Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs CALCUL INTEGRAL 1. Aire sous une courbe 1.1. Unité d’aire dans un repère orthogonal On considère (O;OI ,OJ ) un repère orthogonal. K est le point de coordonnées (1;1) dans ce repère. L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ. Exemples : i. L’aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d’aires. OI = 2 cm et OJ = 3 cm, donc l’aire de ABCD est 2 2 3 = 12 cm2. ii. Dans une entreprise de fabrication d’objets, le coût marginal varie par paliers. Le graphique ci-dessous représente ces variations en fonction du nombre d’unités déjà produites. 1 Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs On admet que le coût total (en Euros) pour la fabrication de 1200 unités correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle [0 ; 1200]. La fonction coût marginal est positive sur [0 ; 1200]. L’aire du domaine cherché (en gris) est, en unités d’aire : 4 ( 200 0 ) + 3 ( 500 200 ) + 2 (1000 500 ) + 5 (1200 1000 ) = 3700 . Donc le coût total de fabrication de 1200 unités est de 3700 . 1.2. Notion d’intégrale Définition 1 : f est une fonction continue sur un intervalle ouvert I, a et b sont deux réels de I. De plus F est l’une des primitives de f. On appelle intégrale de f entre a et b le nombre F (b ) F ( a ) . On note ce réel f ( x ) dx . b a Remarques : i. Ce nombre se lit « somme de a à b de f ( x ) dx » ou « intégrale de a à b de f ( x ) dx ». ii. Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, avec les notations précédentes, les autres primitives de f sont de la forme G ( x ) = F ( x ) + k avec k un nombre réel. Et l’on remarque que G (b ) G ( a ) = F (b ) F ( a ) . iii. Dans la pratique, pour calculer f ( x ) dx , on détermine une primitive F de b a f sur un intervalle contenant a et b, puis on écrit : f ( x ) dx = F ( x ) b b a a Exemple : 2 1 = F (b ) F ( a ) . 2 x3 23 13 7 x dx = = = . 3 1 3 3 3 2 Propriété 1 : f ( x ) dx = 0 . ii. f ( x ) dx = f ( x ) dx . i. a a a b b a Preuve : avec les notations précédentes… f ( x ) dx = F (a ) F (a ) = 0 . ii. f ( x ) dx = F ( a ) F (b ) = ( F (b ) F ( a )) = f ( x ) dx . i. a a a b b a 2 Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs 1.3. Intégrale et aire sous une courbe Propriété 2 : admise… f est une fonction continue et positive sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a b. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. f ( x ) dx b a est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b. Remarques : i. On dit aussi de manière moins rigoureuse que c’est l’aire sous la courbe C entre a et b. ii. On pourrait approcher l’aire sous la courbe en ajoutant les aire f ( x ) dx de tous les rectangles de dimensions dx (aussi petit que l’on veut) et f ( x ) . 1 sur x l’aire, en unités d’aire, sous Exemple : C est la courbe représentative de la fonction x l’intervalle 0; + . On désigne par s ( t ) cette courbe entre 1 et t. On a : t dx t = ln x 1 = ln t . Si t 1, s ( t ) = 1 x 1 dx 1 = ln x t = ln t . Si 0 < t 1, s ( t ) = t x 2. Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle Définition 2 : f est une fonction continue sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que 1 b f ( x ) dx . a < b. La valeur moyenne de f sur l’intervalle [a ; b] est le réel : b a a 3 Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs Interprétation géométrique : cas où f est positive sur [a ; b]. