Chapitre 9 : Variables aléatoires réelles à densité 1 Définitions et

BCPST 2
Lycée Sainte Geneviève
Chapitre 9 : Variables aléatoires réelles à densité
1
Définitions et premières propriétés
Revoir les définitions et propriétés générales des variables aléatoires et de leur fonction de répartition au début du
chapitre 5.
1.1
Densité
Définition 1. Soit X une VA réelle définie sur un espace probabilisé (Ω, T , P ) et F sa fonction de répartition. On
dit que X est une variable aléatoire réelle à densité (ou encore absolument continue) s’il existe une fonction
f : R → R qui vérifie :
1. f est positive ou nulle sur R.
2. f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de points.
Z +∞
3. L’intégrale
f (t)dt converge et vaut 1.
−∞
Z x
4. Pour tout x ∈ R, F (x) = P (X ≤ x) =
f (t)dt.
−∞
La fonction f est appelée une densité de X.
Remarque Si f est une densité de X alors toute fonction g positive qui coïncide avec f sauf en un nombre fini de
points est encore une densité de X.
Z
+∞
Théorème 1. Soit f : R → R positive ou nulle, continue sauf en un nombre fini de points et telle que
f (t)dt = 1.
−∞
Alors il existe un espace probabilisé (Ω, T , P ) et une variable aléatoire X définie sur cet espace dont f est une densité.
Remarque Pour une VA à densité X, déterminer la loi de X consiste à en donner une densité. Si deux VA ont des
densités qui ne diffèrent qu’en un nombre fini de points elles auront la même loi.
1.2
Fonction de répartition
Théorème 2. Propriétés de la fonction de répartition d’une VA à densité
Soient F la fonction de répartition d’une VA réelle à densité X et f une densité de X. On a
• F est continue sur R.
• F est de classe C 1 sauf en un nombre fini de points. Plus précisément il existe des réels a1 < a2 < . . . < an tels
que sur chacun des intervalles ] − ∞, a1 [, ]a1 , a2 [, . . . , ]an , +∞[, F est C 1 et F 0 = f .
Théorème 3. Réciproque du théorème précédent
Soit X une VA réelle de fonction de répartition F . Si F est continue sur R et C 1 sauf en un nombre fini de points alors
X est une VA à densité.
1
Remarques
1. En pratique, pour démontrer qu’une VA est à densité, on détermine sa fonction de répartition F et on montre
qu’elle est continue sur R et C 1 sauf en un nombre fini de points.
Puis pour déterminer la densité de la VA, on dérive F là où elle est C 1 et on pose f (x) = F 0 (x) en ces points.
Aux points où F n’est pas dérivable on peut prendre n’importe quelles valeurs pour f . En général on essaie de
prolonger f par continuité si c’est possible.
2. Un peu plus généralement que le théorème 3 on a : si F est une fonction continue et croissante sur R et C 1 sauf
en un nombre fini de points ayant pour limite 0 en −∞ et 1 en +∞, alors il existe un espace probabilisable et
une VA à densité X dont F est la fonction de répartition.
3. Important : La fonction de répartition détermine la loi. Autrement dit deux variables aléatoires qui ont la même
fonction de répartition suivent la même loi.
1.3
Calculs de probabilités
Proposition 1.
Remarque
Soit X une VA réelle à densité. Pour tout x ∈ R, on a P (X = x) = 0.
Cela montre que les VA à densité et les VA discrète forment deux ensembles disjoints de VA.
Proposition 2. Soit X une VA de densité f et de fonction de répartition F . On a
• Pour tout x ∈ R,
Z x
P (X ≤ x) = P (X < x) = F (x) =
f (t)dt
−∞
et
Z
+∞
P (X ≥ x) = P (X > x) = 1 − F (x) =
f (t)dt
x
• Pour tout réels a < b :
Z
P (a < X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) =
b
f (t)dt
a
Définition 2. Soient X une VA réelle à densité et I un intervalle de R. On dit que X est à valeurs dans I si
P (X ∈ I) = 1.
En fait X est à valeurs dans I si et seulement si elle possède une densité qui est nulle sur le complémentaire de I.
1.4
Composition avec une fonction

