propriétés.
• Deux vecteurs non nuls ~u et ~v sont colinéaires si et seulement si ~v = k~u, où k est un
nombre réel. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.
−−→ −→
• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.
−−→
−−→
• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont
colinéaires.
10.2.2
Caractérisation vectorielle des droites et plans de l'espace
Propriété. Soient A et B deux points distincts de l'espace.
Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel x tel que
−−→
−−→
AM = xAB .
Démonstration. C'est une application de la dénition de la colinéarité de deux vecteurs.
Une droite peut ainsi être dénie par la donnée d'un point et d'un vecteur, appelé vecteur
directeur. Une droite admet une innité de vecteurs directeurs, tous colinéaires deux à deux.
Propriété. Soient A, B et C trois points non alignés de l'espace.
Un point M appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels x et y
−−→
−−→
−→
tels que AM = xAB + y AC .
−−→
−→
Démonstration. Comme AB et AC ne sont pas colinéaires, pour tout point M appartenant à
−−→
(ABC) il existe x et y tels que : AM = x~u + y~v .
−−→
Réciproquement, soient x et y deux réels et M le point déni par AM = x~u + y~v . Le point
−→
−−→
R déni par AR = x~u appartient à la droite (AB), donc au plan (ABC). Comme RM = y~v , M
appartient à la droite parallèle à (AC) passant par R : celle-ci est incluse dans (ABC), donc M
appartient à (ABC).
Un plan peut ainsi être déni par la donnée d'un point et de deux vecteurs, appelés vecteurs
directeurs du plan.
Deux plans dirigés par le même couple de vecteurs non colinéaires sont parallèles.
10.2.
5
GÉOMÉTRIE VECTORIELLE DANS L'ESPACE
10.2.3
Repères de l'espace
Propriété. Soient ~i, ~j et ~k trois vecteurs non coplanaires.
Pour tout vecteur ~u, il existe un unique triplet (x; y; z) de nombres réels tels que :
~u = x~i + y~j + z~k
Démonstration.
•
−→
Existence : Soient O et A deux points tels que ~u = OA. Comme ~k n'est pas coplanaire
avec ~i et ~j , la droite ∆ passant par A et de vecteur directeur ~k coupe le plan P passant
par O et dirigé par ~i et ~j en un point S .
−→
−→
OS est un vecteur du plan P , il existe donc deux réels x et y tels que OS = x~i + y~j . A et
−→
S sont deux points de ∆, donc il existe un nombre réel z tel que SA = z~k et
−→ −→
~u = OS + SA = x~i + y~j + z~k .
•
Unicité : Soient ~u = x~i + y~j + z~k = x0~i + y0~j + z 0~k.
→
−
Alors on a : (x − x0 )~i + (y − y 0 )~j + (z − z 0 )~k = 0 . Or ~i, ~j et ~k ne sont pas coplanaires donc
x = x0 , y = y 0 et z = z 0 .
Cela nous conduit aux dénitions suivantes :
Dénitions.
• Un
repère de l'espace
est un quadruplet (O;~i, ~j, ~k) dans lequel O est un point appelé
origine,
et ~i, ~j et ~k sont trois vecteurs non coplanaires.
−
→
−→
−−→
• Si ~i = OI , ~j = OJ et ~k = OK , alors le repère (O;~i, ~j, ~k) est dit
orthonormé
si les droites
(OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires et si OI = OJ = OK = 1.
• Les réels x, y et z tels que ~u = x~i + y~j + z~k sont les
coordonnées
du vecteur ~u.
• Soit M un point de l'espace. Les coordonnées de M dans le repère (O;~i, ~j, ~k) sont celles du
−−→
vecteur OM : x est l'abscisse, y est l'ordonnée et z la cote de M .
 
 
x
x0
 
 

 
Propriétés. Soient ~u 
y  et ~v y 0  deux vecteurs dans un repère (O;~i, ~j, ~k) de l'espace.
 
 
z
z0
0
• ~u = ~v équivaut à x = x , y= y 0 et 
z = z0.
x + x0




• ~u + ~v a pour coordonnées  y + y 0 .


z + z0
6
CHAPITRE 10.
GÉOMÉTRIE SPATIALE

αx
 
 
• Si α est un nombre réel, alors α~u a pour coordonnées αy .
 
