Chapitre 9 : Variables aléatoires réelles à densité 1 Définitions et

Lycée Sainte Geneviève BCPST 2
Chapitre 9 : Variables aléatoires réelles à densité
1 Définitions et premières propriétés
Revoir les définitions et propriétés générales des variables aléatoires et de leur fonction de répartition au début du
chapitre 5.
1.1 Densité
Définition 1. Soit Xune VA réelle définie sur un espace probabilisé (Ω,T, P )et Fsa fonction de répartition. On
dit que Xest une variable aléatoire réelle à densité (ou encore absolument continue) s’il existe une fonction
f:R→Rqui vérifie :
1. fest positive ou nulle sur R.
2. fest continue sur Rsauf éventuellement en un nombre fini de points.
3. L’intégrale Z+∞
−∞
f(t)dtconverge et vaut 1.
4. Pour tout x∈R,F(x) = P(X≤x) = Zx
−∞
f(t)dt.
La fonction fest appelée une densité de X.
Remarque Si fest une densité de Xalors toute fonction gpositive qui coïncide avec fsauf en un nombre fini de
points est encore une densité de X.
Théorème 1. Soit f:R→Rpositive ou nulle, continue sauf en un nombre fini de points et telle que Z+∞
−∞
f(t)dt= 1.
Alors il existe un espace probabilisé (Ω,T, P )et une variable aléatoire Xdéfinie sur cet espace dont fest une densité.
Remarque Pour une VA à densité X, déterminer la loi de Xconsiste à en donner une densité. Si deux VA ont des
densités qui ne diffèrent qu’en un nombre fini de points elles auront la même loi.
1.2 Fonction de répartition
Théorème 2. Propriétés de la fonction de répartition d’une VA à densité
Soient Fla fonction de répartition d’une VA réelle à densité Xet fune densité de X. On a
•Fest continue sur R.
•Fest de classe C1sauf en un nombre fini de points. Plus précisément il existe des réels a1< a2< . . . < antels
que sur chacun des intervalles ]− ∞, a1[,]a1, a2[,...,]an,+∞[,Fest C1et F0=f.
Théorème 3. Réciproque du théorème précédent
Soit Xune VA réelle de fonction de répartition F. Si Fest continue sur Ret C1sauf en un nombre fini de points alors
Xest une VA à densité.
1

