Séance 2 1 Variables aléatoires réelles - IMJ-PRG

Séance 2
1
Variables aléatoires réelles
1.1
Loi de probabilité d’une v.a.r
Le paradoxe de Bertrand (1888)
Soit C un cercle de rayon 1.
√Quelle est la probabilité qu’une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure
à 3?
Que vaut la probabilité ?
1
1
ou
3
4
√
Le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a pour longueur 3.
C’est un exemple de problème mal-posé : la distribution du milieu de la corde est différente dans chacun
des cas. Certes on choisit au hasard, mais suivant quelle loi ?
−•−
1.1.1
Définition d’une v.a.r
Soit (Ω, E, P) un espace probabilisé, une variable aléatoire réelle est une application :
X:
�
Ω
ω
→
�
→
R
X(ω)
ayant la propriété suivante : l’image réciproque de tout intervalle de type ]a, b] est un élément de la tribu E.
∀a < b,
X −1 (]a, b]) ∈ E
Remarque : notons qu’une variable aléatoire n’a finalement rien d’aléatoire : c’est une application
parfaitement déterminée ! C’est un abus de langage, ce qui est aléatoire c’est X(ω) et non X.
−•−
1.1.2
Loi de probabilité
Soit (Ω, E, P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire réelle.
On appelle loi de probabilité de X la probabilité, notée PX , image de P par X :
�
�
PX (]a, b]) = P X −1 (]a, b])
Remarque : on utilisera les notations suivantes :
P(X ∈ A) := P({ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A})
P(X = k) := P({ω ∈ Ω | X(ω) = k})
−•−
1
1.2
Fonction de répartition
Soit (Ω, E, P) un espace probabilisé et X une variable aléatoire réelle.
La fonction de répartition de X est la donnée de :
FX :
Quelques propriétés :
�
R
y
[0, 1]
PX (] − ∞, y])
→
�
→
– la fonction est croissante et continue à droite.
– lim F = 1 et lim F = 0.
+∞
−∞
– pour tout a < b
PX (]a, b]) = FX (b) − FX (a)
– Une fonction de répartition caractérise la loi.
−•−
1.3
Définition d’une variable aléatoire discrète
Rappelons que
X(Ω) := {X(ω) | ω ∈ Ω}
Définition 1. On dit qu’une variable aléatoire est discrète lorsque X(Ω) est fini ou dénombrable.
Remarques et exemple
– Si Ω est fini ou dénombrable, X est une v.a discrète.
– Pour connaitre la loi, il suffit de la connaître sur les singletons {x} car
P(X ∈ I) =
– La Loi de Bernoulli
P(X = 1) = p
et
– Loi uniforme discrète
�
P(X = x)
x∈I
P(X = 0) = 1 − p = q
P(X = k) =
1
n
−•−
1.4
Définition d’une variable aléatoire continue
Définition 2.
– Une densité de probabilité est une fonction positive d’intégrale 1.
– Soit X une v.a.r et fX une densité de probabilité sur R. On dit que X est v.a continue de densité
fX si pour tout intervalle [a, b] de R on a :
�
P(X ∈ [a, b]) =
b
fX (t) dt
a
La fonction de répartition d’une variable aléatoire continue est la primitive de la densité dont la limite
en −∞ est nulle.
FX (t) = P(X � t) =
�
t
fX (u) du
−∞
C’est une fonction continue sur R. En tout point t où fX est continue, FX est dérivable et
d
FX (t) = fX (t)
dt
Remarque. La formule précédente est encore vraie pour les variables aléatoires discrètes à la condition
toutefois de considérer la dérivée au sens des distributions. Par exemple, pour la Loi de Bernoulli
FX (t) = q H(t) + p H(t − 1)
où H désigne la fonction de Heaviside.
2
⇒
[FX ]� = q δ0 + p δ1
Interprétation graphique :
−•−
Exemples de v.a continues :
– Loi uniforme continue
fX =
– Loi normale centrée réduite N (0, 1) :
1
1[a,b]
b−a
1
2
fX (t) = √ e−t /2
2π
−•−
1.5
Quantiles
Définition 3. On appelle p-quantiles pour p ∈ N∗ , les valeurs xk,p pour lesquelles
F (xk,p ) =
k
,
p
k ∈ [[1, p[[
Remarques :
– Pour p = 2, on parle de médiane ;
– Les 3-quantiles sont appelés terciles ;
– Les 10-quantiles sont appelés déciles...
