Devoir maison n°3 à rendre le 13/11

Devoir maison n°3
à rendre le 13/11
Devoir maison n°3
à rendre le 13/11
Exercice 1 : Une fonction un peu particulière
Exercice 1 : Une fonction un peu particulière
On définit la fonction f qui à un nombre entier positif non nul n associe le
nombre de diviseurs de n.
Par exemple, les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; donc, f(12)=6.
On définit la fonction f qui à un nombre entier positif non nul n associe le
nombre de diviseurs de n.
Par exemple, les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; donc, f(12)=6.
1. Pourquoi la fonction f n’est pas définie en 0 ?
2. Donner l’ensemble de définition de la fonction f.
3. Donner l’image par f des nombres entiers de 1 à 20.
Le but de l’exercice va être de déterminer des antécédents de certains
nombres par f. On rappelle qu’un nombre p est dit « premier » si il admet
exactement deux diviseurs : 1 et p.
4. Citer les nombres premiers compris entre 2 et 20.
5. Le nombre 1 est-il premier ? justifier
6. Déterminer les antécédents de 1 et 2 par la fonction f.
Un peu plus difficile :
Le but de l’exercice va être de déterminer des antécédents de certains
nombres par f. On rappelle qu’un nombre p est dit « premier » si il admet
exactement deux diviseurs : 1 et p.
12. Citer les nombres premiers compris entre 2 et 20.
13. Le nombre 1 est-il premier ? justifier
14. Déterminer les antécédents de 1 et 2 par la fonction f.
Un peu plus difficile :
7. Déterminer les antécédents de 3 par la fonction f.
8. Existe-t-il des antécédents pour tous les nombres entiers positifs
par la fonction f ?
Exercice 2 : Une erreur de calcul ?
15. Déterminer les antécédents de 3 par la fonction f.
16. Existe-t-il des antécédents pour tous les nombres entiers positifs
par la fonction f ?
Exercice 2 : Une erreur de calcul ?
On donne la démonstration suivante. Soit a et b deux réels tels que a=b.
ab
 aa  ba
 a 2  ab
 a 2  b 2  ab  b 2
 (a  b)(a  b)  b(a  b)
 (a  b)  b
9. Pourquoi la fonction f n’est pas définie en 0 ?
10. Donner l’ensemble de définition de la fonction f.
11. Donner l’image par f des nombres entiers de 1 à 20.
.
On multiplie par a
.
On soustrait b²
On factorise les deux expressions
On simplifie par (a-b)
Donc, si on prend a=b=1, on obtient : 2  1 …
Mais, où est l’erreur ?
On donne la démonstration suivante. Soit a et b deux réels tels que a=b.
ab
 aa  ba
 a 2  ab
 a 2  b 2  ab  b 2
 (a  b)(a  b)  b(a  b)
 (a  b)  b
.
On multiplie par a
.
On soustrait b²
On factorise les deux expressions
On simplifie par (a-b)
Donc, si on prend a=b=1, on obtient : 2  1 …
Mais, où est l’erreur ?