Convergence de suites de matrices, état stable

Terminales S − 2016 / 17 spécialité maths
1) Graphe probabiliste
1) Graphe probabiliste1) Graphe probabiliste
1) Graphe probabiliste
On considère une situation (appelée marche aléatoire) se ramenant à un graphe à N sommets, dont les arêtes
représentent les probabilités de changement d’état.
Si la loi de probabilité est donnée par une matrice
ligne L
n
=
( )
p
1
p
2
… p
N
appelée matrice d’état au
rang n , telle que p
1
+ p
2
+ … + p
N
= 1,
alors
L
n +1
= L
n
× A
où A est la matrice de transition, carrée d’ordre N,
telle que A = ( a
ij
) où a
ij
est la probabilité de passer
de l’état i à l’état j .
Concrètement, on remplit la matrice A ligne par
ligne, chacune correspondant à un des sommets du
graphe et aux différentes probabilités de joindre les
autres sommets, dans l’ordre établi par l’énoncé.
Dans ces conditions, pour tout rang n à 0 on a :
L
n
= L
0
× A
n
On dit que la marche aléatoire admet un état stable
s’il existe une matrice ligne S d’ordre N telle que
SA = S , indépendante de l’état initial L
0
.
On peut le déterminer en traduisant l’égalité précé-
dente en système de N équations à N inconnues
auquel s’ajoute l’équation s
1
+ s
2
+ … + s
N
= 1.
Si A admet une puissance dont tous les coefficients
sont strictement positifs, alors la marche aléatoire
admet un unique état stable S , et la suite ( L
n
)
converge vers S quel que soit L
0
.
On a alors lim
n −>+ õ
L
n
= S = ( s
1
s
2
… s
N
) et d’autre part
lim
n −>+ õ
A
n
=
s
1
s
2
… s
N
. . … .
s
1
s
2
… s
N
.
Ainsi la limite de A
n
est composée de N lignes
identiques, égales chacune à l’état stable S .
Si la loi de probabilité est donnée par une matrice
colonne
C
n
=
p
1
p
2
…
p
N
appelée matrice d’état au rang
n , telle que p
1
+ p
2
+ … + p
N
= 1,
alors
C
n +1
= A × C
n
où A est la matrice de transition, carrée d’ordre N,
telle que A = ( a
ij
) où a
ij
est la probabilité de passer
de l’état j à l’état i .
Concrètement, on remplit la matrice A colonne par
colonne, chacune correspondant à un des sommets
du graphe et aux différentes probabilités de joindre
les autres sommets, dans l’ordre établi par l’énoncé.
Dans ces conditions, pour tout rang n à 0 on a :
C
n
= A
n
× C
0
On dit que la marche aléatoire admet un état stable
s’il existe une matrice colonne S d’ordre N telle que
AS = S , indépendante de l’état initial C
0
.
On peut le déterminer en traduisant l’égalité précé-
dente en système de N équations à N inconnues
auquel s’ajoute l’équation s
1
+ s
2
+ … + s
N
= 1.
Si A admet une puissance dont tous les coefficients
sont strictement positifs, alors la marche aléatoire
admet un unique état stable S , et la suite ( C
n
)
converge vers S quel que soit C
0
.
On a alors lim
n −>+ õ
C
n
= S =
s
1
s
2
…
s
N
et d’autre part
lim
n −>+ õ
A
n
=
s
1
s
1
… s
1
. . … .
s
N
s
N
… s
N
.
Ainsi la limite de A
n
est composée de N colonnes
identiques, égales chacune à l’état stable S .

Page 2
2)
2) 2)
2) Situation non probabiliste
Situation non probabilisteSituation non probabiliste
Situation non probabiliste
Dans le cas où les matrices d’état L
n
ou C
n
expriment des quantités, ou des coefficients quelconques, et non des
probabilités, le traitement est exactement le même.
La seule différence est que p
1
+ p
2
+ … + p
N
ne vaut plus 1.
Par conséquent l’état stable ne peut plus, sauf cas exceptionnel, être déterminé par un système d’équation.
3) Situation «
3) Situation «3) Situation «
3) Situation « arithmético géométrique
arithmético géométriquearithmético géométrique
arithmético géométrique »
»»
»
On considère ici des matrices colonne d’état X
n
d’ordre N , vérifiant la relation :
X
n +1
= AX
n
+ B
où A est une matrice carrée d’ordre N et B une matrice colonne d’ordre N .
Il existe un état stable S vérifiant S = AS + B si et seulement si la matrice Id − A est inversible et alors l’état
stable est S = ( Id − A )
-1
× B .
Dans ce cas la suite de matrices ( X
n
) converge vers S .