L`anneau de cohomologie des résolutions crépantes de certaines

L’anneau de cohomologie des r´esolutions cr´epantes
de certaines singularit´es-quotient
S´ebastien Garino
25 Juin 2007

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Introduction
Nous commen¸cons ici par pr´esenter la correspondance de McKay, la
conjecture de Ruan et le G-sch´ema de Hilbert. Ce faisant, nous pr´eciserons
le cadre g´en´eral de cette th`ese. Puis nous pr´esenterons nos r´esultats.
Correspondance de McKay
Dans les ann´ees 80, John McKay fit l’observation suivante. Soit Gun
sous-groupe fini de SL2(C). On consid`ere Q, le quotient g´eom´etrique de l’ac-
tion de Gsur C2. La vari´et´e Qa une singularit´e isol´ee `a l’origine et admet une
(unique) r´esolution minimale Y. Les diviseurs exceptionnels de la r´esolution
Ysont des courbes rationnelles s’intersectant transversalement en au plus un
point et d’auto-intersection −2. ` A partir du lieu exceptionnel, on construit le
graphe dual de Y. Les sommets de ce graphe sont les diviseurs exceptionnels.
Le nombre d’arˆetes joignant deux sommets est le nombre d’intersections des
diviseurs correspondants. La repr´esentation lin´eaire Rfournie par l’action
de Gsur C2est auto-duale. ` A partir de cette repr´esentation auto-duale, on
construit le diagramme de McKay de R. Les sommets de ce graphe sont les
repr´esentations lin´eaires irr´eductibles non-triviales de G. Le nombre d’arˆetes
joignant deux sommets (correspondant `a deux repr´esentations Riet Rj) est
la multiplicit´e de Ridans la d´ecomposition isotypique de la repr´esentation
R⊗CRj(cette d´efinition ´etant sym´etrique). L’observation de McKay ´etait
la suivante ([McK81]) :
Th´eor`eme (Correspondance de McKay classique).Soit Gun sous-groupe
fini de SL2(C). On consid`ere Qle quotient C2par Get Yla r´esolution
minimale de Q. On note Rla repr´esentation associ´ee `a l’action de Gsur C2.
Alors le graphe dual de Yest ´egal au graphe de McKay de R.
Gonzalez-Sprinberg et Verdier mirent en ´evidence g´eom´etriquement cette
observation `a l’aide de fibr´es tautologiques ([GSV83]). Ils nomm`erent ce
ph´enom`ene correspondance du McKay. Classiquement, on parle de singula-
rit´e de type ADE pour d´esigner une singularit´e du quotient Qde C2par
G⊂SL2(C). En effet, le graphe dual de Yest un graphe de Dynkin de type
ADE (voir [DV34] et [Art66]).
Ito et Reid propos`erent la g´en´eralisation ci-dessous de la correspon-
dance de McKay Classique. Cette correspondance de McKay g´en´eralis´ee fut
prouv´ee par Ito et Reid eux-mˆemes en dimension trois ([IR96]) puis par Ba-
tyrev en toute dimension ([Bat99]). Soit Gun sous-groupe fini de SLn(C).
On appelle ˆage d’un ´el´ement gde Get on note a(g) le nombre Pjλjo`u
les e2iπλj(λj∈[0,1[) sont les valeurs propres de g, r´epet´ees si multiples. Le
nombre a(g) est un entier compris entre 0 et n−1 invariant par conjugai-
son. En consid´erant Qle quotient de Cnpar G, on dit qu’une r´esolution de
singularit´es τ:Y→Qest cr´epante si ωYest isomorphe `a OY.
i

Th´eor`eme (Correspondance de McKay g´en´eralis´ee).Soit Gun sous-groupe
fini de SLn(C). On consid`ere Qle quotient de Cnpar Get on suppose
donn´ee Yune r´esolution cr´epante de Q. La cohomologie de Y`a coefficients
rationnels est nulle en d´egr´es impairs. En degr´es pairs, le rang de H2k(Y)
est ´egal au nombre de classes de conjugaison de Gd’ˆage k.
La correspondance de McKay a depuis connu de nombreuses autres
g´en´eralisations et est devenue un principe. Nous pouvons formuler ce prin-
cipe dans le cadre suivant, qui sera le cadre de cette th`ese. Soit Xune vari´et´e
lisse et Gun sous-groupe fini d’automorphismes. On suppose que l’action
pr´eserve le volume (i.e. pour tout point xde X,Gx⊂SL(TxX)). On sup-
pose de plus que l’action de Gsur Xest admissible (i.e. Xest recouvert
par des ouverts affines G-invariants) de sorte que le quotient g´eom´etrique
φ:X→Qexiste. La vari´et´e Qest normale mais singuli`ere. Cependant, le
fibr´e canonique ωXdescend en un fibr´e sur Q. Puisque ce fibr´e ´etend le fibr´e
canonique de l’ouvert lisse de Q, on l’appelle fibr´e canonique de Qet on le
note ωQ. Une r´esolution de singularit´es τ:Y→Q(i.e. un morphisme propre
qui est un isomorphisme au-dessus de l’ouvert lisse) est dite cr´epante si ωY
est naturellement isomorphe `a τ∗(ωQ) (i.e. l’isomorphisme prolonge celui au
dessus-de l’ouvert lisse). Dans ce cadre, la correspondance de McKay est
le principe selon lequel certaines informations g´eom´etriques de Yse lisent
dans la g´eom´etrie de l’action de Gsur X. Les informations g´eom´etriques
de Yconsid´er´ees sont souvent la cat´egorie d´eriv´ee born´ee ou l’anneau de
cohomologie. On parle alors de correspondance de McKay d´eriv´ee ou mul-
tiplicative. Dans cette th`ese, on s’int´eresse `a la correspondance de McKay
multiplicative : d´ecrire l’anneau de cohomologie de Y`a partir de la g´eom´etrie
de l’action de Gsur X. Les exemples originaux de travaux concernant le cup
produit de le cohomologie de Ysont les suivants :
•X= (C2)n,G=Sn,Y= Hilbn(C2) ([LS01])
•X=Mn,G=Sn,Y= Hilbn(M) ([LS03] et [LQW04])
(Msurface quasi-projective, ωMnum´eriquement trivial)
•X= (C2)n,G⊂Sp((C2)n), Yquelconque ([GK04])
Sur chacun de ses exemples, l’anneau de cohomologie de Y`a coefficients com-
plexes peut ˆetre d´ecrit par un mod`ele ne faisant intervenir que la g´eom´etrie
de l’action de Gsur X, de sorte la correspondance de McKay multiplicative
obtenue valide une conjecture plus g´en´erale : la conjecture de Ruan.
Conjecture de Ruan
La conjecture de Ruan provient de la th´eorie des cordes en physique.
Elle s’´enonce dans le cadre des orbifolds complexes qui est plus g´en´eral que
de cadre des quotients pour la correspondance de McKay multiplicative. Un
orbifold est un espace topologique ayant pour mod`ele local le quotient d’une
vari´et´e lisse par un groupe fini (voir [Sat56] ou [CR04]). Un orbifold est dit
ii

