Chapitre 4

Chapitre 4
Trigonométrie
4.1
Enroulement de la droite des réels
4.1.1 Le cercle trigonométrique
Dénition. On se place dans le plan repéré par le repère orthonormé (O; ~u; ~v).
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté par la èche
dans le sens direct, qui est le sens inverse de celui des aiguilles d'une montre (c'est le sens d'un
carrefour giratoire en France... mais pas au Royaume-Uni !)
1
2
CHAPITRE 4.
TRIGONOMÉTRIE
Remarque. Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect.
Propriétés. La longueur du cercle trigonométrique est 2π, la longueur du demi-cercle trigonométrique est π , et celle du quart de cercle trigonométrique est π2 .
4.1.2 Principe de l'enroulement
On considère C , le cercle trigonométrique de centre O et de rayon [OI].
On trace la tangente en I au cercle C , et on la munit du repère (I; A) avec IA = OI = 1 :
cette droite va représenter la droite des réels.
On enroule cette droite des réels autour du cercle C : la demi-droite [IA) va s'enrouler
dans le sens direct, et la demi-droite [IA0 ) dans le sens indirect.
4.1.
3
ENROULEMENT DE LA DROITE DES RÉELS
Propriété. Tout point
N d'abscisse ϑ de la droite des réels vient se superposer à un point M
du cercle C .
Grâce à cet enroulement, on associe à tout réel ϑ un unique point M du cercle trigonométrique.
Correspondance entre R et C :
•
•
Si ϑ est positif :
On part de I , et on parcourt autour du cercle C un chemin de longueur x dans le sens
direct. Le point M est l'extrémité de ce chemin.
Si ϑ est négatif :
On part de I , et on parcourt autour du cercle C un chemin de longueur x dans le sens
indirect. Le point M est l'extrémité de ce chemin.
Exemples.
• Le point P d'abscisse π vient se superposer au point K du cercle trigonométrique ; on dira
_
que K est associé au nombre réel π . La longueur de l'arc IK est alors égale à π .
• Le point L est associé au réel
−π
2
: on a enroulé la droite dans le sens indirect, car le réel
_
qui repère B 0 est négatif. La longueur de l'arc IL est égale à π2 .
Remarque. En pratique, pour placer le point
_
M à partir de la longueur l de l'arc IM , on va
\ d'après la relation suivante : d =
calculer la mesure d en degrés de l'angle IOM
Remarque. En fait, le point
180×l
π
M qui est associé au nombre réel ϑ est également associé à tout
nombre ϑ0 tel que ϑ0 = ϑ + (2π) × k = ϑ + 2kπ , où k est un entier relatif.
Exemple. Le point J de notre gure est associé aux nombres réels π2 ,
π
2
+ 2kπ , ... mais aussi aux nombres réels
π
2
− 2π =
−3π
2
,
π
2
− 4π , ...,
π
2
π
2
+ 2π =
− 2kπ
5π
2
,
π
2
+ 4π , ...,
4
4.2
CHAPITRE 4.
TRIGONOMÉTRIE
Cosinus et sinus d'un nombre
4.2.1 Rappels
Nous connaissons déjà la trigonométrie du triangle rectangle, qui permet de dénir les notions
de cosinus, sinus et tangente d'angles. Par exemple, dans le triangle ABC rectangle en B dessiné
ci-dessous, nous pouvons appliquer les règles de calcul déjà vues :
\ = BA ; sin(BAC)
\ = BC et tan(BAC)
\ = BC
On a alors, par exemple : cos(BAC)
AC
AC
BA
On peut ensuite s'appuyer sur ces calculs et les fonctions réciproques arccos, arcsin et arctan
(également notées cos−1 , sin−1 et tan−1 ) pour calculer la valeur de l'angle.
4.2.
COSINUS ET SINUS D'UN NOMBRE
5
4.2.2 Dénition formelle
On se place sur le cercle trigonométrique C de centre O et d'origine I . Sur ce cercle, on place
les points I 0 , J et J 0 comme représenté ci-dessous :
Dénition.
M est le point du cercle associé au nombre ϑ.
Le cosinus de ϑ, que l'on notera cos(ϑ), est l'abscisse de M dans le repère (O; I; J).
Le sinus de ϑ, que l'on notera sin(ϑ), est l'ordonnée de M dans le repère (O; I; J).
Théorème. Pour tout nombre ϑ réel, on a :
• (cos(ϑ))2 + (sin(ϑ))2 = 1
• −1 ≤ cos(ϑ) ≤ 1
• −1 ≤ sin(ϑ) ≤ 1
Démonstration.
•
•
Dans le repère orthonormé (O; I; J), M a pour coordonnées (cos(ϑ); sin(ϑ)). Or : OM 2 =
(xM − 0)2 + (yM − 0)2 d'après la formule de la distance dans le plan repéré. On a donc :
2
OM 2 = x2M + yM
= (cos(ϑ))2 + (sin(ϑ))2 .
