Pseudo-inverse d`une matrice carrée

Devoir Libre no 4
MP 933 & 934
☞  octobre 
Pseudo-inverse d’une matrice carrée
Le but de ce problème est de généraliser la notion d’inverse d’une matrice carrée à coefficients dans R.
On notera Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans R et tr M la trace de la matrice M.
On associe, à tout M ∈ Mn (R), l’endomorphisme ΦM de Rn dont la matrice dans la base canonique est M, on note
Im M son image et Ker M son noyau.
Soit A une matrice non nulle de Mn (R), et notons ρ son rang.
Pour X ∈ Mn (R), on définit les relations :
AXA = A
XAX = X
(1)
(2)
AX = XA.
(3)
Si (1) et (2) sont vérifiées, on dit que X est un inverse faible de A, et si (1), (2) et (3) sont vérifiées, on dit que
X est un pseudo-inverse de A.
I
Quelques propriétés des pseudo-inverses
1 0
. Calculer M3 et en déduire un inverse faible de M. Est-ce un pseudo-inverse ?
0 0
1 1
Vérifier que
est aussi un inverse faible de M. Est-ce aussi un pseudo-inverse ?
0 0
I.1. On pose M =
I.2. On suppose que X vérifie (1), c’est-à-dire que AXA = A.
a) Prouver que AX et XA sont des matrices de projection.
b) Prouver que rg A = rg(AX) = rg(XA) = tr(AX).
Indication : On pourra démontrer le résultat suivant : pour tout couple (U, V) de matrices carrées d’ordre n, rg(UV) 6
inf(rg U, rg V).
I.3. On suppose A inversible. Si X vérifie (1), prouver que X est l’unique matrice vérifiant (1), et que c’est un pseudo-inverse
de A.
I.4. On suppose que X et X′ sont des pseudo-inverses de A.
Calculer AXAX′ . En déduire AX′ = XA puis X = X′ . Conclure.
I.5. En supposant que A admet un pseudo-inverse X, prouver que les matrices suivantes ont un pseudo-inverse et le calculer :
X;
λA (λ ∈ R∗ ) ;
Ak (k ∈ N∗ ) ;
RAR−1 (R inversible).
I.6. On suppose que Im A ∩ Ker A = {0}.
a) Montrer que Rn = Im A ⊕ Ker A.
b) Montrer que, pour tout v ∈ Rn , il existe un unique élément w de Im A tel que ΦA (w) − v ∈ Ker A.
c) On note alors w = ϕ(v). Montrer qu’on définit ainsi un endomorphisme ϕ de Rn , et que sa matrice relativement à
la base canonique est un pseudo-inverse de A.
I.7. On suppose que A admet un pseudo-inverse X.
a) Montrer que Im X = Im A, que Ker X = Ker A et que Rn = Im A ⊕ Ker A.
b) Montrer que AX est la matrice de projection de Rn sur Im A parallèlement à Ker A.
I.8. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
i) A admet un pseudo-inverse ;
ii) Im(A2 ) = Im(A) ;
iii) Ker(A2 ) = Ker(A) ;
iv) A et A2 ont même rang ;
v) il existe V ∈ Mn (R) vérifiant : A2 V = A ;
2
vi) il existe W ∈ Mn (R) vérifiant : WA = A.
samedi  octobre  —  vendémiaire 
(4)
(5)
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
II
Mathématiques, MP 933 & 934
Matrices circulantes
Dans cette partie„ l’espace complexe Cn est muni du produit scalaire défini sur tout couple (P, P′ ) de Cn × Cn par
hP| P′ i =
n
X
p̄i pi
avec P = (p1 , p2 , . . . , pn )
P′ = (p′ 1 , p′ 2 , . . . , p′ n ) .
i=1
Une matrice A d’ordre n à coefficients complexes est dite circulante si elle est de la forme


a1
a2 a3 . . .
an
 an
a1 a2 . . . an−1 


an−1 an a1 . . . an−2 
A=
.
 ..
..
.. . .
.. 
 .
.
.
.
. 
a2
a3 a4 . . .
a1

0
0
II.1. On pose C = 
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0
. Vérifier que I, C, C2 et C3 sont des matrices circulantes.
1
0
II.2. Montrer que l’ensemble des matrices circulantes à coefficients complexes d’ordre 4 est un espace vectoriel dont une base
est (I, C, C2 , C3 ), et donner une décomposition d’une matrice circulante quelconque sur cette base.
II.3. Soit A une matrice carrée d’ordre 4, montrer que A est une matrice circulante si, et seulement si AC = CA.
II.4. Déterminer les valeurs propres de C et, pour chaque valeur propre λj , déterminer un vecteur propre Uj de norme 1 qui
lui soit associé.
II.5. Montrer que les Ui forment une base orthonormale de C4 .
II.6. Soit j ∈ [[1, n]]. Montrer que si A est une matrice circulante, Uj est un vecteur propre de A. Si µj est la valeur propre
de A associée à ce vecteur, exprimer µj en fonction de λj et des coefficients de la matrice A.
II.7. Soit A une matrice circulante d’ordre 4, déterminer une base de Ker A et de Im A à l’aide des vecteurs (Uj )j .
II.8. Soit B le pseudo-inverse de A. Sachant, comme montré en dernière question de la partie I, que BA est la projection
orthogonale de C4 sur Im A parallèlement à Ker A, exprimer la matrice équivalente à B dans la base (Uj )j . On
distinguera les cas µj = 0 et µj 6= 0.
II.9. Déterminer le pseudo-inverse de

1
1
0
T= 
2 0
1
1
1
0
0
0
1
1
0

0
0

1
1
en utilisant la base des vecteurs (Uj )j .
Pseudo-inverse d’une matrice carrée
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