Maple - El Amiri Ahmed, Professeur agrégé en Mathématiques au

Maple: Sup- Spé
Résumé
evalf (expr) , convertit une expression en nombre réel approché.
exemples :
> ln(5) ;
> evalf ( ln(5 ) ;
> ln(5.) ;
> evalf ( ln(5) , 20 ) ; # on précise le nombre de chiffres significatifs souhaités
>Pi ;
> evalf ( Pi ) ;
> sin ( Pi/12 ) ;
> evalf(sin ( Pi/12 )) ;
Remarque : evalf ( % ) ; # évalue le dernier calcul .
>Pi ;
> evalf(%);
Quelques fonctions mathématiques prédéfinies dans Maple :
racine carrée ( attention !! c’est dans C ) :
sqrt ,
Exemples :
> sqrt(2);
> evalf(%) ;
racine n ième
root ,
Exemples :
>root(x,3);
>root(x,2);
>root(27,3);
exponentielle :
exp ,
Exemples :
>exp(0);
>exp(1);
>exp(1.);
logarithme népérien :
ln ,
Exemples :
>ln(1);
>ln(2);
>evalf(%);
>exp(ln(4));
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valeur absolue dans R, module dans C :
abs ,
Exemples :
>abs(-2);
>abs(1-5);
>abs(1+I);
fonctions trigonométriques :
sin ,
cos ,
tan,
Exemples :
>sin(Pi/2);
>cos(Pi/2);
>sin(Pi/4);
>cos(Pi/4);
>tan(Pi/4);
>tan(Pi/2);
fonctions trigonométriques réciproques
arcsin,
arccos,
arctan,
Exemples :
>arcsin(1);
>arcsin(sqrt(2)/2);
>arccos(0);
>arccos(1);
>arccos(-1);
fonctions hyperboliques
sinh ,
cosh ,
tanh ,
Exemples :
>sinh(0);
>sinh(1);
>sinh(1.);
>(exp(1)-exp(-1))/2;
evalf(%);
>cosh(0);
fonctions hyperboliques réciproques
arcsinh,
arccosh,
arctanh,
Exemples : >arcsinh(0);
>arccosh(1);
>arccosh(0);
>arcsinh(1);
Quelques constantes prédéfinies :
Remarque : attention aux majuscules et minuscules !
1) : pour Maple c’est « Pi », mais pas « pi ».
2) Le complexe itel que 21i  :c’est Ien Maple.
3) le réel e: c’est exp ( 1 ) .
4) L’infini (c’est-à-dire ) : c’est « infinity ».
> infinity ;
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Sommes et produits :
Pour le calcul des sommes, on dispose de deux fonctions Sum et sum. La première est inerte et
affiche simplement la somme à calculer, la seconde effectue le calcul (si possible !).
> Sum ( k , k = 1 .. n ) ;
> sum ( k , k = 1 .. n ) ;
> Sum ( k , k = 1 .. n ) = factor(sum ( k , k = 1 ..n ) );
> Sum ( k^2 , k = 1 .. n ) = sum ( k^2 , k = 1 ..n ) ;
> Sum ( k^2 , k = 1 .. n ) = factor(sum ( k^2 , k = 1 ..n )) ;
> Sum ( k^3 , k = 1 .. n ) = sum ( k^3 , k = 1 ..n ) ;
> Sum ( k^3 , k = 1 .. n ) = factor(sum ( k^3 , k = 1 ..n ) ) ;
> Product ( 1 + 1/k , k = 1 .. n ) ; # produit inerte
> product ( 1 + 1/k , k = 1 .. n ) ;# montrer le résultat
> simplify ( % ) ;
Etude de fonctions :
CALCUL DE LIMITES :
limit ( expr , var = L ) ;
renvoie la limite de l’expression en var lorsque var tend vers L.
Exemples :
> limit ( sin ( x )/x , x = 0 ) ;
> limit(x*ln(x),x=0) ;
> limit ( exp ( x ) , x = infinity ) ;
> limit ( exp ( x ) , x = - infinity ) ;
> limit ( 1/x, x=0 , right ) ; # limite à droite
> limit ( 1/x, x=0 , left ) ;
Exercice :
Calculer grâce à Maple les limites suivantes :
1)
lim 1 1
xx x x x       ; 2)
2
lim( 2 )tan
x
x x
.
Valeurs logiques :( true et false) :
Exemples :
>isprime(39);# test de primalité du nombbre 39
>isprime(41);# notons que “prime” est “premier” en anglais.
>isprime(1);# 1 est par definition composé(c-à-d non premier)
Digits :
Nombre total de chiffres significatifs pour les valeurs décimales approchées, et il vaut 10 par
défaut.
Exemple :
>evalf(Pi);
>evalf(sqrt(2));
>Digits:=40:
>evalf(Pi);
>evalf(sqrt(2));
Nombres complexes :
> ( 1 + 4 * I ) ^3 ; # évaluation automatique sous la forme algébrique a + b I
> ( 1 + sqrt ( 2 ) * I ) ^7 ;
> evalc ( % ) ;
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3) 21 2
lim 3
x
x x
x
; 4) 0
sin2
lim 1
x
x
x
.
CALCUL DE DERIVEES DE FONCTIONS :
diff ( expr , var ) ;
dérive une expression formelle par rapport à une variable .
Exemples :
>diff(exp(x),x) ;
>diff(ln(x),x) ;
> diff ( y * x^2 + ln ( x ) , x ) ;# dérivées partielles par rapport à x
>diff ( y * x^2 + ln ( x ) , y ) ; # dérivées partielles par rapport à y
> diff ( ln ( x ) , x$3 ) ; # dérivée troisième de ln ( x )
Exercice :
1) Grâce à Maple, dériver les fonctions suivantes :
32
2
2 1
( ) , ( ) sin(3 )(cos 1) , ( ) ( 2) ln 1
4 2
x x
f x g x x x h x x x
x
.
