4ème Trigonométrie Exercices de révision de trigonométrie (suite) : correctif Exercice 1 Sachant que tg x=3 et en n’utilisant pas la machine, calcule, en détaillant ton raisonnement : a) La valeur de 𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥 tgx = 3 sinx = 3 cosx 𝑐𝑜𝑠𝑥−7𝑠𝑖𝑛𝑥 sinx cosx cosx cosx = = = cosx sinx cosxcosx b) La valeur de cos 𝑥−5𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥+4𝑠𝑖𝑛𝑥 tgx = 3 sinx = 3 cosx cosx sinx cosx cosx = = cosxsinx cosxcosx Exercice 2 Sachant que tg x=3 et en n’utilisant pas la machine, calcule, en détaillant ton raisonnement : a) La valeur du cos x en sachant que x est un angle du troisième quadrant sin²x + cos²x = 1 comme sinx = 3cosx, 9cos²x + cos²x = 1 10cos²x = 1 cosx = ± Comme x est un angle du troisième quadrant, cos x = On trouve alors sinx = b) La valeur du sin x en sachant que x est un angle du troisième quadrant sin²x + cos²x = 1 comme sinx = 3cosx, 9cos²x + cos²x = 1 10cos²x = 1 cosx = ± Comme x est un angle du troisième quadrant, cos x = Question 3 Montre, en transformant l’égalité que : a) cos2 𝑥 − cos2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝑥 . cos2 𝑥 sin2 𝑥 cos²xcos²x.sin²x cos²x = . cos²x sin²x sin²x cos²x(1-sin²x) = cos²x. cos²x 1 - sin²x= cos²x égalité toujours vérifiée 1 4ème Trigonométrie b) (1 + 𝑡𝑔𝑥)2 + (1 − 𝑡𝑔𝑥 )2 = 1+2tgx+tg²x+1-2tgx+tg²x = sin²x = cos²x cos² x cos²xsin²x = cos²x cos² x cos² x 2 cos2 𝑥 2+2 et 𝟐(𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙−= 𝟐 é𝒈𝒂𝒍𝒊𝒕é 𝒕𝒋𝒔 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊é𝒆 Question 4 Calcule et simplifie en faisant référence au cercle trigonométrique et/ou aux valeurs particulières : a) 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝟒𝛑 𝟑 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟓𝛑 𝟑 = sin²240° + cos²300° = (-sin60)² + (cos60°)² )² + ( )² = 1 𝐬𝐢𝐧(𝟗𝟎°+𝐱) cosx b) 𝐜𝐨𝐬(𝟏𝟖𝟎°−𝐱)= = -1 cosx = (- c) 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝟒𝛑 𝟑 + 𝐬𝐢𝐧𝟐 𝟓𝛑 𝟑 = (cos240°)²+(sin300°)² = (-cos60°)²+(-sin60°)² = (-1/2)² + (-32)² = 1 Question 5 a) Recherche 2 angles exprimés en degrés, minutes secondes dont la tangente vaut 4. tgx = 4 d’où x = 75° 57’ 50’’ ou par exemple, x + 180° = 255° 57’ 50’’ b) Recherche 2 angles, exprimés en degrés, minutes et secondes dont le sinus vaut 0,2 sinx = 0,2 d’où x = 11°32’13’’ ou par exemple 180°-11°32’13’’ = 168°27’47’’ Question 6 a) Un secteur de rayon 4 cm a un angle au centre de 125°. Détermine la longueur de l’arc de cercle ainsi déterminé. L = a.R a = 125° = 2,182 radians d’où L = 8,727 cm b) Un secteur de rayon 4 cm a un angle au centre de 125°. Détermine la longueur de l’arc de a.R² cercle ainsi déterminé. Aire du secteur = a = 125° = 2,182 radians d’où A = 17,453 cm² 2