énoncé

Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 page 1/5 Devoir n°6
Spé ψ
ψψ
ψ 2015-2016 Devoir n°6
CONVERSION DE PUISSANCE
L’objet de ce problème consiste à étudier la production d’énergie
électrique à partir d’une éolienne. Le dispositif porte alors le nom
d’« aérogénérateur » et est constitué de plusieurs sous-ensembles qui vont
être étudiés successivement.
La photographie ci-contre représente deux mats éoliens servant de
support aux aérogénérateurs : ils sont de hauteur 30 mètres, les pales étant
de longueur 14 mètres. La puissance nominale de chaque aérogénérateur est
P
n
= 300 kW.
Les pales entraînent une génératrice électrique qui doit fournir une
énergie électrique « utile ». Les aérogénérateurs sont souvent reliés au réseau
électrique de distribution ce qui nécessite une énergie sous forme alternative,
de fréquence 50 Hz et de valeur efficace de tension stable et égale à
V
n
= 400 Volts.
P ARTIE I
G ENERATRICE SYNCHRONE
La génératrice utilisée est une machine à courant alternatif de type synchrone, à excitation
indépendante. Le principe simplifié d’une telle machine, tel qu’il sera utilisé dans la suite est le sui-
vant : « l’induit » de la machine, bornes M+ et M– du schéma de la figure 1, fournit une tension
sinusoïdale notée v
M
(t), au moyen d’un schéma électrique équivalent fourni par la figure 2 ci-
dessous :
Sur ce schéma, e
M
(t) désigne la force électromotrice (ou f.e.m.) et i
M
(t) représente le courant
délivré par la machine (convention générateur). Le courant, la f.e.m. et la tension sont tous supposés
sinusoïdaux, de même pulsation ω
M
. On peut alors noter :
(
)
(
)
2 sin
M M M
e t E t
= ω + α
;
(
)
(
)
2 sin
M M M
v t V t
= ω ;
(
)
(
)
2 sin
M M M
i t I t
= ω − ϕ
E
M
, V
M
et I
M
représentent respectivement la valeur efficace de e
M
(t), v
M
(t) et i
M
(t). L’angle α
est le déphasage « avance » de la f.e.m. par rapport à la tension ; l’angle ϕ est le déphasage
« retard » du courant par rapport à la tension.
La vitesse de rotation de la machine synchrone sera notée ω et son courant d’excitation sera
noté I
E
: il s’agit d’un courant continu qui doit circuler entre les bornes E+ et E– du schéma de la
figure 1. Compte tenu de ces notations, les propriétés de la machine permettent d’écrire les relations
suivantes : E
M
= k ω
M
I
E
.
k est une constante « de construction », L représente une inductance équivalente. Leurs va-
leurs numériques sont les suivantes : k = 0,11 V⋅s⋅A
–1
; L = 3 mH.
I-1) Rappeler le principe de fonctionnement d’une génératrice synchrone en soulignant les
caractéristiques principales
E
+
E
–
M
+
M
–
v
M
(t)
figure 1
ω
M
–
v
M
(t)
M
+
i
M
(t)
figure 2
L
e
M
(t)
~

