Théorème de Pythagore et relations trigo. dans un triangle rectangle

Théorème de
Pythagore et
relations trigo.
dans un triangle rectangle (1)
I. Propriétés du triangle rectangle
• Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est le
côté opposé à l'angle droit : [BC] .
• Dans un triangle rectangle, les trois médiatrices sont concourantes
en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle qui est
situé au milieu de son hypoténuse [BC] .
• Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de
l'angle droit mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
• Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors le triangle
ABM est rectangle en M.
II. Théorème de Pythagore
• Dans un triangle rectangle ABC, le carré de la longueur de
l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des
deux autres côtés :
BC ² = AB ² + AC ²
− - Exemple :
Soit un triangle ABC Rectangle en A, tel que AB = 3 cm,
BC = 5 cm. Calculer la longueur AC.
Solution :
D'après le théorème de Pythagore :
BC² = AB ² + AC ²
AC ² =BC ² - AB ² = (5) ² - (3) ² = 25 – 9 = 16
AC = 16 = 4
III. Réciproque du théorème de Pythagore
• Si dans un triangle ABC, le carré de la longueur d'un côté [BC] est
égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés,
alors le triangle est rectangle en A :
Soit un triangle ABC, si BC ² = AB ² + AC ² , alors le triangle est
rectangle en A.
− Exemple :
Soit un triangle RST tel que RS = 4,5 cm ; ST = 6 cm ; RT = 7,5 cm.
Monter que le triangle est rectangle. (Extrait du Brevet Grenoble
2000).
− Solution :
Si le triangle RST est rectangle, l’hypoténuse est nécessairement
[RT] (l'hypoténuse est toujours le plus grand côté) .
Regardons si :
RT ² = RS ² + ST ²
RT ² = (7,5) ² = 56,25
RS ² + ST ² = (4,5) ² +6 ² = 20,25 + 36 = 56,25
RT ² est bien égal à RS ² + ST ², d’après la réciproque du théorème
de Pythagore, le triangle est rectangle en S.
Dans le cas où l'égalité n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas
rectangle.
IV. Trigonométrie
Le triangle ABC est rectangle en C.
Si A
ˆ
est un angle aigu
0 ! sin
A
ˆ
! 1
Cos A
ˆ = côté adjacent = AC
hypoténuse AB
Sin A
ˆ = côté opposé = BC
hypoténuse AB
Tan A
ˆ = côté opposé = BC
côté adjacent AC
0 ! cos A
ˆ
! 1
• sin ²
A
ˆ
+ cos ²
A
ˆ
= 1
• tan (A
ˆ) = A
A
ˆ
cos
ˆ
sin
! Valeurs particulières :
" (degré) 0 30 45 60 90
cos ( " ) 1 3 /2 2 / 2 1 / 2 = 0,5 0
sin ( " ) 0 1/2 =0,5
2 / 2 3 /2 1
tan ( " ) 0 3 / 3 1 3 Non défini
Le sinus, le cosinus, la tangente d’un angle n’ont pas d’unité.
− Exemples :
Utiliser sa calculatrice
La machine doit être programmée en mode « degré ».
Soit l’angle
" = 40°. Quel est le cosinus de cet angle ?
Taper « cos » puis « 40 » ou « 40 » puis « cos » (suivant les
machines). Le résultat est " 0,76
Soit sin
" = 0,64.Calculer l’angle ".
Sur la machine taper « 0,64 »puis « inv » (ou « shift ») puis « sin »
ou « 2
nd
» puis « sin » puis « 0,64 ». Le résultat est :
" " 40°.
MemoPage.com SA / 2006 / Auteur : Claudine Turbide / Expert : Bénédite Frétigny