Or on sait que OM = 1, donc on conclut : (cos(ϑ))2 + (sin(ϑ))2 = 1.
L'abscisse de I est 1 et celle de I 0 est −1. Donc, pour tout point M du cercle trigonométrique : −1 ≤ xM ≤ 1.
6
CHAPITRE 4.
•
TRIGONOMÉTRIE
On en tire : pour tout ϑ réel, on a : −1 ≤ cos(ϑ) ≤ 1.
En menant le même raisonnement sur l'ordonnée de M , on a : −1 ≤ sin(ϑ) ≤ 1
On peut faire le lien entre ces dénitions du sinus et du cosinus, et celles déjà vues auparavant.
Pour cela, on considère le triangle OM H représenté ci-dessous :
Ce triangle est rectangle en H , on peut donc appliquer les formules rappelées précédemment
\, et l'on obtient :
à l'angle ϑ = IOM
OH
cos(ϑ) = OM
= OH car OM = 1 (rayon du cercle)
sin(ϑ) =
HM
OM
=
OK
OM
= OK
On retrouve bien l'abscisse et l'ordonnée de M , associées respectivement aux cosinus et sinus
de ϑ.
Valeurs remarquables :
ϑ
0
π
6
π
4
√
√
π
3
π
2
1
2
√
3
2
0
\
IOM
0 30 45 60 90
cos(ϑ)
1
3
2
sin(ϑ)
0
1
2
2
2
√
2
2
1
4.3.
4.3
7
LE RADIAN
Le radian
Dans la section précédente, nous avons (à mots couverts) utilisé une nouvelle unité de mesure
d'angle. En eet, le cosinus et le sinus étaient connus en tant que cosinus d'angle et sinus
d'angle , pourtant nous avons exprimé cos(ϑ) et sin(ϑ), alors que ϑ était déni en tant que
_
mesure de l'arc IM ...
En fait, si un arc quelconque AB du cercle trigonométrique C a pour longueur ϑ, avec 0 ≤
\ mesure ϑ radians.
ϑ ≤ π , on dira que l'angle AOB
_
On a ainsi déni une nouvelle mesure d'angle : le radian.
8
CHAPITRE 4.
TRIGONOMÉTRIE
_
Dans le cercle trigonométrique, la longueur de l'arc IOI 0 est donc π. On a alors, en radians :
[0 = π . Or, en degrés, on a par ailleurs : IOI
[0 = 180.
IOI
On en tire la correspondance suivante : π radians correspondent à 180.
Comme les mesures en radians sont proportionnelles aux mesures en degrés, on en tire un
tableau de proportionnalité, dans lequel d est la mesure en degrés et ϑ la mesure en radians d'un
angle :
180
d
π
ϑ
D'où la relation : 180 × ϑ = π × d qui nous permet de passer d'une mesure à l'autre aisément.
4.4.
4.4
9
MESURE D'UN ANGLE ORIENTÉ
Mesure d'un angle orienté
Sur le cercle trigonométrique, une mesure d'un angle orienté est égale à la mesure de l'arc
intercepté par l'angle en respectant le sens de l'angle : mesure positive si l'angle est dans le sens
direct, mesure négative si le sens est indirect.
−→ −→
Exemple. L'angle (OI, OJ) mesure
π
2
−→ −→
radians, alors que l'angle (OJ, OI) mesure
−π
2
radians.
Remarque. Un angle orienté possède une innité de mesures, car on peut ajouter ou retirer 2π
(tour de cercle complet) autant de fois que l'on veut.
Exemple. L'angle
π
2
−→ −→
(OI, OJ) mesure
π
2
radians, mais aussi
π
2
+ 2π radians,
π
2
+ 4π radians,
− 2π radians, etc.
Dénition. La mesure principale d'un angle orienté est la mesure de cet angle appartenant
à l'intervalle ] − π; π].
−→ −−→
Exemple. L'angle (OI, OB) mesure
−π
2
radians, mais aussi
2π radians, etc.
Sa mesure principale est alors
−π
2
radians.
3π
2
radians,
−π
2
+ 4π radians,
−π
2
−
10
4.5
CHAPITRE 4.
TRIGONOMÉTRIE
Valeurs remarquables du cercle trigonométrique
Les valeurs remarquables d'angles sont représentées sur le quart de cercle ci-dessous et répertoriées dans le tableau suivant :
Angle en degrés 0
Angle ϑ en radians 0
30 45 60 90
cos(ϑ)
1
π
6
√
3
2
sin(ϑ)
0
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
π
2
1
2
√
3
2
0
1
4.5.
VALEURS REMARQUABLES DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
On en tire, par diverses symétries d'axe, le cercle trigonométrique complet :
Des mêmes symétries, on tire les relations suivantes :
Propriétés. Notons ϑ une mesure d'angle en radians. Alors :
• cos(−ϑ) = cos(ϑ) et sin(−ϑ) = − sin(ϑ).
• cos(π − ϑ) = − cos(ϑ) et sin(π − ϑ) = sin(ϑ).
• cos(π + ϑ) = − cos(ϑ) et sin(π + ϑ) = − sin(ϑ).
• cos π2 − ϑ = sin(ϑ) et sin π2 − ϑ = cos(ϑ)
11
12
CHAPITRE 4.
4.6
TRIGONOMÉTRIE
Résolution d'équations trigonométriques
Théorème. Les solutions dans
R de l'équation cos(ϑ) = cos(a), où a est un nombre réel xé,
sont :