Spé ψ
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ψ 2015-2016 page 2/5 Devoir n°6
I-2) L’aérogénérateur tourne à vitesse constante et la machine synchrone tourne également à
la vitesse constante ω
Μ
. Le courant d’excitation de la machine est également maintenu constant.
Les valeurs numériques sont les suivantes : ω
M
= 314 rd⋅s
–1
et I
E
= 25 A.
Dans ces conditions, la valeur efficace de la f.e.m. ainsi que la pulsation sont constantes.
a) Justifier l’expression de E
M
et calculer les valeurs numériques de E
M
et de la fré-
quence f
M
de toutes les grandeurs sinusoïdales. Quelle est, en tr⋅mn
–1
, la vitesse de rotation de la
machine notée N
0
? Quelle est l’interprétation de α ?
b) La machine délivre un courant de valeur efficace I
M1
= 300 A, en phase avec la
tension (récepteur résistif). Tracer l’allure du diagramme de Fresnel représentant les amplitudes
complexes E
M
, V
M
et I
M
en faisant apparaître, si besoin est, les angles orientés α et ϕ.
c) Calculer numériquement la valeur efficace de la tension V
M1
aux bornes de la ma-
chine.
I-3) En réalité, le récepteur n’est pas purement résistif et possède une impédance Z
C
.
a) Tracer l’allure du diagramme de Fresnel représentant les amplitudes complexes
E
M
, V
M
et I
M
pour un angle ϕ négatif quelconque, en faisant apparaître, si besoin est, les angles
orientés α et ϕ.
b) Établir la relation donnant E
M
sin(α) en fonction de I
M
, ϕ et |Z| où Z est
l’impédance de la bobine L. Cette relation dépend-elle du signe de ϕ.
c) Donner l’expression de la puissance moyenne reçue par la charge, notée P, en
fonction de E
M
, V
M
, |Z| et de l’angle α. Quel est le domaine de définition de α ?
d) Pour une valeur de tension V
M
fixée, quelle valeur α
0
de l’angle α permet
d’obtenir une puissance maximale si la vitesse reste constante et l’excitation également ?
e) Pour cette valeur de tension et pour cet angle α
0
, quelle est alors la nature du ré-
cepteur ?
P ARTIE II
R EDRESSEMENT
Afin d’éliminer les problèmes liés à la variation de vitesse de rotation de l’éolienne néces-
saire pour assurer le maximum de puissance qui dépend de la vitesse du vent, on doit utiliser un
étage de conversion électronique avant de délivrer la puissance au réseau. Le dispositif est alors
celui représenté sur la figure 3 où deux convertisseurs, appelés Redresseur et Onduleur, sont dispo-
sés en cascade entre la machine et le récepteur.
On notera la présence de l’inductance L
C
et du condensateur C
C
.
Dans toute cette partie 2 , on considère que la ten-
sion v
C
aux bornes du condensateur reste constante, égale
à V
C
.
On néglige l’influence de L et l’on peut donc considé-
rer que la tension alimentant le redresseur est égale à :
(
)
(
)
(
)
2 sin
M M M M
v t e t E t
= = ω avec E
M
= 400 V et
ω
M
= 314 rd⋅s
–1
. Le redresseur est un pont double à diodes
comme représenté sur la figure 4 ci-contre, les diodes étant
considérées comme parfaites. On considère que ce montage
D
1
D
2
D
’
2
D
’
1
u
C
i
L
i
M
v
M
figure 4
M
+
M
–
v
M
(t)
figure 3
ω
u
C
v
C
L
C
C
C
i
L
~
~
=
=
R EDRESSEUR
O NDULEUR
S
ECTEUR
v
L

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redresseur fonctionne en conduction continue et que, par conséquent, le courant i
L
(t) qu’il délivre ne
s’annule jamais lorsque le montage fonctionne en régime établi, seul régime étudié ici.
Compte tenu des notations, on aura donc : i
L
(t) > 0.
II-1) Calcul de la tension V
C
.
a) À partir du tracé de la tension e
M
(t), justifier et tracer l’allure de la tension u
C
(t) en
sortie du redresseur.
b) Déterminer, en fonction de E
M
, l’expression littérale donnant la valeur moyenne
U
C0
de cette tension u
C
(t).
c) En déduire l’expression de la tension V
C
aux bornes du condensateur. Calculer
numériquement V
C
.
II-2) On souhaite déterminer la valeur minimale à donner à l’inductance L
C
. Pour cela, on
utilise la décomposition en série de Fourier de la tension u
C
(t). Comme la fonction u
C
(t) est paire,
l’amplitude de son fondamental est donné par la relation
( ) ( )
1 C
0
2
2 cos
C
T
C C
C
U u t t dt
T
= ω
∫
.
a) Déterminer la valeur efficace de son terme fondamental, noté U
C1
, en fonction de
E
M
.
Rappel :
( ) ( ) ( ) ( )
1
sin sin sin sin
2
a b a b a b
= + + − .
b) Déterminer la valeur efficace V
L1
du terme fondamental de la tension v
L
(t) en
fonction de E
M
.
c) En déduire l’expression de la valeur efficace du terme fondamental du courant
i
L
(t), terme noté I
L1
, en fonction de E
M
, ω
M
et L
C
.
d) Quelle est la valeur minimale à donner à l’inductance L
C
pour que l’amplitude du
fondamental du courant i
L
(t) reste inférieure à 5 A ? Calculer numériquement cette valeur.
II-3) Le dispositif délivre une puissance moyenne P = 300 kW.
a) Déterminer la valeur moyenne I
L0
du courant i
L
(t). Calculer numériquement I
L0
.
b) Que peut-on conclure sur l’allure du courant i
L
(t) si la contrainte de la question II-
2-d est vérifiée ?
II-4) Quels sont les effets d’un ralentissement de l’aérogénérateur ?
P ARTIE III
A SSERVISSEMENT DU COURANT D ’ EXCITATION
Dans le dispositif étudié précédemment, une variation de vitesse peut s’avérer préjudiciable
au bon fonctionnement de la conversion d’énergie. Afin de la compenser, on réalise un asservisse-
ment en pilotant le courant d’excitation i
E
de la machine. En effet, on peut considérer que la tension
v
C
obtenue (cf. figure 3) est proportionnelle à ce courant et l’on notera donc : v
C
= k
C
i
E
. Une aug-
mentation du courant i
E
permet donc d’augmenter cette tension. La valeur numérique du coefficient
de proportionnalité est : k
C
= 4 Ω.
Le bobinage d’excitation de la machine (bornes E+ et E–
de la figure 1) peut aisément être modélisé par un dipôle résistif et
inductif, de résistance R
E
et d’inductance L
E
comme indiqué sur la
figure 5 ci-contre.
Sur cette même figure 5 est également dessiné le dispositif
de commande du courant réalisé au moyen d’un simple hacheur
série, lui-même alimenté par une source de tension V
0
constante.
L’interrupteur noté T est parfait et se comporte de la façon suivante : lorsque sa commande
u
T
est positive, il est fermé (équivalent à un court-circuit) et lorsque sa commande u
T
est négative, il
est ouvert (équivalent à une impédance infinie). La diode D est parfaite (aucune perte, commuta-
V
0
figure 5
u
S
L
E
i
E
R
E
T
u
T
(t)
D

