Matrices - Marc

6.1 LE LANGAGE
MATRICIEL
Dimitri Zuchowski et Marc-Élie Lapointe
Aujourd’hui,
nous nous
allonsverrons
voir
Dans
cette section,
✓
La définition d’une matrice.
✓
Les définitions de matrices particulières.
✓
La somme de matrices.
✓
La multiplication d’une matrice par un
scalaire.
✓
La multiplication de matrices.
Définition:
Une matrice de format
est un tableau
rectangulaire ordonné de
éléments
disposés sur
lignes et colonnes.
Parfois, on spécifie la taille de la matrice ici.
Définition: Une matrice ligne est une matrice de format
.
Exemple:
Définition: Une matrice colonne est une matrice de format
Exemple:
.
Définition: Une matrice nulle est une matrice dont toutes
les entrées sont nulles.
Exemple:
Définition: Une matrice carrée est une matrice de format
Exemple:
.
Exemple: Donner la matrice définit par
, tel que :
Faites les exercices suivants
p.204 # 2 et 3
Soit une matrice quelconque
(on suppose
Exemple:
que m<n), que représente les expressions
suivantes.
Définition:
Une matrice d’adjacence est une matrice qui
représente les liens entre des sommets.
𝑎𝑖𝑗 = (1 s’il y a un lien entre i et j, 0 sinon)
Définition: Une matrice de transition est une matrice qui
représente la probabilité de passé d’un état à
un autre.
𝑎𝑖𝑗 = (Probabilité de passer de j à i)
Faites les exercices suivants
p.204 # 1 et 4
Définition:
La diagonale principale d’une matrice carrée est
l’ensemble des éléments de la forme
.
Définition: Une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure)
est une matrice carrée dont tous les éléments sous
(ou au-dessus de) la diagonale principale sont nuls.
Définition: Une matrice identité est une matrice carrée dont
les éléments de la diagonale principale sont tous 1
et les autres sont tous nuls.
Définition: Une matrice symétrique est une matrice carrée qui
est symétrique par rapport à la diagonale
principale, c’est-à-dire que
.
Définition: Une matrice anti symétrique est une matrice
carrée qui est anti symétrique par rapport à la
diagonale principale, c’est-à-dire que
.
Définition:
Soit
et
même format, qu’on note:
, deux matrices de
La somme des deux matrices est l’opération
interne définie comme suit:
Exemple:
Propriétés de la somme de matrices
Soit
,
et
Définition:
Soit
, une matrice et , un nombre
réel. La multiplication par un scalaire est
l’opération externe définie comme suit:
Exemple:
Propriétés de la multiplication par un scalaire
Définition: Un espace vectoriel sur les réels est la donnée
1. d’un ensemble dont
les éléments sont
nommés des vecteurs;
2. d’une opération interne
sur appelée la somme
qui respecte les
propriétés suivantes:
3. d’une opération externe
de sur appelée
multiplication par un
scalaire qui respecte les
propriétés suivantes;
Définition:
Exemple:
La transposée d’une matrice
notée
, est la matrice
,
.
Propriétés de la transposition
On peut reformuler la définition d’une matrice symétrique
et anti symétrique à l’aide des transposées.
est symétrique
est anti symétrique
Faites les exercices suivants
p.204 # 6
Définition:
Soit
et
, deux
matrices. On définit le produit de ces deux
matrices comme étant la matrice:
Remarque:
Exemple:
Question :
Est-ce que le produit matriciel est commutatif ?
Exemple:
L’exemple ici est assez clair!
Faites les exercices suivants
p.205, # 5 et 8
Propriétés de la multiplication de matrices
Exemple: On peut représenter un système d’équations
linéaires par une équation matricielle.
Faites les exercices suivants
p.205, # 10, 11 et 15
Définition: Une matrice de distribution est une matrice
colonne dont tous les éléments sont compris entre
0 et 1 (inclusivement) et dont la somme est 1.
Une matrice de distribution de format 2 x1:
𝑥
𝑋=
où 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1−𝑥
Définition: Un chaîne de Markov est une suite
𝑋0 , 𝑋1 , … 𝑋𝑛 , … de matrice de distribution pour
lesquelles il existe une matrice de transition
𝐴 tel que :
𝑋1 = 𝐴𝑋0 , 𝑋2 = 𝐴𝑋1 … 𝑋𝑛+1 = 𝐴𝑋𝑛
On a donc que 𝑋𝑛 = 𝐴𝑛 𝑋0 .
Exemple:
Après une pub de bière
0,7
blonde
blonde
0,1
0,2
0,1
0,8
rousse
rousse
0,1
0,1
0,3
blanche
0,6
blanche
blonde
rousse
blanche
0,7 0,1 0,1
0,1 0,8 0,3
0,2 0,1 0,6
0,7 0,1 0,1
0,1 0,8 0,3
0,2 0,1 0,6
100
100
100
90
= 120
90
0,7 0,1 0,1
0,1 0,8 0,3
0,2 0,1 0,6
90
120
90
84
= 132
84
0,7 0,1 0,1
0,1 0,8 0,3
0,2 0,1 0,6
90
120
90
80,4
= 139,2
80,4
𝑨𝑿𝟎 = 𝑿𝟏
𝑨𝑿𝟏 = 𝑿𝟐
𝑨𝑿𝟐 = 𝑿𝟑
𝑨𝑿𝒏 = 𝑿𝒏+𝟏
𝑨𝑿𝒏 = 𝑿𝒏
Ici, 𝑿𝒏 est un état stable.
𝑨𝑿𝒏 = 𝐈𝑿𝒏
𝑨𝑿𝒏 − 𝐈𝑿𝒏 = 𝟎
(𝑨 − 𝐈) 𝑿𝒏 = 𝟎
On a donc un système d’équations linéaires homogènes à résoudre.
0,7 0,1 0,1
1 0 0
0,1 0,8 0,3 − 0 1 0
0,2 0,1 0,6
0 0 1
𝑥
0
𝑦 = 0
𝑧
0
0,7 − 1
0,1
0,1
0,1
0,8 − 1
0,3
0,2
0,1
0,6 − 1
𝑥
0
𝑦 = 0
𝑧
0
−0,3 0,1
0,1
0,1 −0,2 0,3
0,2
0,1 −0,4
𝑥
0
𝑦 = 0
𝑧
0
L’équilibre de la bière:
75
150
75
Théorème:
Pour une matrice de transition
𝑎
𝑏
𝐴=
, 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎, 𝑏 ≠ 0.
1−𝑎 1−𝑏
𝛼
On a que lim 𝐴 =
1−𝛼
𝑛→∞
𝑛
𝛼
𝑏
où 𝛼 =
.
1−(𝑎−𝑏)
1−𝛼
Corollaire :
Une chaîne de Markov à 2 états avec une matrice de transition
𝑎
𝑏
𝐴=
, avec 𝑎, 𝑏 ≠ 0, aura comme distribution
1−𝑎 1−𝑏
stationnaire :
𝛼
𝑋𝑆 =
.
1−𝛼
Faites les exercices suivants
p.205, # 17 et 18
Dans cette section, nous avons vu
✓
La définition d’une matrice.
✓
Les définitions de matrices particulières.
✓
La somme de matrices.
✓
La multiplication d’une matrice par un
scalaire.
✓
La multiplication de matrices.
Devoir:
p.204, # 1 à 18