Le hasard - Ferme des Etoiles
publicité
100111000101111101010100110010000010011111000111011 001101000011110001010111101010110010110010100111111 010000111000011100110011110101010010101110111100100 110100011000100011100000011000000100101010110101011 110010010101100010111100111111011100101010001101110 000111001101001101001111001110110010011010001011011 010001100101001111000100101001100111011111011001110 010001101100010010100001011100010011100110100011011 100011111010100011001001010110100101001110001110010 100000110001000111110010001001000101010000100101110 101001001010100101011010100111101010110000100100011 011110000100010110110100110001110011111000100101010 111011101110011100100101000001100101100011000010000 101010100111101010100101011101111101010001000110010 100001001010100100001001111101101110100000011101100 101001010000111101010101010100101100001111010010101 010001110000011100100000100011010101100111010001111 010011010010000101101011010010011000101011100110111 000110110001011001001010000000011000000101000001111 110010011000110011101111101000011001111100111011000 1 0 0 1 0 1 0 0Nicolas 0 1 1 1 1 1Curien 0 0 0 0 0 (IUF, 1 1 0 0 Université 1 1 0 1 0 0 0 0 Paris-Sud 0 0 0 1 1 0 1 1Orsay) 011011000010 010111001100001100010001100000010110110100110000111 001111010100001101000000001111010101001000011100110 LA RÉGULARITÉ DU HASARD QU’EST-CE QUE LE « HASARD » (D’APRÈS WIKIPÉDIA) Le hasard exprime l'impossibilité de prévoir avec certitude un fait quelconque, c'est-à-dire prévoir ce qu'il va advenir. Ainsi, pour éclairer le sens du mot, il est souvent dit que hasard est synonyme d'« imprévisibilité », ou « imprédictibilité ». Grande question (méta)physique : le hasard n’est-il dû qu’à nos mesures imprécises ? Les lois de la physique sont elles déterministes ou incorporent-elles une part d’aléatoire ? JE BOTTE EN TOUCHE LE HASARD EXIS TE-IL ? « Ce que nous appelons le hasard n'est et ne peut être que la cause ignorée d'un effet connu. » (Voltaire) « Dieu ne joue pas aux dés. » (Einstein) IL SEMBLERAIT QUE LE « HASARD » ES T INTRINSÈQUEMENT AU COEUR DE L A MÉC ANIQUE QUANTIQUE. NOTRE CADRE : PILE OU FACE THÉORIQUE Pile ou Face : P pour pile et F pour face. Les lancers sont supposés indépendants et la pièce est équilibrée (P et F ont donc une probabilité 1/2 de sortir). Voici une réalisation typique : PPFPFFPPPPPFFPFFPFFF… À noter que chaque suite de longueur n a la même probabilité d’apparaître à savoir 1/2 x 1/2 x … x 1/2 = (1/2)n = 1/2n . HASARD VS HUMAIN L’HIS TOIRE VRAIE D’UN PROF SADIQUE Exercice à la maison : Tirez 100 fois à pile ou face et inscrivez la suite P/F obtenue sur une feuille de papier. L’élève triche, comment le professeur va t-il le découvrir ? Réponse : Dans une vraie suite aléatoire de 100 P/F il est très probable (de l’ordre de 80% de chance) d’avoir une suite de 6 piles ou de 6 faces consécutifs. TELLEMENT IMPROBABLE QUE… DU C ASINO À L A COUR D’ASSISE La plus longue suite de « rouge » sortie au casino l’a été en 1943 avec une suite de 33 rouges consécutifs. Si vous êtes joueur, devez-vous parier sur rouge au prochain tirage sachant que la probabilité de voir 34 rouges consécutifs et de 1 sur 17 milliard ? Sally Clark a deux enfants décédés de mort subite, sachant que la probabilité que cela arrive dans un couple est de 1/ 73 million. Pensez-vous qu’il s’agisse d’infanticides ? LA LOI DES GRANDS NOMBRES Loi: Dans notre suite de pile/face, la proportion de pile (ou de face) converge vers 1/2. Asymptotiquement il y a grossomodo autant de piles que de faces. Remarque: Si la pièce n’avait pas été équilibrée la proportion aurait convergé vers la ratio théorique. UNE ESQUISSE DE PREUVE Axiomatisation: Prenons n=1000 et rappelons-nous que chacune des 21000≈10300 suites de P/F de longueur 1000 sort avec la même probabilité 1/21000. Le « hasard » ne fait que choisir une de ces possibilités