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I – Loi à densité sur un intervalle
Contrairement à une variable aléatoire discrète, une variable aléatoire continue X prend un nombre infini de
valeurs dans un intervalle de .
Exemple de variable aléatoire continue
On lance une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on mesure la distance d entre le point d'impact et le
centre de la cible (en mètres). Le réel d peut prendre une infinité de valeurs dans l'intervalle
0;1
.
(On suppose que l'on dispose d'un outil de mesure "aussi précis que nécessaire".)
Définition 1: On appelle fonction de densité sur un intervalle I , une fonction f telle que :
• f est continue sur I.
• Pour tout
, ( ) 0x I f x
.
• L'intégrale de f sur I est égale à 1.
Définition 2: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans I , munie d'une fonction de densité
f sur I. On dit que P est la loi de probabilité de densité f lorsque pour tout intervalle
;ab
inclus dans I,
;P X a b
est l'aire sous la courbe Cf représentative de f limitée par
les droites d'équations
xa
et
xb
.
.
Propriété 1: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans
;ab
, munie d'une fonction de densité f
sur
;ab
.
(1) Pour tout
;;c d a b
,
0 ; 1P X c d  
et
; ( ) 1
b
a
P X a b f x dx  
(2) Pour tout
; , 0 et c a b P X c P X c P X c     
(3) Si
; ; alors ; ; ; ;c d e f P X c d e f P X c d P X e f        
(4) Pour tout
; , ; ; 1c a b P X a c P X c b    
Lois de probabilité à densité
www.mathmaurer.com – Cours – terminale S
; ( )
b
a
P X a b f x dx
Cf
2yx

II – Loi uniforme
La loi uniforme modélise l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un réel au hasard dans un intervalle
;ab
.
On déduit de l'activité 2 la définition suivante.
 III – Espérance mathématique d'une variable aléatoire
 IV – Lois exponentielles
 Remarque : La loi exponentielle modélise la probabilité de durée de vie d'un objet (désintégration nucléaire,
durée de vie d'un composant électronique, ...).
Définition 3: On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur
;ab
lorsqu'elle admet comme
densité de probabilité la fonction f définie sur
;ab
par :
Propriété 2: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
;ab
.
Pour tout
;;c d a b
,
;dc P X c d ba
Définition 4: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans
;ab
, munie d'une fonction de densité f
sur
;ab
. On appelle espérance mathématique de X le nombre
()EX
tel que:
( ) ( )
b
a
E X x f x dx
Propriété 3: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
;ab
.
() 2
ab
EX 
Définition 5: Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre
0
, si sa fonction de
densité est la fonction f définie sur
0;
par
() x f x e
.
Propriété 4: Pour tout intervalle
;cd
inclus dans
0;
, on a
cd
p c X d e e
.
En particulier, pour tout réel
0, 1 x x p X x e
.
Propriété 5: L'espérance d'une variable aléatoire X qui suit la loi exponentielle de paramètre
est :
1
()EX
1
( ) ,f x a b
ba
Cf
a
b

Propriété 6: Soit T une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre
.
()
, 0, Tt t h p T t h p T h
()Tt
p T t h
est la probabilité que T soit supérieur à
th
sachant que
Tt
.
On dit que T vérifie la propriété de "durée de vie sans vieillissement ou sans mémoire".