Pseudo-inverse d`une matrice carrée

MP 933 &934 Devoir Libre no4☞ octobre 
Pseudo-inverse d’une matrice carrée
Le but de ce problème est de généraliser la notion d’inverse d’une matrice carrée à coefficients dans R.
On notera Mn(R)l’ensemble des matrices carrées d’ordre nà coefficients dans Ret tr M la trace de la matrice M.
On associe, à tout M∈Mn(R), l’endomorphisme ΦMde Rndont la matrice dans la base canonique est M, on note
Im M son image et Ker M son noyau.
Soit Aune matrice non nulle de Mn(R), et notons ρson rang.
Pour X∈Mn(R), on définit les relations :
AXA = A (1)
XAX = X (2)
AX = XA.(3)
Si (1) et (2) sont vérifiées, on dit que Xest un inverse faible de A, et si (1),(2) et (3) sont vérifiées, on dit que
Xest un pseudo-inverse de A.
I Quelques propriétés des pseudo-inverses
I.1. On pose M = 1 0
0 0. Calculer M3et en déduire un inverse faible de M. Est-ce un pseudo-inverse ?
Vérifier que 1 1
0 0est aussi un inverse faible de M. Est-ce aussi un pseudo-inverse ?
I.2. On suppose que Xvérifie (1), c’est-à-dire que AXA = A.
a) Prouver que AX et XA sont des matrices de projection.
b) Prouver que rg A = rg(AX) = rg(XA) = tr(AX).
Indication : On pourra démontrer le résultat suivant : pour tout couple (U,V) de matrices carrées d’ordre n,rg(UV) 6
inf(rg U,rg V).
I.3. On suppose Ainversible. Si Xvérifie (1), prouver que Xest l’unique matrice vérifiant (1), et que c’est un pseudo-inverse
de A.
I.4. On suppose que Xet X′sont des pseudo-inverses de A.
Calculer AXAX′. En déduire AX′= XA puis X = X′. Conclure.
I.5. En supposant que Aadmet un pseudo-inverse X, prouver que les matrices suivantes ont un pseudo-inverse et le calculer :
X ; λA (λ∈R∗) ; Ak(k∈N∗) ; RAR−1(R inversible).
I.6. On suppose que Im A ∩Ker A = {0}.
a) Montrer que Rn= Im A ⊕Ker A.
b) Montrer que, pour tout v∈Rn, il existe un unique élément wde Im A tel que ΦA(w)−v∈Ker A.
c) On note alors w=ϕ(v). Montrer qu’on définit ainsi un endomorphisme ϕde Rn, et que sa matrice relativement à
la base canonique est un pseudo-inverse de A.
I.7. On suppose que Aadmet un pseudo-inverse X.
a) Montrer que Im X = Im A, que Ker X = Ker A et que Rn= Im A ⊕Ker A.
b) Montrer que AX est la matrice de projection de Rnsur Im A parallèlement à Ker A.
I.8. Prouver que les conditions suivantes sont équivalentes :
i) Aadmet un pseudo-inverse ;
ii) Im(A2) = Im(A) ;
iii) Ker(A2) = Ker(A) ;
iv) Aet A2ont même rang ;
v) il existe V∈Mn(R)vérifiant : A2V = A ;(4)
vi) il existe W∈Mn(R)vérifiant : WA2= A.(5)
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Devoir Libre no4Mathématiques, MP 933 &934
II Matrices circulantes
Dans cette partie„ l’espace complexe Cnest muni du produit scalaire défini sur tout couple (P,P′)de Cn×Cnpar
hP|P′i=
n
X
i=1
¯pipiavec P = (p1, p2,...,pn)P′= (p′
1, p′ 2,...,p′ n).
Une matrice Ad’ordre nà coefficients complexes est dite circulante si elle est de la forme
A =
a1a2a3. . . an
ana1a2. . . an−1
an−1ana1. . . an−2
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
a2a3a4. . . a1
.
II.1. On pose C = 
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
. Vérifier que I,C,C2et C3sont des matrices circulantes.
II.2. Montrer que l’ensemble des matrices circulantes à coefficients complexes d’ordre 4est un espace vectoriel dont une base
est (I,C,C2,C3), et donner une décomposition d’une matrice circulante quelconque sur cette base.
II.3. Soit Aune matrice carrée d’ordre 4, montrer que Aest une matrice circulante si, et seulement si AC = CA.
II.4. Déterminer les valeurs propres de Cet, pour chaque valeur propre λj, déterminer un vecteur propre Ujde norme 1qui
lui soit associé.
II.5. Montrer que les Uiforment une base orthonormale de C4.
II.6. Soit j∈[[1, n]]. Montrer que si Aest une matrice circulante, Ujest un vecteur propre de A. Si µjest la valeur propre
de Aassociée à ce vecteur, exprimer µjen fonction de λjet des coefficients de la matrice A.
II.7. Soit Aune matrice circulante d’ordre 4, déterminer une base de Ker A et de Im A à l’aide des vecteurs (Uj)j.
II.8. Soit Ble pseudo-inverse de A. Sachant, comme montré en dernière question de la partie I, que BA est la projection
orthogonale de C4sur Im A parallèlement à Ker A, exprimer la matrice équivalente à Bdans la base (Uj)j. On
distinguera les cas µj= 0 et µj6= 0.
II.9. Déterminer le pseudo-inverse de
T = 1
2
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
en utilisant la base des vecteurs (Uj)j.
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