2) Calculer via Maple les dérivées :
(2) (3)
3 3
(4) (4) 2 2
cos , sin , 1 , 1x x x x
    .
CALCUL DE PRIMITIVES :
int ( expr , var ) ;
renvoie une primitive d’une expression formelle par rapport à une variable (lorsque Maple
sait en trouver) ;
Remarque :Int ( expr , var ) ; donne la forme inerte :
Exemples :
>int(1/x ,x) ;
>Int(1/x ,x) ;
> Int(ln(x),x)=int(ln(x) ,x) ;# facile à calculer par une intégration par parties.
 #dans ce cas, Maple ne connaît pas de primitive
>int(exp(-x^2),x);
CALCUL D’INTEGRALES :
int ( expr , var = a .. b ) ; calcule l’intégrale définie de a à b.
Exemples :
> int(1/x,x=2..3) ;
> int ( exp ( x ) * cos ( x ) , x = 0 .. Pi ) ; # à calculer par intégration par parties
Remarque :Int ( expr , var = a..b ) ; donne la forme inerte :
> Int ( sqrt ( sin ( x )^2 ) , x = 0 .. Pi/2 ) = int ( sqrt ( sin ( x ) ^2 ) , x = 0 .. Pi/2 ) ;
> Int(exp(-x^2),x=0..1) ;
> Int(exp(-x^2),x=0..1) = int(exp(-x^2),x=0..1) ;# on n’a pas de valeur exact !
Valeur approchée d’une intégrale :
Exemple :
> int(exp(-x^2),x=0..1) ;
> evalf(%) ;
Tracé d’une courbe :
plot ( f(x) , x = a .. b ,y= c..d , options) ; où l’expression dépend d’une seule variable x,
représente la courbe y = f( x ) entre x = a et x = b :
Exemples
NB : Faire d'abord appel au package with(plots):
> plot ( sin ( x ) , x = -Pi .. Pi ) ;
> plot ( sin ( x ) , x = 0 .. 2 * Pi , scaling = constrained ) ; # repère orthonormé
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L’opérateur D ( fct ) renvoie la fonction dérivée de fct qui est une fonction :
Exemples : > f := D ( tan ) ;
> f(0) ;f(Pi/4) ;
> restart :
> f := x -> exp ( x^2 ) ;
> g := D ( f ) ;
> g ( x ) ;
> h := (D @@ 3 ) (f) ; # donne la fonction dérivée troisième de f
Tracé simultané de plusieurs courbes
>F:=plot(cos(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi):
G:=plot(tan(x),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=green):
display({F,G});
Equations et système d’équations
solve ( expr=expr, var ) résout, si possible, équations et inéquations :
> solve ( x^2 + 6 * x – 1 =0, x ) ;
> solve ( x^5 + x – 4 = 0 , x ) ; # !!!
SYSTEMES :
> solve ( { x + y = 1 , 2 * x + y = 3 } , { x , y } ) ;
fsolve ( expr = expr , var ) (f comme float) permet d’obtenir une valeur numérique approchée
des solutions d’une équation :
> fsolve ( x * exp ( x^2 ) = 1 , x ) ;
> fsolve ( x^5 + x - 4 = 0 , x ) ; # recherche toutes les racines réelles
> fsolve ( x^5 + x - 4 = 0 , x , complex ) ; # recherche toutes les racines complexes
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Maple utilise la commande suivante : dsolve ( eq , y ( t ) ) ; où eq est une équation différentielle
formelle dépendant de la fonction y(t) et y(t) la fonction inconnue.
Exemple 1 : Résolvons l’équation différentielle '( ) ( )y t y t t  .
>dsolve(diff(y(t),t)+y(t)=t,y(t));
On peut procéder également comme suit:
> eq := diff ( y ( t ) , t ) + y ( t ) = t ;
> dsolve ( eq , y ( t ) ) ;
Exemple 2 : Résolvons l’équation différentielle ''( ) 4 ( ) siny t y t t  .
>dsolve(diff(y(t),t$2)-4*y(t)=sin(t),y(t));
> eq := diff(y(t),t$2)-4*y(t)=sin(t) ; # ou bien
> dsolve ( eq , y ( t ) ) ;
Résolution d’une équation différentielle avec données initiales : « Problème de Cauchy »
Par exemple, pour une équation d’ordre 1, si on précise y(0), la solution est entièrement
déterminée.
Exemple : Résolvons l’équation différentielle suivante : 2 '( ) ( ) , (0) 1y t y t t y  
> dsolve ( { diff ( y ( t ) , t ) - y ( t ) = t^2 , y ( 0 ) = 1 } , y ( t ) ) ;
Ou bien : > eq := diff ( y ( t ) , t ) - y ( t ) = t^2 ;
> dsolve ( { eq , y ( 0 ) = 1 } , y ( t ) ) ;
Exemple : Résolvons l’équa diff : ''( ) '( ) ( ) 0 , (0) 0, '(0) 1y t y t y t y y    
> eq := diff ( y ( t ) , t $ 2 ) + diff ( y ( t ) , t ) + y ( t ) =0 ;
> dsolve ( { eq , y ( 0 ) = 0 , D ( y ) ( 0 ) = 1 } , y ( t ) ) ;
R/R :On a utilisé l’opérateur de dérivation : D ( y ) représente la fonction y ’ et D(y)(0), y ’(0).
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