Convergence de suites de matrices, état stable

Terminales S − 2016 / 17
spécialité maths
1) Graphe probabiliste
On considère une situation (appelée marche aléatoire) se ramenant à un graphe à N sommets, dont les arêtes
représentent les probabilités de changement d’état.
Si la loi de probabilité est donnée par une matrice
ligne Ln =
( p1
p2 … pN ) appelée matrice d’état au
rang n, telle que p1+ p2 + … + pN = 1,
alors
Si la loi de probabilité est donnée par une matrice
p1
colonne Cn
Ln +1 = Ln × A
p

=
…
p
2
N

 appelée matrice d’état au rang


où A est la matrice de transition, carrée d’ordre N,
n, telle que p1+ p2 + … + pN = 1,
telle que A = (aij ) où aij est la probabilité de passer
alors
de l’état i à l’état j.
Cn +1 = A × Cn
où A est la matrice de transition, carrée d’ordre N,
Concrètement, on remplit la matrice A ligne par
telle que A = (aij ) où aij est la probabilité de passer
ligne, chacune correspondant à un des sommets du
de l’état j à l’état i.
graphe et aux différentes probabilités de joindre les
autres sommets, dans l’ordre établi par l’énoncé.
Concrètement, on remplit la matrice A colonne par
colonne, chacune correspondant à un des sommets
du graphe et aux différentes probabilités de joindre
les autres sommets, dans l’ordre établi par l’énoncé.
Dans ces conditions, pour tout rang n à 0 on a :
Ln = L0 × A
n
Dans ces conditions, pour tout rang n à 0 on a :
Cn = A n × C0
On dit que la marche aléatoire admet un état stable
On dit que la marche aléatoire admet un état stable
s’il existe une matrice ligne S d’ordre N telle que
s’il existe une matrice colonne S d’ordre N telle que
SA = S, indépendante de l’état initial L0.
AS = S, indépendante de l’état initial C0.
On peut le déterminer en traduisant l’égalité précé-
On peut le déterminer en traduisant l’égalité précé-
dente en système de N équations à N inconnues
dente en système de N équations à N inconnues
auquel s’ajoute l’équation s1+ s2 + … + sN = 1.
auquel s’ajoute l’équation s1+ s2 + … + sN = 1.
Si A admet une puissance dont tous les coefficients
Si A admet une puissance dont tous les coefficients
sont strictement positifs, alors la marche aléatoire
sont strictement positifs, alors la marche aléatoire
admet un unique état stable S, et la suite (Ln )
admet un unique état stable S, et la suite (Cn )
converge vers S quel que soit L0.
converge vers S quel que soit C0.
s1
On a alors lim Ln = S = (s1 s2 … sN ) et d’autre part
On a alors lim Cn
n −>+ õ
n −>+ õ
s1 s2 … sN
n
lim A =
n −>+ õ
.

s
1
. …
.
s2 … sN

.

n
Ainsi la limite de A est composée de N lignes
identiques, égales chacune à l’état stable S.
s 
  et d’autre part
=S=
…
s 
… s

… . .

… s 
2
N
s1 s1
lim A
n −>+ õ
n

= .
s
N
.
sN
1
N
n
Ainsi la limite de A est composée de N colonnes
identiques, égales chacune à l’état stable S.
2) Situation non probabiliste
Dans le cas où les matrices d’état Ln ou Cn expriment des quantités, ou des coefficients quelconques, et non des
probabilités, le traitement est exactement le même.
La seule différence est que p1+ p2 + … + pN ne vaut plus 1.
Par conséquent l’état stable ne peut plus, sauf cas exceptionnel, être déterminé par un système d’équation.
3) Situation « arithmético géométrique »
On considère ici des matrices colonne d’état Xn d’ordre N, vérifiant la relation :
Xn +1 = AXn + B
où A est une matrice carrée d’ordre N et B une matrice colonne d’ordre N.
Il existe un état stable S vérifiant S = AS + B si et seulement si la matrice Id − A est inversible et alors l’état
-1
stable est S = ( Id − A ) × B .
Dans ce cas la suite de matrices (Xn ) converge vers S.
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