Lois à densité

Lois à densité
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Lois de probabilités à densité
On dit qu’une variable aléatoire est continue, si elle peut prendre toutes les valeurs d’un in-
tervalle I inclus dans R
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans un intervalle I⊂R, suit une loi de pro-
babilité de densité fsur I, si pour tout intervalle J⊂I, on a
p(X∈J)=ZJ f(x)dx
La fonction fdevant vérifier les propriétés suivantes :
•fest une fonction continue sur l’intervalle I.
•fest une fonction positive sur l’intervalle I.
•ZI f(x)dx=1.
Définition 44
Soit X une variable aléatoire continue, à valeurs sur I, suivant une loi de probabilités de den-
sité falors :
a. Quel que soit x0dans I,
p(X=x0)=0
b. Quels que soient aet bdans I
p(X∈[a,b]) =p(X∈[a,b[) =p(X∈]a,b]) =p(X∈]a,b[)
c. p(X>a)=p(X>a)
Propriété 57
Loi uniforme sur un intervalle [a,b]
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l’intervalle I=[a,b], si sa densité
de probabilité fest la fonction constante sur I, égale à 1
b−a
Définition 45
Soit X une variable aléatoire X qui suit une loi uniforme sur l’intervalle I=[a,b].
Soient αet βtels que a6α6β6b, et soit J=[α,β], alors
p(J)=p¡[α,β]¢=Zβ
α
1
b−adx=β−α b−a
Ou encore
p(J)=Longueur de J
Longueur de I
Propriété 58
42 Sommaire chapitre 13 Francis CORTADO

Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur un intervalle [a,b].
On appelle espérance mathématique de X le réel noté E(X) et définit par :
E(X)=a+b
2
Définition 46
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de densité fsur un intervalle [a,b].
On appelle espérance mathématique de X, le réel noté E(X) défini par
E(X)=Zb
a
t f (t)dt
Définition 47
Loi exponentielle de paramètre λsur [0, +∞[
On dit qu’une variable aléatoire T, à valeurs dans [0, +∞[, suit une loi exponentielle de para-
mètre λ>0, si pour tout a>0, on a
p(T6a)=1−e−λa
Définition 48
Soit T une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ>0, alors pour tous
réels positifs aet b:
a. p(T<b)=p(T6b)=1−e−λb
b. p(T>a)=p(T>a)=e−λa
c. p(a6T6b)=e−λa−e−λb
Propriété 59
Soit T une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ>0.
Alors pour tous réels positifs tet h
pT>t(T>t+h)=p(T>h)
Propriété 60
La fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre λ>0, est la fonction définie sur
[0, +∞[ par :
t7−→λe−λt
Propriété 61
On appelle espérance mathématique de la loi exponentielle de paramètre λ, le réel définit par
E=lim
x→+∞ Zx
0
t×λe−λtdt
Définition 49
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors :
E(X)=1
λ
Propriété 62
Francis CORTADO Sommaire chapitre 13 43

Loi normale centrée réduite sur R
Théorème de Moîvre-Laplace
Soit pour tout entier naturel n, une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n,p), soit
Znla variable centrée réduite correspondante :
Zn=
Xn−np
pnp(1 −p)
Alors pour tout réel a et b, tels que a <b :
lim
n→+∞ p(a6Zn6b)=Zb
a
1
p2πe−x2
2dx
Théorème 21
On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite, notée N(0,1), si elle
admet pour densité de probabilité la fonction fdéfinie sur Rpar
f(x)=1
p2πe−x2
2
Définition 50
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite, alors pour tout réel aet
btels que a<b, on a
p(a6X6b)=p([a,b])=Zb
a
1
p2πe−x2
2dx
Propriété 63
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite, et soit uun réel
positif.
a. p(X>0) =p(X60) =0,5
b. p(X6−u)=p(X>u)=1−p(X6u)
c. p(−u6X6u)=1−2p(X>u)=2p(X6u)−1
Propriété 64
Définition de l’espérance et de la variance
Soit X une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite.
a. On appelle espérance de X, le réel définit par
E(X)=lim
x→−∞ Z0
x
t f (t)dt+lim
y→+∞ Zy
0
t f (t)dt
Où t7−→ f(t) est la densité de probabilité de X
b. On appelle variance de X le réel positif définit par
Var(X)=E¡(X−E(X))2¢
c.
E(X)=0 et Var(X)=1
Définition 51
44 Sommaire chapitre 13 Francis CORTADO

Soit Z une une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite N(0, 1).
Pour tout α∈]0, 1[, il existe un unique réel positif noté uαtel que :
p(−uα6Z6uα)=1−α
Théorème 22
Loi normale N(µ,σ2)
Une variable aléatoire X suit la loi normale N(µ,σ2), si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi
normale centrée réduite N(0, 1)
a. Son espérance est E(X)=µ.
b. Sa variance est Var(X)=σ2, et son écart-type est σ.
c. p¡X∈£µ−σ,µ+σ¤¢w0,68
d. p¡X∈£µ−2σ,µ+2σ¤¢w0,95
e. p¡X∈£µ−3σ,µ+3σ¤¢w0,997
Définition 52
Francis CORTADO Sommaire chapitre 13 45