L3 - 2012/2013 - TD 3 Mercredi 3 octobre Mathématiques Discrètes

L3 - 2012/2013 - TD 3
Mercredi 3 octobre
Mathématiques Discrètes
Exercice 1 - Urne
Deux urnes A et B contiennent respectivement 6 boules blanches et 5 noires
d’une part, 4 blanches et 8 noires d’autre part. On transfère “au hasard” deux
boules de l’urne B dans l’urne A puis on tire “au hasard” une boule dans l’urne A.
1.1 Quel est la probabilité que la boule tirée soit blanche?
1.2 Quel est la probabilité que l’une des boules transférées soit blanche sachant
que la boule tirée est blanche?
Exercice 2 - Sondage Anonyme
Vous voulez calculer la proportion des personnes d’une population qui ont
une propriété X embarrassante. Pour cela vous demandez à chaque personne
de lancer une pièce non biaisée et de répondre honnêtement si la pièce tombe
sur pile et de répondre oui si la pièce tombe sur face.
2.1 Montrer que la méthode permet d’estimer P(X)
2.2 Si une personne a répondu oui, quelle est la probabilité qu’elle ait réellement la propriété X ?
Exercice 3 - DVD
Le gérant d’un magasin a reçu un lot de boîtes de DVD. 5% des boîtes sont
abîmées. Le gérant estime que:
• 60% des boîtes abîmées contiennent au moins un DVD défectueux.
• 98% des boîtes non abîmées ne contiennent aucun DVD défectueux.
Un client achète une boîte du lot. On désigne par A l’événement : “la boîte
est abîmée” et par B l’événement “la boîte achetée contient au moins un DVD
défectueux”.
3.1 Calculez P(A), P(Ac ), P(B|A), P(B|Ac ), P(B c |A), P(B c |Ac ), P(B).
3.2 Le client constate qu’un des DVD achetés est défectueux. Quelle est la
probabilité qu’il provienne d’une boîte abîmée.
Exercice 4 - Sans Mémoire
4.1 Rappeler la définition de la loi géométrique et calculer son espérance.
Soit T une variable aléatoire à valeurs dans N. On suppose que, pour tout
n ∈ N, P(T ≥ n) > 0 et ∀n, p ∈ N, P(T ≥ n + p | T ≥ n) = P(T ≥ p)
4.2 Montrer que T suit une loi géométrique.
Exercice 5 - Recherche
Un document a été perdu ; la probabilité pour qu’il se trouve dans un meuble
est p, 0 < p < 1. Ce meuble comporte sept tiroirs. On explore six tiroirs sans
trouver le document.
B. Barbot
1
E.N.S. de Cachan
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5.1 Quelle est la probabilité de le trouver dans le septième?
Exercice 6 - Second lemme de Borel-Cantelli
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Soit (An )n≥0 uneP
suite d’événements
indépendants. On note A = lim supn An . On suppose que n P(An ) = +∞ et
on souhaite prouver que P(A) = 1. On rappelle que pour toutes suites (En )n≥0
d’ensembles:
\ [
[ \
lim sup En =
Ek et
lim inf En =
Ek
n
n
n≥0 k≥n
n≥0 k≥n
6.1 Soit w ∈ lim supn En Expliquer en français la relation entre w et les En .
Idem pour w ∈ lim inf n En .
6.2 Montrer que ∀x > −1, ln(1 + x) ≤ x.
TN
T
Soient n ≤ N , on note En,N = k=n Ack et En = k≥n Ack
6.3 Montrer que limN →+∞ ln(P(En,N )) = −∞. Montrer que P(En ) = 0 et
conclure que P(A) = 1.
Exercice 7 - Dépistage et maladie rare
Un nouveau test pour une maladie rare à été conçu. Une personne sur 10000
est atteinte de la maladie, le test est positif à 99% sur une personne malade. Il
est positif à 0, 1% sur une personne non malade.
7.1 Le test est il fiable?
Exercice 8 - Loi de Poisson et loi binomiale
Vous avez N pièces dans votre poche avec N suivant une loi de Poisson de
paramètre λ. Chaque pièce renvoie pile avec probabilité p. Vous lancez toutes
les pièces.
8.1 Montrer que le nombre de piles suit une loi de Poisson de paramètre λp.
Exercice 9 - Cadeau
On vous propose de choisir un unique cadeau parmi n. Les cadeaux vous
sont proposés un par un dans un ordre aléatoire. Lorsque l’on vous propose
un cadeau, vous pouvez l’accepter et partir avec ou le refuser et continuer
d’inspecter les cadeaux suivants. Les valeurs des cadeaux sont toutes distinctes
et vous souhaitez bien entendu choisir celui de plus grande valeur. On note
(Ak )nk=1 l’évènement “Le k em cadeau est choisi” et B l’évènement “Le meilleur
cadeau a été choisi”.
9.1 Trouver une stratégie qui maximise les chances de trouver le meilleur
cadeau.
9.2 Calculer P(B) en suivant cette stratégie ? Quelle est le comportement
asymptotique de cette stratégie pour n → +∞?
B. Barbot
2
E.N.S. de Cachan