Séance 2 1 Variables aléatoires réelles - IMJ-PRG

Séance 2
1 Variables aléatoires réelles
1.1 Loi de probabilité d’une v.a.r
Le paradoxe de Bertrand (1888)
Soit Cun cercle de rayon 1.
Quelle est la probabilité qu’une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure
à√3?
Que vaut la probabilité ?
1
3ou 1 4
Le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur √3.
C’est un exemple de problème mal-posé : la distribution du milieu de la corde est différente dans chacun
des cas. Certes on choisit au hasard, mais suivant quelle loi ?
−•−
1.1.1 Définition d’une v.a.r
Soit (Ω,E,P)un espace probabilisé, une variable aléatoire réelle est une application :
X:Ω→R
ω�→ X(ω)
ayant la propriété suivante : l’image réciproque de tout intervalle de type ]a, b]est un élément de la tribu E.
∀a<b, X
−1(]a, b]) ∈E
Remarque : notons qu’une variable aléatoire n’a finalement rien d’aléatoire : c’est une application
parfaitement déterminée ! C’est un abus de langage, ce qui est aléatoire c’est X(ω)et non X.
−•−
1.1.2 Loi de probabilité
Soit (Ω,E,P)un espace probabilisé et Xune variable aléatoire réelle.
On appelle loi de probabilité de Xla probabilité, notée PX, image de Ppar X:
PX(]a, b]) = PX−1(]a, b])
Remarque : on utilisera les notations suivantes :
P(X∈A):=P({ω∈Ω|X(ω)∈A})
P(X=k):=P({ω∈Ω|X(ω)=k})
−•−
1

1.2 Fonction de répartition
Soit (Ω,E,P)un espace probabilisé et Xune variable aléatoire réelle.
La fonction de répartition de Xest la donnée de :
FX:R→[0,1]
y�→ PX(] −∞,y])
Quelques propriétés :
– la fonction est croissante et continue à droite.
–lim
+∞F=1et lim −∞ F=0.
– pour tout a<b
PX(]a, b]) = FX(b)−FX(a)
– Une fonction de répartition caractérise la loi.
−•−
1.3 Définition d’une variable aléatoire discrète
Rappelons que
X(Ω) := {X(ω)|ω∈Ω}
Définition 1. On dit qu’une variable aléatoire est discrète lorsque X(Ω)est fini ou dénombrable.
Remarques et exemple
– Si Ωest fini ou dénombrable, Xest une v.a discrète.
– Pour connaitre la loi, il suffit de la connaître sur les singletons {x}car
P(X∈I)=
x∈I
P(X=x)
– La Loi de Bernoulli
P(X=1)=pet P(X=0)=1−p=q
– Loi uniforme discrète
P(X=k)= 1
n
−•−
1.4 Définition d’une variable aléatoire continue
Définition 2. – Une densité de probabilité est une fonction positive d’intégrale 1.
– Soit Xune v.a.r et fXune densité de probabilité sur R. On dit que Xest v.a continue de densité
fXsi pour tout intervalle [a, b]de Ron a :
P(X∈[a, b]) = b
a
fX(t)dt
La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue est la primitive de la densité dont la limite
en −∞ est nulle.
FX(t)=P(Xt)=t
−∞
fX(u)du
C’est une fonction continue sur R. En tout point toù fXest continue, FXest dérivable et
d
dt FX(t)=fX(t)
Remarque. La formule précédente est encore vraie pour les variables aléatoires discrètes à la condition
toutefois de considérer la dérivée au sens des distributions. Par exemple, pour la Loi de Bernoulli
FX(t)=qH(t)+pH(t−1) ⇒[FX]�=qδ
0+pδ 1
où Hdésigne la fonction de Heaviside.
2

