BC² = AB ² + AC ² AC ² =BC ² - AB ² = (5) ² - (3) ² = 25 – 9 = 16 AC = 16 = 4 III. Réciproque du théorème de Pythagore • Si dans un triangle ABC, le carré de la longueur d'un côté [BC] est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle en A : Soit un triangle ABC, si BC ² = AB ² + AC ² , alors le triangle est rectangle en A. − Exemple : Soit un triangle RST tel que RS = 4,5 cm ; ST = 6 cm ; RT = 7,5 cm. Monter que le triangle est rectangle. (Extrait du Brevet Grenoble 2000). − Solution : Si le triangle RST est rectangle, l’hypoténuse est nécessairement [RT] (l'hypoténuse est toujours le plus grand côté) . Regardons si : RT ² = RS ² + ST ² RT ² = (7,5) ² = 56,25 RS ² + ST ² = (4,5) ² +6 ² = 20,25 + 36 = 56,25 RT ² est bien égal à RS ² + ST ², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en S. Dans le cas où l'égalité n'est pas vérifiée, le triangle n'est pas rectangle. IV. Trigonométrie Le triangle ABC est rectangle en C. Cos  = côté adjacent = AC hypoténuse AB BC AC Tan  = côté opposé = côté adjacent BC AB Sin  = côté opposé = hypoténuse 0 ! cos  ! 1 • sin ²  + cos ²  = 1 sin Aˆ • tan (  ) = cos Aˆ ! Valeurs particulières : " (degré) cos (") sin (") tan (") 3/3 0 3 /2 1/2 =0,5 0 30 0 1 45 2/2 60 1 / 2 = 0,5 2/2 1 3 /2 3 90 0 1 Non défini Le sinus, le cosinus, la tangente d’un angle n’ont pas d’unité. − Exemples : Utiliser sa calculatrice La machine doit être programmée en mode « degré ». Soit l’angle " = 40°. Quel est le cosinus de cet angle ? Taper « cos » puis « 40 » ou « 40 » puis « cos » (suivant les machines). Le résultat est " 0,76 Soit sin " = 0,64.Calculer l’angle ". Sur la machine taper « 0,64 »puis « inv » (ou « shift ») puis « sin » ou « 2nd » puis « sin » puis « 0,64 ». Le résultat est : " " 40°. Si  est un angle aigu 0 ! sin  ! 1 MemoPage.com SA / 2006 / Auteur : Claudine Turbide / Expert : Bénédite Frétigny −Exemple : Soit un triangle ABC Rectangle en A, tel que AB = 3 cm, BC = 5 cm. Calculer la longueur AC. Solution : D'après le théorème de Pythagore : • Dans un triangle rectangle ABC, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : BC ² = AB ² + AC ² II. Théorème de Pythagore • Si un point M est sur le cercle de diamètre [AB], alors le triangle ABM est rectangle en M. • Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit : [BC] . • Dans un triangle rectangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle qui est situé au milieu de son hypoténuse [BC] . • Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de la longueur de l'hypoténuse. I. Propriétés du triangle rectangle Théorème de Pythagore et relations trigo. dans un triangle rectangle (1)