ICARE SESSION 1997 Math 2

ICARE SESSION 1997
Math 2
dur´ee 4 heures
(calculatrice interdite)
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PROBLEME 1
On se propose dans ce probl`eme d’´etudier l’ensemble, not´e Σ, des points de l’espace ´equidistants
de deux droites Det D0non coplanaires et orthogonales.
Les parties A, B et C peuvent ˆetre trait´ees de fa¸con ind´ependante.
Partie A:
1a.) Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour qu’une r´eflexion laisse invariante une
droite donn´ee.
En d´eduire qu’il existe deux r´eflexions et deux seulement qui laissent simultan´ement invari-
ante les doites Det D0: l’une par rapport au plan passant par Det orthogonal `a D0en un
point B, l’autre par rapport au plan passant par D0et orthogonal `a Den un point A.
b.) Montrer que Σ admet en particulier deux plans de sym´etrie et un axe de sym´etrie.
2.) Montrer que l’intersection de Σ avec l’un quelconque de ses plans de sym´etrie est une
parabole dont on pr´ecisera le foyer et la directrice.
Partie B:
Dans cette partie, ainsi que dans la partie C, l’espace est rapport´e `a un rep`ere orthonormal
(O, −→ i , −→ j , −→ k).
La droite Dpasse par le point Ade coordonn´ees (0,0,1) et admet comme vecteur directeur −→ u
tel que −→ u=−→ i+−→ j.
La droite D0passe par le point Bde coordonn´ees (0,0,−1) et admet comme vecteur directeur
−→
vtel que −→ v=−→ i−−→ j.
1a.) V´erifier que Det D0sont orthogonales et non coplanaires.
Montrer que le point Oappartient `a Σ.
b.) Montrer qu’une repr´esentation param´etrique de Dest (x=t, y =t, z = 1; t∈R).
Soit Mun point de coordonn´ees (x, y, z) et Pun point de D.Exprimer MP 2comme fonction
1

2
de tet en d´eduire la distance de M`a D.
c.) Calculer de mˆeme la distance du point M`a la droite D0.
d.) En d´eduire que Mappartient `a Σ si et seulement si on a xy + 2z= 0.
2.) D´eduire de cette relation:
a) que les intersections de Σ avec des plans orthogonaux `a la droite (AB) sont en g´en´eral des
hyperboles. Pr´eciser le cas d’exception.
b) la nature des intersections de Σ avec des plan orthogonaux `a l’axe des xo`u `a celui des y.
Partie C:
Soit M(t) le point de Σ admettant pour abscisse x(t) = 4 cos tet pour ordonn´ee y(t) = sin 2t
dans le rep`ere (O, −→ i , −→ j , −→ k). Lorsque tvarie sur R, le point Md´ecrit une courbe Γ incluse
dans Σ.
1.) Construire la courbe Γz, projection de Γ sur le plan d’´equation z= 0.
2.) On d´esigne par Γxla projection orthogonale de Γ sur le plan d’´equation x= 0, et par Γy
la projection orthogonale de Γ sur le plan d’´equation y= 0.
Construire ces courbes apr`es avoir donn´e une repr´esentation param´etrique de chacune d’elles.
PROBLEME 2
Le but de ce probl`eme est de g´en´eraliser la notion d’inverse d’une matrice carr´ee `a coefficients
dans R.
On notera Mn(R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre n`a coefficients dans R,tMla trans-
pos´ee de la matrice M,T r(M) la trace de la matrice M(somme des ´el´ements diagonaux). On
associe `a toute matrice Mde Mn(R) l’endomorphisme φMde E=Rndont la matrice dans la
base canonique est M, et on note Im(M) son image et Ker(M) son noyau.
Soit Aune matrice non nulle de Mn(R) de rang rg(A) = ρ.
Pour X∈ Mn(R) on d´efinit les relations:
(1) AXA=A
(2) XAX=X
(3) AX=XA
Si (1) et (2) sont v´erifi´ees, on dit que Xest un inverse faible de A, et si (1), (2) et (3) sont
v´erifi´ees, on dit que Xest un pseudo-inverse de A.
Partie 1
1.) Montrer que pour toutes matrices Aet Bde Mn(R), T r(AB) = T r(BA).
2.) Si A0est semblable `a A,montrer que T r(A0) = T r(A).
3.) On suppose que Aest une matrice de projection. (A2=A).
Montrer que E= Ker(A)⊕Im(A).