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ψ 2015-2016 page 4/5 Devoir n°6
tions instantanées). On rappelle que le rapport cyclique d’un hacheur série correspond à la fraction
de période pendant laquelle l’interrupteur T est « fermé ».
III-1) Le signal de commande u
T
est obtenu par comparaison d’une
tension u
H
(t), supposée variant « lentement » au cours du temps, avec une
fonction périodique f(t) de forme triangulaire, d’amplitude u
H0
= 10 V (on
notera T
H
la période de f(t)). La figure 6 ci-contre présente le montage
utilisant un A.L.I. parfait, alimenté par des sources de tensions symétri-
ques + V
DD
et –V
DD
(avec V
DD
> u
H0
) non représentées. Sur le document
réponse ci-dessous, à rendre avec la copie, tracer l’allure des tensions u
T
(t)
et u
S
(t).
III-2) Le rapport cyclique est maintenu constant, égal à β
0
, pendant plusieurs périodes suc-
cessives de f(t), ce qui correspond donc à une tension u
H
constante. On s’intéresse alors à un régime
établi périodique de toutes les grandeurs électriques étudiées sur ce hacheur. En particulier, le cou-
rant i
E
(t) est périodique.
a) Déterminer l’expression de la valeur moyenne U
S0
de la tension u
S
en fonction de
β
0
et de V
0
.
b) Déterminer la valeur moyenne du courant i
E
(t) notée I
E0
, en fonction de β
0
, V
0
et
R
E
.
III-3-a) En prenant comme origine des temps un instant de fermeture de l’interrupteur T,
déterminer le courant i
E
(t) en utilisant V
0
, les paramètres R
E
et L
E
et les valeurs maximale (resp mi-
nimale) notées I
MAX
et I
MIN
du courant i
E
(t). Ces deux valeurs sont supposées strictement positives.
On notera
E
E
E
L
R
τ = .
b) On suppose dans la suite que la période T
H
est très faible devant τ
E
. Déterminer
l’expression très simple donnant I
MIN
en fonction de β
0
, V
0
et R
E
.
c) Déterminer l’expression donnant I
MAX
en fonction de I
MIN
, T
H
, β
0
et τ
E
.
III-4) On souhaite déterminer la valeur limite de la fréquence de commutation f
H
.
a) En utilisant les expressions simplifiées obtenues aux questions précédentes, dé-
terminer l’expression de l’ondulation du courant i
E
notée ∆i
E
en fonction uniquement de β
0
, V
0
, L
E
et T
H
.
b) Quelle valeur de rapport cyclique β
0
rend cette ondulation maximale ?
c) Déterminer, en fonction de L
E
, l’expression de la période de découpage maximale
du hacheur, notée T
HMAX
, assurant une ondulation ∆I
E
< 1 A, quel que soit le rapport cyclique. Cal-
culer alors la fréquence minimale f
MIN
de fonctionnement de ce hacheur pour les valeurs numéri-
ques suivantes : L
E
= 50 mH et V
0
= 400 V.
+
–
u
H
(t)
f(t)
u
T
(t)
figure 6

Spé ψ
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Document réponse
Nom et prénom : ...................................................................................
O
O
O
t
t
t
T
H
2
T
H
3
T
H
4
T
H
f ( t ) u
H
( t )
u
H0
u
T
( t )
u
S
( t )