Attention Contrairement aux VA discrètes, si X est une VA à densité et ϕ une fonction quelconque, ϕ(X)
(i.e. ϕ ◦ X) n’est pas a priori une VA à densité. C’est vrai que pour certaines fonctions ϕ.
Proposition 3. Composition avec une fonction affine
Soient X une VA réelle de densité f et (a, b) ∈ R2 avec a 6= 0. Alors Y = aX + b est une VA réelle à densité admettant
pour densité
y−b
1
f
g : y 7→
|a|
a
2
Théorème 4. Composition avec une bijection C 1
Soient X une VA réelle de densité f à valeurs dans I et ϕ : I → R une fonction de classe C 1 dont la dérivée ne s’annule
pas.
Alors Y = ϕ(X) est une VA de densité g telle que g est nulle en dehors de l’intervalle J = ϕ(I) et :
∀y ∈ J, g(y) = |(ϕ−1 )0 (y)|f (ϕ−1 (y)) =
f (ϕ−1 (y))
|ϕ0 (ϕ−1 (y))|
Remarque Le fait que ϕ soit bijective C 1 est une condition suffisante mais pas nécessaire. Par exemple si X est à
densité, alors pour tout n ∈ N, X n est encore à densité (pour n pair ϕ : x 7→ xn n’est pas bijective !)
2
2.1
Moments d’une variable aléatoire à densité
Espérance
Z
Définition 3. Soit X une VA de densité f . Si l’intégrale
Z +∞
admet une espérance et on note E(X) =
tf (t)dt.
+∞
tf (t)dt est absolument convergente, on dit que X
−∞
−∞

Attention
Tout comme dans le cas des VA discrètes l’espérance d’une VA à densité peut ne pas exister.
Proposition 4. Soient X une VA réelle de densité f admettant une espérance et a ∈ R. Alors Y = aX + b admet
une espérance et E(Y ) = aE(X) + b.
Théorème 5. Linéarité de l’espérance
Soient X et Y des VA réelles à densité admettant chacune une espérance.
Pour λ ∈ R, si λX + Y est encore une VA à densité, alors elle admet une espérance et E(λX + Y ) = λE(X) + E(Y ).
Théorème 6. Positivité et croissance
• Positivité : si X est une VA à densité à valeurs dans R+ qui possède une espérance, alors E(X) ≥ 0.
• Croissance : si X et Y sont deux VA à densité admettant des espérances et telles que X ≤ Y presque sûrement,
alors E(X) ≤ E(Y ).
2.2
Transfert
Théorème 7. Soient X une VA réelle de densité f , à valeurs dans un intervalle I et ϕ : I → R une fonction continue
sauf peut-être en un nombre fini de points.
On suppose que Y = ϕ(X) est une VA à densité.
Z
Y admet une espérance si et seulement si l’intégrale
ϕ(t)f (t)dt est absolument convergente. Dans ce cas
I
Z
E(ϕ(X)) =
ϕ(t)f (t)dt
I
3
2.3
Moments d’ordres supérieurs
Définition
4. Soit X une VA de densité f et n ∈ N. On dit que X admet un moment d’ordre n si l’intégrale
Z +∞
n
t f (t)dt est absolument convergente. En cas de convergence ce réel est appelé moment d’ordre n de X et noté
−∞
mn (X).
Remarque
E(X n ).
X admet un moment d’ordre n si et seulement si X n admet une espérance. Et dans ce cas mn (X) =
Proposition 5.
Si X admet un moment d’ordre n alors pour tout k ≤ n , X admet un moment d’ordre k.
Définition 5. Soit X une VA à densité admettant une espérance. Alors (X − E(X))2 est une VA à densité. Si
(X − E(X))2 admet aussi une espérance, on appelle variance de X le réel : V (X) = E (X − E(X))2
Théorème 8. Formule de Koenig-Huyghens
Soit X une VA à densité. X admet une variance si et seulement si elle admet un moment d’ordre 2 et dans ce cas :
V (X) = E(X 2 ) − E(X)2
Théorème 9. Soit X une VA à densité admettant une variance. Alors pour tout (a, b) ∈ R2 , Y = aX + b admet une
variance et V (aX + b) = a2 V (X).
Théorème 10. Toute variance d’une VA réelle à densité est strictement positive.
Définition 6. Soit X une VA
p réelle à densité admettant un moment d’ordre 2. On appelle écart-type de X le réel
strictement positif : σ(X) = V (X).
Remarque
Les inégalités de Markov et Bienaymé-Tchebychev ont été démontrées pour tout type de variable
aléatoire et sont donc encore valables pour les variables à densité : merci de les revoir !
3
3.1
Lois usuelles
Loi uniforme
On modélise le tirage aléatoire d’un nombre réel dans un segment.
Définition 7. Soient deux réels a < b. On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle admet pour densité
1
∀x ∈ R, f (x) =
1[a,b] (x) =
b−a
On note X ,→ U([a, b])
4
(
0
si x ∈
/ [a, b]
1
b−a
si x ∈ [a, b]
Proposition 6.
La fonction de répartition F d’une VA suivant