Remarques
1. En pratique, pour démontrer qu’une VA est à densité, on détermine sa fonction de répartition Fet on montre
qu’elle est continue sur Ret C1sauf en un nombre fini de points.
Puis pour déterminer la densité de la VA, on dérive Flà où elle est C1et on pose f(x) = F0(x)en ces points.
Aux points où Fn’est pas dérivable on peut prendre n’importe quelles valeurs pour f. En général on essaie de
prolonger fpar continuité si c’est possible.
2. Un peu plus généralement que le théorème 3 on a : si Fest une fonction continue et croissante sur Ret C1sauf
en un nombre fini de points ayant pour limite 0en −∞ et 1en +∞, alors il existe un espace probabilisable et
une VA à densité Xdont Fest la fonction de répartition.
3. Important : La fonction de répartition détermine la loi. Autrement dit deux variables aléatoires qui ont la même
fonction de répartition suivent la même loi.
1.3 Calculs de probabilités
Proposition 1. Soit Xune VA réelle à densité. Pour tout x∈R, on a P(X=x) = 0.
Remarque Cela montre que les VA à densité et les VA discrète forment deux ensembles disjoints de VA.
Proposition 2. Soit Xune VA de densité fet de fonction de répartition F. On a
•Pour tout x∈R,
P(X≤x) = P(X < x) = F(x) = Zx
−∞
f(t)dt
et
P(X≥x) = P(X > x) = 1 −F(x) = Z+∞
x
f(t)dt
•Pour tout réels a < b :
P(a<X<b) = P(a≤X < b) = P(a < X ≤b) = P(a≤X≤b) = F(b)−F(a) = Zb
a
f(t)dt
Définition 2. Soient Xune VA réelle à densité et Iun intervalle de R. On dit que Xest à valeurs dans Isi
P(X∈I)=1.
En fait Xest à valeurs dans Isi et seulement si elle possède une densité qui est nulle sur le complémentaire de I.
1.4 Composition avec une fonction
Attention Contrairement aux VA discrètes, si Xest une VA à densité et ϕune fonction quelconque, ϕ(X)
(i.e. ϕ◦X) n’est pas a priori une VA à densité. C’est vrai que pour certaines fonctions ϕ.
Proposition 3. Composition avec une fonction affine
Soient Xune VA réelle de densité fet (a, b)∈R2avec a6= 0. Alors Y=aX +best une VA réelle à densité admettant
pour densité
g:y7→ 1
|a|fy−b a
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Théorème 4. Composition avec une bijection C1
Soient Xune VA réelle de densité fà valeurs dans Iet ϕ:I→Rune fonction de classe C1dont la dérivée ne s’annule
pas.
Alors Y=ϕ(X)est une VA de densité gtelle que gest nulle en dehors de l’intervalle J=ϕ(I)et :
∀y∈J, g(y) = |(ϕ−1)0(y)|f(ϕ−1(y)) = f(ϕ−1(y))
|ϕ0(ϕ−1(y))|
Remarque Le fait que ϕsoit bijective C1est une condition suffisante mais pas nécessaire. Par exemple si Xest à
densité, alors pour tout n∈N,Xnest encore à densité (pour npair ϕ:x7→ xnn’est pas bijective !)
2 Moments d’une variable aléatoire à densité
2.1 Espérance
Définition 3. Soit Xune VA de densité f. Si l’intégrale Z+∞
−∞
tf(t)dtest absolument convergente, on dit que X
admet une espérance et on note E(X) = Z+∞
−∞
tf(t)dt.
Attention Tout comme dans le cas des VA discrètes l’espérance d’une VA à densité peut ne pas exister.
Proposition 4. Soient Xune VA réelle de densité fadmettant une espérance et a∈R. Alors Y=aX +badmet
une espérance et E(Y) = aE(X) + b.
Théorème 5. Linéarité de l’espérance
Soient Xet Ydes VA réelles à densité admettant chacune une espérance.
Pour λ∈R,si λX +Yest encore une VA à densité, alors elle admet une espérance et E(λX +Y) = λE(X) + E(Y).
Théorème 6. Positivité et croissance
•Positivité : si Xest une VA à densité à valeurs dans R+qui possède une espérance, alors E(X)≥0.
•Croissance : si Xet Ysont deux VA à densité admettant des espérances et telles que X≤Ypresque sûrement,
alors E(X)≤E(Y).
2.2 Transfert
Théorème 7. Soient Xune VA réelle de densité f, à valeurs dans un intervalle Iet ϕ:I→Rune fonction continue
sauf peut-être en un nombre fini de points.
On suppose que Y=ϕ(X)est une VA à densité.
Yadmet une espérance si et seulement si l’intégrale ZI ϕ(t)f(t)dtest absolument convergente. Dans ce cas
E(ϕ(X)) = ZI ϕ(t)f(t)dt
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2.3 Moments d’ordres supérieurs
Définition 4. Soit Xune VA de densité fet n∈N. On dit que Xadmet un moment d’ordre nsi l’intégrale
Z+∞
−∞
tnf(t)dtest absolument convergente. En cas de convergence ce réel est appelé moment d’ordre nde Xet noté
mn(X).
Remarque Xadmet un moment d’ordre nsi et seulement si Xnadmet une espérance. Et dans ce cas mn(X) =
E(Xn).
Proposition 5. Si Xadmet un moment d’ordre nalors pour tout k≤n,Xadmet un moment d’ordre k.
Définition 5. Soit Xune VA à densité admettant une espérance. Alors (X−E(X))2est une VA à densité. Si
(X−E(X))2admet aussi une espérance, on appelle variance de Xle réel : V(X) = E(X−E(X))2
Théorème 8. Formule de Koenig-Huyghens
Soit Xune VA à densité. Xadmet une variance si et seulement si elle admet un moment d’ordre 2et dans ce cas :
V(X) = E(X2)−E(X)2
Théorème 9. Soit Xune VA à densité admettant une variance. Alors pour tout (a, b)∈R2,Y=aX +badmet une
variance et V(aX +b) = a2V(X).
Théorème 10. Toute variance d’une VA réelle à densité est strictement positive.
Définition 6. Soit Xune VA réelle à densité admettant un moment d’ordre 2. On appelle écart-type de Xle réel
strictement positif : σ(X) = pV(X).
Remarque Les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev ont été démontrées pour tout type de variable
aléatoire et sont donc encore valables pour les variables à densité : merci de les revoir !
3 Lois usuelles
3.1 Loi uniforme
On modélise le tirage aléatoire d’un nombre réel dans un segment.
Définition 7. Soient deux réels a < b. On dit que Xsuit la loi uniforme sur [a, b]si elle admet pour densité
∀x∈R, f(x) = 1
b−a1[a,b](x) = (0si x /∈[a, b]
1
b−asi x∈[a, b]
On note X → U([a, b])
4

Proposition 6. La fonction de répartition Fd’une VA suivant la loi uniforme sur [a, b]est :
∀x∈R, F (x) = 
0si x≤a
x−a
b−asi a≤x≤b
1si x≥b
Proposition 7. Toute VA Xsuivant une loi uniforme dans [a, b]admet une espérance et une variance données par :
E(X) = a+b
2V(X) = (b−a)2 12
Proposition 8. Toute VA Xsuivant une loi uniforme dans [a, b]admet des moments de tous ordres.
∀n∈N, mn(X) = bn+1 −an+1
(n+ 1)(b−a)
3.2 Loi exponentielle
Elle intervient dans des problèmes de fiabilité, de durée de vie (composants, atomes,. . . ).
Définition 8. Soit λ > 0. On dit qu’une VA réelle suit la loi exponentielle de paramètre λsi elle admet pour
densité fdéfinie par
∀x∈R, f(x) = λe−λx1R+(x) = 0si x < 0
λe−λx si x≥0
On note X → E(λ).
Proposition 9. La fonction de répartition Fd’une VA suivant la loi exponentielle de paramètre λest :
∀x∈R, F (x) = 0si x≤0
1−e−λx si x≥0
Proposition 10. Toute VA Xsuivant une loi exponentielle de paramètre λadmet une espérance et une variance
données par :
E(X) = 1
λV(X) = 1 λ2
Proposition 11. Toute VA Xsuivant une loi exponentielle de paramètre λadmet des moments de tous ordres.
∀n∈N, mn(X) = n!
λn
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