αz

Démonstration.
•
~u = ~v ⇐⇒ ~u − ~v = ~0
⇐⇒ (x − x0 )~i + (y − y 0 )~j + (z − z 0 )~k = ~0
⇐⇒ x − x0 = 0 et y − y 0 = 0 et z − z 0 = 0
⇐⇒ x = x0 et y = y 0 et z = z 0
• ~u + ~v = (x + x0 )~i + (y + y 0 )~j + (z + z 0 )~k d'où le résultat.
• α~u = α(x~i + y~j + z~k) = (αx)~i + (αy)~j + (αz)~k d'où le résultat.
Propriétés. Soient A(xA ; yA ; zA ) et B(xB ; yB ; zB ) deux points de l'espace repéré par (O;~i, ~j, ~k).


xB − xA


−−→


• AB a pour coordonnées  yB − yA .


zB − zA
• Le milieu I de [AB] a pour coordonnées
xA +xB yA +yB zA +zB
; 2 ; 2
2
• Si (O;~i, ~j, ~k) est orthonormé, alors AB =
p
.
(xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .
Démonstration.


 
−xA
x
 −−→  B 
−−→ −→ −−→ −→
−→ 


 
• Comme AB = AO + OB et AO = −OA  −yA  et OB  yB , le résultat est immédiat.


 
−zA
zB
−→ −−→
−→
• Le résultat découle du fait que OA + OB = 2OI .
• Admis.
10.3.
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
10.3
7
Représentations paramétriques
10.3.1
Représentation paramétrique d'une droite
Propriété.
 
a
 
 
Soit d la droite passant par A(xA ; yA ; zA ) et de vecteur directeur ~u  b .
 
c
 Un point M de coordonnées (x; y; z) appartient à d si et seulement si il existe t ∈ R tel que :


x = xA + ta


y = yA + tb



 z = z + tc
A


x − xA


−−→

Démonstration. Soit M (x; y; z), alors AM a pour coordonnées 
 y − yA .


z − zA
−−→
M appartient à d 
si et seulement s'il existe t ∈ R tel que AM = t~u donc si et seulement s'il


x − xA = ta


existe t ∈ R tel que :
y − yA = tb



 z − z = tc
A
Propriété. Soient x0 , y0 etz0 , a, b et c des nombres réels tels que (a; b; c) 6= (0; 0; 0).


x = x0 + ta


Le système d'équations
y = y0 + tb



 z = z + tc
avec t ∈ R dénit une représentation paramétrique
0
 
a
 
 
de la droite d passant par A(x0 ; y0 ; z0 ) et de vecteur directeur ~u  b . Le nombre t est appelé
 
c
paramètre de M .
10.3.2
Représentation paramétrique d'un plan
Propriété.
 
 
a
a0
 
 

 
Soit P le plan passant par A(xA ; yA ; zA ) et de vecteurs directeurs ~u 
 b  et ~v  b0 .
 
 
c
c0
Un point M de coordonnées (x; y; z) appartient à P si et seulement si il existe (t; t0 ) ∈ R2 tel
8
CHAPITRE 10.
GÉOMÉTRIE SPATIALE



x = xA + ta + t0 a0


que :
y = yA + tb + t0 b0



 z = z + tc + t0 b0
A

−−→

x − xA



Démonstration. Soit M (x; y; z), alors AM a pour coordonnées 
 y − yA .

z − zA
−−→
M appartient à P si et seulement s'ilexiste (t; t0 ) ∈ R2 tel que AM = t~u + t0~v donc si et

 x − xA = ta + t0 a0


seulement s'il existe (t; t0 ) ∈ R2 tel que :
y − yA = tb + t0 b0



 z − z = tc + t0 c0

A
Propriété. Soient x0 , y0 et z0 , a, b et c, a0 , b0 et c0 des nombres réels tels que a, b et c ne sont
pas proportionnels à a0 , b0 etc0 .


x = x0 + ta + t0 a0


Le système d'équations
y = y0 + tb + t0 b0



 z = z + tc + t0 c0
avec (t; t0 ) ∈ R2 dénit une représentation
0
 
 
a0
a
 
 
 

paramétrique du plan P passant par A(x0 ; y0 ; z0 ) et de vecteurs directeurs ~u 
 b  et ~v  b0 .
 
 
c0
c
Le couple (t; t0 ) est appelé couple de paramètres de M .