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Lois de probabilité à densité
www.mathmaurer.com – Cours – terminale S
I – Loi à densité sur un intervalle
Contrairement à une variable aléatoire discrète, une variable aléatoire continue X prend un nombre infini de
valeurs dans un intervalle de .
Exemple de variable aléatoire continue
On lance une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on mesure la distance d entre le point d'impact et le
centre de la cible (en mètres). Le réel d peut prendre une infinité de valeurs dans l'intervalle 0;1 .
(On suppose que l'on dispose d'un outil de mesure "aussi précis que nécessaire".)
Définition 1: On appelle fonction de densité sur un intervalle I , une fonction f telle que :
• f est continue sur I.
• Pour tout x  I , f ( x)  0 .
• L'intégrale de f sur I est égale à 1.

Définition 2: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans I , munie d'une fonction de densité
f sur I. On dit que P est la loi de probabilité de densité f lorsque pour tout intervalle
 a ; b inclus dans I, P  X   a ; b  est l'aire sous la courbe Cf représentative de f limitée par
les droites d'équations x  a et x  b .
.
Cf
P  X   a ; b  

b
f ( x)dx
a

y  2x

Propriété 1: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité f
sur  a ; b  .
(1) Pour tout c ; d    a ; b , 0  P  X   c ; d   1 et P  X   a ; b 
(2) Pour tout c   a ; b , P  X  c   0 et P  X  c   P  X  c 

b
f ( x)dx  1
a
(3) Si  c ; d    e ; f    alors P  X   c ; d   e ; f   P  X  c ; d   P  X  e ; f 
(4) Pour tout c   a ; b  , P  X   a ; c   P  X  c ; b   1

II – Loi uniforme
La loi uniforme modélise l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un réel au hasard dans un intervalle  a ; b  .
On déduit de l'activité 2 la définition suivante.
Définition 3: On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur  a ; b  lorsqu'elle admet comme
densité de probabilité la fonction f définie sur  a ; b  par :
Cf
f ( x) 
1
, ab
ba
a
b
Propriété 2: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur  a ; b  .
Pour tout c ; d    a ; b , P  X   c ; d  
d c
ba

III – Espérance mathématique d'une variable aléatoire
Définition 4: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité f
sur  a ; b  . On appelle espérance mathématique de X le nombre E ( X ) tel que:
E( X ) 

b
x f ( x) dx
a
Propriété 3: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur  a ; b  .
E( X ) 
ab
2

IV – Lois exponentielles
Définition 5: Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre   0 , si sa fonction de
densité est la fonction f définie sur  0;   par f ( x)   e x .
Propriété 4: Pour tout intervalle  c ; d  inclus dans  0;   , on a p  c  X  d   e c  e  d .
En particulier, pour tout réel x  0, p  X  x   1  e  x .

Remarque : La loi exponentielle modélise la probabilité de durée de vie d'un objet (désintégration nucléaire,
durée de vie d'un composant électronique, ...).
Propriété 5: L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre  est :
1
E( X ) 


Propriété 6: Soit T une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre  .
 t , h  0, p(T t ) T  t  h   p T  h 
p(T  t ) T  t  h  est la probabilité que T soit supérieur à t  h sachant que T  t .
On dit que T vérifie la propriété de "durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire".