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. En unités d’aire : f ( x ) dx est l’aire sous cette courbe entre a et b ; et m (b a ) est l’aire du rectangle ABCD (en gris sur le dessin). b a Donc m, valeur moyenne de f sur [a ; b], est la « hauteur » du rectangle de base (b a ) ayant la même aire que le domaine sous la courbe C entre a et b. Remarque : m a la même unité que la fonction f. Exemples : i. Le débit en m3/h d’une pompe à arrosage qui fonctionne en été de 6 heures à 20 heures, est modélisé par f ( x ) = 5e 0,002 x où x est l’heure considérée (6 x 20). Une primitive F de f est : 1 0,002 x F (x ) = 5 e = 2500e 0,002 x . 0,002 Le volume d’eau débité par cette pompe entre 6 heures et 20 heures est 20 6 f ( x ) dx = F ( 20 ) F ( 6) 71,85 m3. Le débit moyen de cette pompe entre 6 et 20 heures est égal à : 20 1 f ( x ) dx 5,13 m3/h. 6 20 6 Ce nombre est la valeur moyenne de la fonction f, il est donc exprimé dans la même unité. ii. Dans une région où une épidémie commence à se propager, on constate que le nombre de malades contaminés t jours après le début de l’épidémie est M(t). Le nombre total de malades sur une période de 30 jours est 30 0 M ( t ) dt . Le nombre moyen de personnes contaminées par jour est 1 30 M ( t ) dt . 30 0 4 Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs 3. Propriétés de l’intégrale f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I, a et b sont deux réels quelconques. 3.1. Linéarité Théorème 1 : ( f ( x ) + g ( x )) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx . ii. kf ( x ) dx = k f ( x ) dx pour tout réel k. i. b a b b a a b b a a Preuve : i. Soient F et G des primitives respectives de f et g sur I. Alors F + G est une primitive de f + g sur I. (Voir chapitre sur les primitives.) Ainsi : ( f ( x ) + g ( x )) dx = F ( x ) + G ( x ) = F (b ) + G (b ) F ( a ) + G ( a ) = F (b ) F ( a ) + G (b ) G ( a ) = f ( x ) dx + g ( x ) dx b a b a b b a a ii. De manière analogue car kF est une primitive de kf sur I. Exemple : Calculer ( 4t 1 0 2 ) + 3e t dt . 3.2. Positivité et ordre Théorème 2 : a et b sont deux réels de I tels que a b. Si pour tout x de [a ; b], f ( x ) 0 , alors f ( x ) dx 0 . b a Preuve : F est une primitive de f sur I, alors pour tout x de I, F ' ( x ) = f ( x ) . Or f ( x ) 0 sur [a ; b], donc F est une fonction croissante sur [a ; b]. Ce qui implique que F ( a ) F (b ) c’est à dire F (b ) F ( a ) 0 et donc f ( x ) dx 0 . b a Théorème 3 : a et b sont deux réels de I tels que a b. Si pour tout x de I, f ( x ) g ( x ) , alors 5 b a f ( x ) dx g ( x ) dx . b a Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs Preuve : Pour tout x de g ( x ) f ( x ) dx 0 c’est à dire b a et donc g (x ) f (x ) 0 , I, donc g ( x ) dx f ( x ) dx 0 b b a a f ( x ) dx g ( x ) dx . b b a a Exemple : La courbe représentative de la fonction x ln x est située en dessous de sa tagente au point d’abscisse 1 d’équation y = x – 1 ; cela signifie que pour tout x de 0; + , ln x x 1 . On a alors : 2 x2 1 avec x 1 dx = x ln xdx x 1 dx ( ) ( ) = ... = . On 1 1 1 2 2 1 2 1 obtient donc ln xdx . 1 2 2 2 2 3.3. Relation de Chasles Théorème 4 : Pour tous réels a, b et c de I, f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx . b c c a b a Preuve : F est une primitive de f sur I. f ( x ) dx + f ( x ) dx = F (b ) F ( a ) + F ( c ) F (b ) = F (c ) F (a ) = f ( x ) dx b c a b c a Exemple : Calculer I = f (t ) dt 3 3 avec : f ( t ) = 1 t si t < 0 f (0) = 1 t f ( t ) = e si t > 0 Penser à la continuité de la fonction… 6