11 Lois à densité Lois de probabilités à densité On dit qu’une variable aléatoire est continue, si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle I inclus dans R On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans un intervalle I ⊂ R, suit une loi de probabilité de densité f sur I, si pour tout intervalle J ⊂ I, on a Z p (X ∈ J) = f (x) dx J Définition 44 La fonction f devant vérifier les propriétés suivantes : • f est une fonction continue sur l’intervalle I. • f est une fonction positive sur l’intervalle I. Z • f (x) dx = 1. I Soit X une variable aléatoire continue, à valeurs sur I, suivant une loi de probabilités de densité f alors : a. Quel que soit x 0 dans I, p (X = x 0 ) = 0 Propriété 57 b. Quels que soient a et b dans I p(X ∈ [a, b]) = p(X ∈ [a, b[) = p(X ∈ ]a, b]) = p(X ∈ ]a, b[) c. p(X > a) = p(X > a) Loi uniforme sur un intervalle [a, b] Définition 45 On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle I = [a, b], si sa densité 1 de probabilité f est la fonction constante sur I, égale à b−a Soit X une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur l’intervalle I = [a, b]. Soient α et β tels que a 6 α 6 β 6 b, et soit J = [α, β], alors ¡ ¢ p(J) = p [α, β] = Propriété 58 Ou encore p(J) = 42 Z β α 1 β−α dx = b−a b−a Longueur de J Longueur de I Sommaire chapitre 13 Francis C ORTADO Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle [a, b]. On appelle espérance mathématique de X le réel noté E(X) et définit par : Définition 46 E(X) = a +b 2 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de densité f sur un intervalle [a, b]. On appelle espérance mathématique de X, le réel noté E(X) défini par Définition 47 b Z E(X) = t f (t ) dt a Loi exponentielle de paramètre λ sur [0, +∞[ Définition 48 On dit qu’une variable aléatoire T, à valeurs dans [0, +∞[, suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, si pour tout a > 0, on a p(T 6 a) = 1 − e−λa Soit T une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0, alors pour tous réels positifs a et b : Propriété 59 a. p(T < b) = p(T 6 b) = 1 − e−λ b b. p(T > a) = p(T > a) = e−λ a c. p(a 6 T 6 b) = e−λ a − e−λ b Propriété 60 Soit T une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ > 0. Alors pour tous réels positifs t et h pT>t (T > t + h) = p(T > h) Propriété 61 La fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ > 0, est la fonction définie sur [0, +∞[ par : t 7−→ λe−λ t Définition 49 On appelle espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre λ, le réel définit par Z x E = lim t × λe−λ t dt x→+∞ 0 Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors : Propriété 62 E(X) = Francis C ORTADO Sommaire chapitre 13 1 λ 43 Loi normale centrée réduite sur R Théorème de Moîvre-Laplace Soit pour tout entier naturel n, une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B (n, p), soit Zn la variable centrée réduite correspondante : Xn − np Zn = p np(1 − p) Théorème 21 Alors pour tout réel a et b, tels que a < b : Z lim p (a 6 Zn 6 b) = n→+∞ b x2 1 p e− 2 dx 2π a On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite, notée N (0, 1), si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie sur R par Définition 50 x2 1 f (x) = p e− 2 2π Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite, alors pour tout réel a et b tels que a < b, on a Propriété 63 Z p (a 6 X 6 b) = p ([a, b]) = b a x2 1 p e− 2 dx 2π Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite, et soit u un réel positif. Propriété 64 a. p(X > 0) = p(X 6 0) = 0, 5 b. p(X 6 −u) = p(X > u) = 1 − p(X 6 u) c. p(−u 6 X 6 u) = 1 − 2p(X > u) = 2p(X 6 u) − 1 Définition de l’espérance et de la variance Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. a. On appelle espérance de X, le réel définit par 0 Z E(X) = lim x→−∞ Définition 51 x y Z t f (t ) dt + lim y→+∞ t f (t ) dt 0 Où t 7−→ f (t ) est la densité de probabilité de X b. On appelle variance de X le réel positif définit par ¡ ¢ Var(X) = E (X − E(X))2 c. E(X) = 0 et Var(X) = 1 44 Sommaire chapitre 13 Francis C ORTADO Théorème 22 Soit Z une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite N (0, 1). Pour tout α ∈ ]0, 1[, il existe un unique réel positif noté u α tel que : p (−u α 6 Z 6 u α ) = 1 − α Loi normale N (µ, σ2 ) Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ, σ2 ), si la variable aléatoire normale centrée réduite N (0, 1) X−µ σ suit la loi a. Son espérance est E(X) = µ. Définition 52 Francis C ORTADO b. Sa variance est Var(X) = σ2 , et son écart-type est σ. ¡ £ ¤¢ c. p X ∈ µ − σ, µ + σ w 0, 68 ¡ £ ¤¢ d. p X ∈ µ − 2σ, µ + 2σ w 0, 95 ¡ £ ¤¢ e. p X ∈ µ − 3σ, µ + 3σ w 0, 997 Sommaire chapitre 13 45