Interprétation graphique :
−•−
Exemples de v.a continues :
– Loi uniforme continue
fX=1
b−a1[a,b]
– Loi normale centrée réduite N(0,1) :
fX(t)= 1
√2πe−t2/2
−•−
1.5 Quantiles
Définition 3. On appelle p-quantiles pour p∈N∗, les valeurs xk,p pour lesquelles
F(xk,p)= k
p,k∈[[ 1 ,p[[
Remarques :
– Pour p=2, on parle de médiane ;
–Les 3-quantiles sont appelés terciles ;
–Les 10-quantiles sont appelés déciles...
– Il n’y a pas unicité de xk,p. Pour avoir unicité, on peut poser :
xk,p =gk
p
où gest l’inverse généralisé de la fonction de répartition FX:
g(u) := inf{x∈R|FX(x)u}
−•−
1.6 V.a de loi ϕ(X)
Supposons connue la loi de X(de densité fX), on veut déterminer la loi de Y=ϕ(X).
–Cas où ϕest strictement croissante dérivable.
FY(y)=P[Yy]=P[ϕ(X)y]=P[Xϕ−1(y)] = FX(ϕ−1(y))
La densité correspondante est :
fY(y)= d
dy FY(y)= 1 ϕ�(ϕ−1(y)) fX(ϕ−1(y))
3

– Dans le cas général, il faut étudier les ensembles ϕ−1(] −∞,y])...
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Exemples : Supposons que X∼N(0,1)
–ϕune fonction affine ϕ(t)=σt+µ.
⇒Y∼N(µ, σ)
–ϕla fonction carrée ϕ(t)=t2.
⇒fY(y)= 1
√y
1
√2πe−1
2y1R+∗(y)
est la loi du chi-deux à 1 degré de liberté X2(1).
−•−
1.7 Indépendance de variable aléatoire
Définition 4. Xet Ysont indépendantes si pour tout couple (I,J)d’intervalles de R,ona:
P((X∈I)∩(Y∈J))=P(X∈I)×P(Y∈J)
Exercice : Donner un exemple et un contre-exemple dans le cas d’un lancer d’une paire de dés.
−•−
1.8 Espérance, moments
1.8.1 Définition et propriétés de l’espérance
Soit Xune variable aléatoire réelle, l’espérance mathématique de Xest (si elle existe) définie par :
–si Xest une v.a.r discrète finie ou dénombrable
E(X)= 
x∈X(Ω)
xP(X=x)
–si Xest une v.a.r à densité fX:
E(X)=R tf
X(t)dt
−•−
Soient X1et X2deux v.a.r et λ∈R, alors
– (Linéarité) E(X1+λX2)=E(X1)+λE(X2)
–(Positivité) |E(X)|E(|X|)
– Si X1et X2sont indépendantes :
E(X1×X2)=E(X1)×E(X2)
– Pour tout A∈E:
P(X∈A)=PX(A)=E(1A(X))
– Pour une fonction h:R�→ R
E(h(X)) = 
x∈X(Ω)
h(x)P(X=x)en discret
Rh(t)fX(t)dten continu
C’est la formule de transfert.
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4

1.8.2 Définition et propriétés des moments
Soit Xune variable aléatoire réelle,
–le moment d’ordre sde Xest (s’il existe) défini par
ms(X):=E(Xs)
–si Xest une v.a.r discrète finie ou dénombrable
ms(X)= 
x∈X(Ω)
xsP(X=x)
–si Xest une v.a.r à densité f:
ms(X):=R tsf(t)dt
–La variance est donnée par :
Var(X)=E(X−E(X))20
–L’écart type est donné par :
σX=Var(X)
−•−
Soient X1et X2deux v.a.r et a∈R, alors
–
Var(aX +b)=a2Var(X)
– Si X1et X2sont indépendantes :
Var(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2)
–Var(X)=E(X2)−E(X)2=m2(X)−m1(X)2.
−•−
1.8.3 Inégalité de Bienaymé-Tchebyshev
Théorème 1 (Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebyshev).– Soit Zune v.a positive, alors :
∀ε>0,P(Zε)
E(Z)
ε
– Soit Xune v.a.r admettant un moment d’ordre 2 (E(X2)<+∞) alors :
∀ε>0,P(|X−E(X)|>ε)σ2
X
ε2
Preuve : il faut remarquer que Zε1{Z�ε}, puis prendre Z=|X−E(X)|.
−•−
5