Exercices de révision de trigonométrie (suite) : correctif − cos 2 = 2

4ème
Trigonométrie
Exercices de révision de trigonométrie (suite) : correctif
Exercice 1
Sachant que tg x=3 et en n’utilisant pas la machine, calcule, en détaillant ton raisonnement :
a) La valeur de
𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥
tgx = 3  sinx = 3 cosx
𝑐𝑜𝑠𝑥−7𝑠𝑖𝑛𝑥
sinx   cosx cosx  cosx


=
=
= cosx  sinx
cosxcosx 

b) La valeur de
cos 𝑥−5𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥
tgx = 3  sinx = 3 cosx
cosx  sinx
cosx  cosx 
=
=
cosxsinx
cosxcosx

Exercice 2
Sachant que tg x=3 et en n’utilisant pas la machine, calcule, en détaillant ton raisonnement :
a) La valeur du cos x en sachant que x est un angle du troisième quadrant
sin²x + cos²x = 1  comme sinx = 3cosx, 9cos²x + cos²x = 1

10cos²x = 1  cosx = ±
Comme x est un angle du troisième quadrant,


 
cos x = On trouve alors sinx = 

b) La valeur du sin x en sachant que x est un angle du troisième quadrant
sin²x + cos²x = 1  comme sinx = 3cosx, 9cos²x + cos²x = 1

10cos²x = 1  cosx = ±
Comme x est un angle du troisième quadrant,


cos x = 
Question 3
Montre, en transformant l’égalité que :
a)
cos2 𝑥
− cos2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 . cos2 𝑥
sin2 𝑥
cos²xcos²x.sin²x cos²x
=
. cos²x
sin²x
sin²x
cos²x(1-sin²x) = cos²x. cos²x
1 - sin²x= cos²x
égalité toujours vérifiée
1
4ème
Trigonométrie
b) (1 + 𝑡𝑔𝑥)2 + (1 − 𝑡𝑔𝑥 )2 =
1+2tgx+tg²x+1-2tgx+tg²x =
sin²x

=
cos²x cos² x
cos²xsin²x

=
cos²x
cos² x

cos² x
2
cos2 𝑥
2+2
et 𝟐(𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙−= 𝟐 é𝒈𝒂𝒍𝒊𝒕é 𝒕𝒋𝒔 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊é𝒆
Question 4
Calcule et simplifie en faisant référence au cercle trigonométrique et/ou aux valeurs particulières :
a) 𝐬𝐢𝐧𝟐
𝟒𝛑
𝟑
+ 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝟓𝛑
𝟑
= sin²240° + cos²300° = (-sin60)² + (cos60°)²


)² + ( )² = 1


𝐬𝐢𝐧(𝟗𝟎°+𝐱)
cosx
b) 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟖𝟎°−𝐱)=
= -1
cosx
= (-
c) 𝐜𝐨𝐬𝟐
𝟒𝛑
𝟑
+ 𝐬𝐢𝐧𝟐
𝟓𝛑
𝟑
= (cos240°)²+(sin300°)² = (-cos60°)²+(-sin60°)² = (-1/2)² + (-32)² = 1
Question 5
a) Recherche 2 angles exprimés en degrés, minutes secondes dont la tangente vaut 4.
tgx = 4 d’où x = 75° 57’ 50’’ ou par exemple, x + 180° = 255° 57’ 50’’
b) Recherche 2 angles, exprimés en degrés, minutes et secondes dont le sinus vaut 0,2
sinx = 0,2 d’où x = 11°32’13’’ ou par exemple 180°-11°32’13’’ = 168°27’47’’
Question 6
a) Un secteur de rayon 4 cm a un angle au centre de 125°. Détermine la longueur de l’arc de
cercle ainsi déterminé. L = a.R
a = 125° = 2,182 radians
d’où L = 8,727 cm
b) Un secteur de rayon 4 cm a un angle au centre de 125°. Détermine la longueur de l’arc de
a.R²
cercle ainsi déterminé. Aire du secteur =
a = 125° = 2,182 radians

d’où A = 17,453 cm²
2