complexe si il est localement le quotient d’une vari´et´e alg´ebrique complexe
lisse par un groupe fini d’automorphismes. Chen et Ruan ont d´efini l’an-
neau de cohomologie orbifold H∗
o(O) pour un orbifold complexe O([CR04]).
Fantechi et G¨ottsche redonnent une d´efinition de l’anneau de cohomologie
orbifold H∗
o(Q) dans le cas d’un quotient Qde Xpar G([FG03]). Remar-
quons que H∗
o(Q) est un mod`ele d’anneau d´efini `a partir de la g´eom´etrie de
l’action de Gsur X.
Un orbifold complexe Oest dit Gorenstein si il est localement le quotient
d’une vari´et´e complexe par un groupe fini d’automorphismes dont l’action
pr´eserve le volume. Dans ce cas, il existe un unique fibr´e sur Oqui ´etend le
fibr´e canonique sur l’ouvert lisse de O. Ce fibr´e est donc appel´e fibr´e cano-
nique de Oet not´e ωO. Une r´esolution de singularit´es τ:Y→Oest dite
cr´epante si τ∗(ωO) est naturellement isomorphe `a ωY. Selon la conjecture de
Ruan, il existe un isomorphisme d’espace vectoriel de H∗
o(O) dans H∗(Y)
(`a coefficients complexes) qui identifie le cup produit orbifold au cup pro-
duit d´eform´e par certains invariants quantiques ([Rua06]). Il est `a noter que
cette conjecture ne pr´ecise pas l’isomorphisme d’espaces vectoriels et n’est
formul´ee que dans le cas compact.
Remarquons que, dans le cas du quotient Qde Cnpar G⊂SLn(C),
le conjecture de Ruan est compatible avec la correspondance de McKay
g´en´eralis´ee. En effet, dans ce cas H∗
o(Q) = GrFZ(C[G]) o`u Fest la filtration
de l’alg`ebre C[G] par (deux fois) l’ˆage. Donc la correspondance de McKay
g´en´eralis´ee implique l’existence d’un isomorphisme (mˆeme gradu´e) entre les
espaces vectoriels H∗
o(Q) et H∗(Y).
Pour les exemples originaux de travaux concernant le cup produit de la
cohomologie de Y, cit´es pr´ec´edemment, les anneaux H∗(Y) et H∗
o(Q) sont
isomorphes. Puisque sur ces exemples les invariants quantiques sont tous
nuls, la conjecture de Ruan est v´erifi´ee.
Les exemples pour lesquels la conjecture de Ruan a ´et´e v´erifi´ee avec
invariants quantiques non nuls s’inscrivent dans le cadre des orbifolds `a sin-
gularit´es ADE- transversales introduit par Perroni ([Per]). Perroni consid`ere
un orbifold Odont le lieu singulier Sest lisse de codimension 2 et tel que Q
soit d´ecrit analytiquement au voisinage de Scomme une famille param´etr´ee
par Sd’un germe de singularit´e de type ADE. Un tel orbifold Oadmet une
unique r´esolution cr´epante Y. Dans le cas o`u Oest compact et la singularit´e
est de type A, Perroni propose un isomorphisme d’espace vectoriels entre
H∗
o(0) et H∗(Y). Dans le cas de singularit´es A1et A2-transversales, il v´erifie
la conjecture de Ruan. En fait, les exemples originaux de v´erification de la
conjecture de Ruan pour des singularit´es de type A1,A2et A3-transversales
sont les suivants :
•Le quotient Qde M2par σ2,Msurface projective ([LQ02])
•Le quotient Qde C2par Z/3Z([BGP])
•L’espace projectif `a poids P(1,3,4,4) ([BMP])
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