– Il n’y a pas unicité de xk,p . Pour avoir unicité, on peut poser :
xk,p = g
� �
k
p
où g est l’inverse généralisé de la fonction de répartition FX :
g(u) := inf{x ∈ R | FX (x) � u}
−•−
1.6
V.a de loi ϕ(X)
Supposons connue la loi de X (de densité fX ), on veut déterminer la loi de Y = ϕ(X).
– Cas où ϕ est strictement croissante dérivable.
FY (y) = P[Y � y] = P[ϕ(X) � y] = P[X � ϕ−1 (y)] = FX (ϕ−1 (y))
La densité correspondante est :
fY (y) =
d
1
FY (y) = � −1
fX (ϕ−1 (y))
dy
ϕ (ϕ (y))
3
– Dans le cas général, il faut étudier les ensembles ϕ−1 (] − ∞, y])...
−•−
Exemples : Supposons que X ∼ N (0, 1)
– ϕ une fonction affine ϕ(t) = σt + µ.
Y ∼ N (µ, σ)
⇒
2
– ϕ la fonction carrée ϕ(t) = t .
1
1 1
fY (y) = √ √ e− 2 y 1R+∗ (y)
y 2π
⇒
est la loi du chi-deux à 1 degré de liberté X 2 (1).
−•−
1.7
Indépendance de variable aléatoire
Définition 4. X et Y sont indépendantes si pour tout couple (I, J) d’intervalles de R, on a :
P ( (X ∈ I) ∩ (Y ∈ J) ) = P(X ∈ I) × P(Y ∈ J)
Exercice : Donner un exemple et un contre-exemple dans le cas d’un lancer d’une paire de dés.
−•−
1.8
1.8.1
Espérance, moments
Définition et propriétés de l’espérance
Soit X une variable aléatoire réelle, l’espérance mathématique de X est (si elle existe) définie par :
– si X est une v.a.r discrète finie ou dénombrable
�
E(X) =
x P(X = x)
x∈X(Ω)
– si X est une v.a.r à densité fX :
E(X) =
�
t fX (t) dt
R
−•−
Soient X1 et X2 deux v.a.r et λ ∈ R, alors
– (Linéarité) E(X1 + λX2 ) = E(X1 ) + λE(X2 )
– (Positivité) |E(X)| � E(|X|)
– Si X1 et X2 sont indépendantes :
E(X1 × X2 ) = E(X1 ) × E(X2 )
– Pour tout A ∈ E :
– Pour une fonction h : R �→ R
P(X ∈ A) = PX (A) = E(1A (X))
E(h(X)) =
C’est la formule de transfert.



�
h(x) P(X = x)
en discret
x∈X(Ω)
�
R
h(t)fX (t) dt
−•−
4
en continu
1.8.2
Définition et propriétés des moments
Soit X une variable aléatoire réelle,
– le moment d’ordre s de X est (s’il existe) défini par
ms (X) := E(X s )
– si X est une v.a.r discrète finie ou dénombrable
�
ms (X) =
xs P(X = x)
x∈X(Ω)
– si X est une v.a.r à densité f :
�
ms (X) :=
ts f (t) dt
R
– La variance est donnée par :
�
�
Var(X) = E (X − E(X))2 � 0
– L’écart type est donné par :
σX =
�
Var(X)
−•−
Soient X1 et X2 deux v.a.r et a ∈ R, alors
–
Var(aX + b) = a2 Var(X)
– Si X1 et X2 sont indépendantes :
Var(X1 + X2 ) = Var(X1 ) + Var(X2 )
– Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = m2 (X) − m1 (X)2 .
−•−
1.8.3
Inégalité de Bienaymé-Tchebyshev
Théorème 1 (Inégalité de Markov et de Bienaymé-Tchebyshev).
∀ε > 0,
P(Z � ε) �
– Soit Z une v.a positive, alors :
E(Z)
ε
– Soit X une v.a.r admettant un moment d’ordre 2 (E(X 2 ) < +∞) alors :
∀ε > 0,
P(|X − E(X)| > ε) �
2
σX
ε2
Preuve : il faut remarquer que Z � ε1{Z�ε} , puis prendre Z = |X − E(X)|.
−•−
5