Terminales S − 2016 / 17 spécialité maths 1) Graphe probabiliste On considère une situation (appelée marche aléatoire) se ramenant à un graphe à N sommets, dont les arêtes représentent les probabilités de changement d’état. Si la loi de probabilité est donnée par une matrice ligne Ln = ( p1 p2 … pN ) appelée matrice d’état au rang n, telle que p1+ p2 + … + pN = 1, alors Si la loi de probabilité est donnée par une matrice p1 colonne Cn Ln +1 = Ln × A p = … p 2 N appelée matrice d’état au rang où A est la matrice de transition, carrée d’ordre N, n, telle que p1+ p2 + … + pN = 1, telle que A = (aij ) où aij est la probabilité de passer alors de l’état i à l’état j. Cn +1 = A × Cn où A est la matrice de transition, carrée d’ordre N, Concrètement, on remplit la matrice A ligne par telle que A = (aij ) où aij est la probabilité de passer ligne, chacune correspondant à un des sommets du de l’état j à l’état i. graphe et aux différentes probabilités de joindre les autres sommets, dans l’ordre établi par l’énoncé. Concrètement, on remplit la matrice A colonne par colonne, chacune correspondant à un des sommets du graphe et aux différentes probabilités de joindre les autres sommets, dans l’ordre établi par l’énoncé. Dans ces conditions, pour tout rang n à 0 on a : Ln = L0 × A n Dans ces conditions, pour tout rang n à 0 on a : Cn = A n × C0 On dit que la marche aléatoire admet un état stable On dit que la marche aléatoire admet un état stable s’il existe une matrice ligne S d’ordre N telle que s’il existe une matrice colonne S d’ordre N telle que SA = S, indépendante de l’état initial L0. AS = S, indépendante de l’état initial C0. On peut le déterminer en traduisant l’égalité précé- On peut le déterminer en traduisant l’égalité précé- dente en système de N équations à N inconnues dente en système de N équations à N inconnues auquel s’ajoute l’équation s1+ s2 + … + sN = 1. auquel s’ajoute l’équation s1+ s2 + … + sN = 1. Si A admet une puissance dont tous les coefficients Si A admet une puissance dont tous les coefficients sont strictement positifs, alors la marche aléatoire sont strictement positifs, alors la marche aléatoire admet un unique état stable S, et la suite (Ln ) admet un unique état stable S, et la suite (Cn ) converge vers S quel que soit L0. converge vers S quel que soit C0. s1 On a alors lim Ln = S = (s1 s2 … sN ) et d’autre part On a alors lim Cn n −>+ õ n −>+ õ s1 s2 … sN n lim A = n −>+ õ . s 1 . … . s2 … sN . n Ainsi la limite de A est composée de N lignes identiques, égales chacune à l’état stable S. s et d’autre part =S= … s … s … . . … s 2 N s1 s1 lim A n −>+ õ n = . s N . sN 1 N n Ainsi la limite de A est composée de N colonnes identiques, égales chacune à l’état stable S. 2) Situation non probabiliste Dans le cas où les matrices d’état Ln ou Cn expriment des quantités, ou des coefficients quelconques, et non des probabilités, le traitement est exactement le même. La seule différence est que p1+ p2 + … + pN ne vaut plus 1. Par conséquent l’état stable ne peut plus, sauf cas exceptionnel, être déterminé par un système d’équation. 3) Situation « arithmético géométrique » On considère ici des matrices colonne d’état Xn d’ordre N, vérifiant la relation : Xn +1 = AXn + B où A est une matrice carrée d’ordre N et B une matrice colonne d’ordre N. Il existe un état stable S vérifiant S = AS + B si et seulement si la matrice Id − A est inversible et alors l’état -1 stable est S = ( Id − A ) × B . Dans ce cas la suite de matrices (Xn ) converge vers S. Page 2