 ϑ = a + 2kπ

ϑ = −a + 2kπ
Théorème. Les solutions dans
où a est un nombre entier relatif.
R de l'équation sin(ϑ) = sin(a), où a est un nombre réel xé,
sont :

 ϑ = a + 2kπ

4.7
ϑ = π − a + 2kπ
où a est un nombre entier relatif.
Étude des fonctions trigonométriques
Il est facile de remarquer à l'aide du cercle trigonométrique que les fonctions x 7→ cos(x) et
x 7→ sin(x) sont périodiques de période 2π . Cela signie que, quel que soit le nombre réel x, on
a : cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x).
La courbe représentative de la fonction cosinus x 7→ cos(x) est la suivante :
On constate à l'aide de ce graphique que cos(−x) = cos(x), on dit alors que la fonction est
paire (symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).
La courbe représentative de la fonction sinus x 7→ sin(x) est la suivante :
4.7.
ÉTUDE DES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
13
On constate à l'aide de ce graphique que sin(−x) = − sin(x), on dit alors que la fonction est
impaire.
Grâce à la périodicité des fonctions cosinus et sinus, on a la propriété suivante :
Propriété. Considérons les fonctions t 7→ cos(ωt + ϕ) et t 7→ sin(ωt + ϕ).
Elles sont périodiques de période T =
2π
ω
.
On a : cos ω t + 2πω + ϕ = cos(ωt + 2π + ϕ) = cos(ωt + ϕ) car le cosinus est
périodique de période 2π. Donc l'image de t + T par la fonction est la même que celle de t, quelle
que soit sa valeur.
De même pour la fonction sinus.
Démonstration.
Les fonctions cosinus et sinus sont continues et dérivables sur R, et on a :
∀x ∈ R, (cos(x))0 = − sin(x)
et
(sin(x))0 = cos(x)
On en tire le théorème suivant :
Théorème.
• Si ω et ϕ sont deux nombres réels, la fonction f : t 7→ cos(ωt + ϕ) est dérivable sur R et sa
dérivée est : f 0 : t 7→ −ω sin(ωt + ϕ).
• Si ω et ϕ sont deux nombres réels, la fonction g : t 7→ sin(ωt + ϕ) est dérivable sur R et sa
dérivée est : g 0 : t 7→ ω cos(ωt + ϕ).
En notant u : t 7→ ωt + ϕ, v : t 7→ cos(t) et w : t 7→ sin(t), on a : f (t) = v(u(t)) =
v ◦ u(t) et g(t) = w(u(t)) = w ◦ u(t). Les fonctions u, v et w sont dénies et dérivables sur R.
On utilise alors la formule de dérivation d'une fonction composée :
• f 0 (t) = u0 (t) × v 0 (u(t)) = ω × (− sin(ωt + ϕ)) = −ω sin(ωt + ϕ).
• g 0 (t) = u0 (t) × w0 (u(t)) = ω × cos(ωt + ϕ)).
Démonstration.