uniformément, c’est tout. Le hasard […] liberté absolue mais aveugle (Monod) Calcul de probabilités (Combinatoire): Or, un calcul montre que parmi ces 21000 suites, 99% d’entre elles sont telles que la proportion de pile est entre 49% et 51%. Ainsi avec grande probabilité le hasard choisira une suite qui a une proportion de pile entre 49% et 51%. ILLUSTRATION 0 0 2 20 4 40 6 60 8 10 80 100 0 0 5 200 10 15 400 20 600 25 800 30 1000 LA RÉGULARITÉ DU HASARD DES STRUCTURES CONSEQUENCES DIVERSES ET VARIÉES Même s’il est impossible de prévoir le comportement d’un individu, la loi des grands nombres permet de prévoir précisément le comportement agrégé d’une population. Aléatoire déterministe Physique statistique des gaz Roulette, assurance Fondement de la statistique LES STATISTIQUES SÈTILIBABORP SEL Théorie un paramètre p connu : la probabilité d’obtenir pile (1/2 si pièce non biaisée) Théorie Estimation du paramètre p qui est inconnu Pratique LGN : Comportement d’un échantillon de grande taille Probabilités Pratique Données connues d’un échantillon de grande taille Statistiques UN EXEMPLE SUIS-JE ÉQUILIBRÉ ? On a une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée ou pas. On note p la probabilité d’obtenir pile (qui nous est donc inconnue). On jette 1000 fois la pièce. On obtient 721 « pile » et 279 « face ». Si la pièce était équilibrée, d’après la loi des grands nombres (établie par un calcul de probabilité) ce serait plutôt du 500 - 500. Donc vraisemblablement la pièce n’est pas équilibrée. OUI MAIS… DE L A NÉCESSITÉ DE QUANTIFIER On a une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée ou pas. On note p la probabilité d’obtenir pile (qui nous est donc inconnue). On jette 1000 fois la pièce. On obtient 521 « pile » et 479 « face ». Si la pièce était équilibrée, ça se pourrait bien… Mais c’est aussi vraisemblable si la pièce n’est pas parfaitement équilibrée mais telle que p=0,51. Donc on ne peut pas dire avec certitude que la pièce est parfaitement équilibrée ou pas UNE NOUVELLE LOI, ENCORE PLUS FINE LE THÉORÈME CENTRAL LIMITE 0 5 10 15 20 25 30 0 20 40 60 80 100 0 200 400 600 800 1000 0 0 2000 4000 6000 8000 10 000 10000 UNE NOUVELLE LOI, ENCORE PLUS FINE LE THÉORÈME CENTRAL LIMITE 0 0 200 20 5 10 15 40 20 60 400 25 30 80 100 600 4000 800 6000 4500 5000 5500 100 maps UNE NOUVELLE LOI, ENCORE PLUS FINE LE THÉORÈME CENTRAL LIMITE 0 5 1 p exp 2p 10 15 20 25 30 2 x 2 0 20 40 ! p 60 80 n 0 100 200 400 600 800 1000 0 2000 4000 6000 8000 10 000 Nicolas Curien, Université Paris-Sud Orsay Histogrammes du nombre de faces pour n=30,100, 1000 et 10000 Based on joint works with O. Angel, I. Benjamini, J. Bertoin, T. Budd, J.F. Le Gall, I. Kortchemski 8th ICLP, Angers 2016. 0 5 10 15 20 -4 25 30 30 40 -2 50 60 70 0 440 460 480 500 520 2 540 560 4800 4900 4 5000 Les mêmes histogrammes mais centrés et dilatés autour de la moyenne 5100 5200 LOI DE GAUSS Loi: La dispersion du nombre de pile/face autour de sa moyenne est de l’ordre de la racine de la taille de l’échantillon, mieux… √n 0 0 200 400 600 800 1000 n -4 -2 0 2 4 OUI MAIS… (BIS) DE L A NÉCESSITÉ DE QUANTIFIER On a une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée ou pas. On note p la probabilité d’obtenir pile (qui nous est donc inconnue). On jette 1000 fois la pièce. On obtient 521 « pile » et 479 « face ». Si la pièce était équilibrée, ça se pourrait bien… D’après la loi de Gauss la proportion empirique est p± √1000 1000 ≈ p + 3% ALLER PLUS LOIN • Comment générer une suite au hasard ? • Comment vérifier qu’une suite donnée est bien aléatoire ? • L’aléatoire est UTILE et doit être compris MERCI POUR VOTRE ATTENTION ! Visite de la comptabilité Ici nous avons notre générateur de nombres aléatoires Êtes-vous sûr que c’est aléatoire ? neuf, neuf, neuf, neuf… C’est le problème avec l’aléatoire : on ne peut jamais être sûr.