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En d´eduire que T r(A) = rg(A).
Partie 2
1.) Soit M=1 0
0 0. Calculer M3et en d´eduire un inverse faible de M. Est-ce un pseudo-
inverse?
V´erifier que 1 1
0 0est aussi un inverse faible de M. Est-ce aussi un pseudo-inverse?
2.) On suppose que Xv´erifie (1), c’est `a dire AXA =A.
a.) Prouver que AX et XA sont des matrices de projection.
b.) Prouver que rg(A) = rg(AX) = rg(XA) = T r(AX).
Remarque: rg(U V )≤inf (rg(U), rg(V)).
3.) On suppose Ainversible.
Si Xv´erifie (1), prouver que Xest unique et est un pseudo-inverse de A.
4.) On suppose que Xet X0sont des pseudo-inverses de A.
a.) Calculer AXAX0.
b.) En d´eduire AX0=XA puis X=X0.Conclure.
5.) En supposant que Aadmet un pseudo-inverse X,prouver que les matrices suivantes ont
un pseudo-inverse et le calculer:X,λA (λ∈R∗), Ak(k∈N∗), tA,RAR−1pour Rinversible
quelconque.
6.) On suppose que Im (A)∩Ker (A) = {0}.
a.) Montrer que Rn= Im (A)⊕Ker (A).
b.) Montrer que pour tout vde Rn, il existe wunique de Im (A) tel que φA(w)−v∈Ker(A).
c.) On note w=ϕ(v).
Montrer que ϕest un endomorphisme de Rnet que sa matrice relativement `a la base canon-
ique est un pseudo-inverse de A. (On remarquera que Im(ϕ)⊂Im(A)).
7.) On suppose que Aadmet un pseudo-inverse X.
a.) Montrer que Im(X) = Im(A), Ker(X) = Ker(A) et Rn= Im(A)⊕Ker(A).
b.) Montrer que AX est la matrice de projection de Rnsur Im(A), parall`element `a Ker(A).
Partie 3
Dans cette partie l’espace Cnest muni du produit scalaire
hP|P0i=
n
X
i=1
pip0
i
avec P= (p1, p2,...,pn) et P0= (p0
1, p0 2,...,p0 n).
Une matrice Ad’ordre n`a coefficients complexes est dite circulante si elle est de de forme
A=
a1a2an
ana1an−1
a2a3a1

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1.) Soit C=
0100
0010
0001
1000
. V´erifier que I,C,C2,C3sont des matrices circulantes.
Montrer que l’ensemble des matrices circulantes `a coefficients complexes d’ordre 4 est un
espace vectoriel dont une base est (I, C, C2, C3), et donner la d´ecomposition d’une matrice
circulante quelconque dans cette base.
3.) Soit Aune matrice carr´ee d’ordre 4. Montrer que Aest une matrice circulante si et
seulement si AC =CA.
4.) D´eterminer les valeurs propres de Cet, pour chaque valeur propre λj,d´eterminer un
vecteur propre Ujde norme 1 qui lui soit associ´e.
5.) Montrer que les Ujforment une base orthonormale de C4.
6.) Montrer que si Aest une matrice circulante, Ujest un vecteur propre de A.
Si µjest la valeur propre de Aassoci´ee `a ce vecteur, exprimer µjen fonction de λjet des
coefficients de la matrice A.
7.) Soit Aune matrice circulante d’ordre 4. D´eterminer une base de Ker(A) et une base de
Im(A) `a l’aide des vecteurs Uj.
8.) Montrer que C4= Ker(A)⊕Im(A) et que (Ker(A))⊥= Im(A).
9.) Soit Ble pseudo-inverse de A.
Sachant que, comme dans II.7.b.) BA est la projection orthogonale de C4sur Im(A) par-
all`element `a Ker(A), exprimer la matrice ´equivalente `a Bdans la base (Uj). On distinguera
les cas µj= 0 et µj6= 0.
10.) D´eterminer le pseudo-inverse de T=1
2
1100
0110
0011
1001
en utilisant la base (Uj).