 0x − a
∀x ∈ R, F (x) =

 b−a
1
la loi uniforme sur [a, b] est :
si x ≤ a
si a ≤ x ≤ b
si x ≥ b
Proposition 7. Toute VA X suivant une loi uniforme dans [a, b] admet une espérance et une variance données par :
E(X) =
Proposition 8.
a+b
2
V (X) =
Toute VA X suivant une loi uniforme dans [a, b] admet des moments de tous ordres.
∀n ∈ N, mn (X) =
3.2
(b − a)2
12
bn+1 − an+1
(n + 1)(b − a)
Loi exponentielle
Elle intervient dans des problèmes de fiabilité, de durée de vie (composants, atomes,. . . ).
Définition 8. Soit λ > 0. On dit qu’une VA réelle suit la loi exponentielle de paramètre λ si elle admet pour
densité f définie par
0
si x < 0
−λx
∀x ∈ R, f (x) = λe
1R+ (x) =
λe−λx si x ≥ 0
On note X ,→ E(λ).
Proposition 9.
Proposition 10.
données par :
La fonction de répartition F d’une VA suivant la loi exponentielle de paramètre λ est :
0
si x ≤ 0
∀x ∈ R, F (x) =
1 − e−λx si x ≥ 0
Toute VA X suivant une loi exponentielle de paramètre λ admet une espérance et une variance
E(X) =
Proposition 11.
1
λ
V (X) =
1
λ2
Toute VA X suivant une loi exponentielle de paramètre λ admet des moments de tous ordres.
∀n ∈ N, mn (X) =
5
n!
λn
Définition 9. On dit qu’une VA réelle X est sans mémoire si elle est positive ou nulle et si pour tout (x, y) ∈ R2+
on a
P (X > x + y) = P (X > x)P (X > y)
Théorème 11. Soit X une VA positive ou nulle qui n’est pas la variable certaine nulle.
X est à densité et suit une loi exponentielle si et seulement si X est sans mémoire.
Remarque
géométrique.
3.3
La loi exponentielle est donc l’équivalent dans le monde des variables aléatoires à densité de la loi
Loi normale
Définition 10. Soient m ∈ R et σ > 0. On dit qu’une VA réelle suit la loi normale de paramètres (m, σ 2 ) si elle
admet pour densité f définie par
(x−m)2
1
∀x ∈ R, f (x) = √ e− 2σ2
σ 2π
On note X ,→ N (m, σ 2 ). Une variable suivant une loi normale est aussi appelée une gaussienne
Définition 11. Si X ,→ N (m, σ 2 ) alors Y =
X −m
admet pour densité :
σ
x2
1
∀x ∈ R, f (x) = √ e− 2
2π
et Y suit la loi N (0, 1) appelée loi normale centrée réduite.
Proposition 12. Si X ,→ N (m, σ 2 ) et si a et b sont deux réels avec a 6= 0, alors Y = aX + b suit une loi normale
de paramètres (am + b, a2 σ 2 ).
Propriétés de la densité de N (0, 1)
1
x2
On considère f : x 7→ √ e− 2 .
2π
• f est paire.
1
≈ 0, 399
• f a un maximum en 0 qui vaut f (0) = √
2π
Proposition 13.
• f a deux points d’inflexions aux points d’abscisse −1 et 1 d’ordonnées √
1
≈ 0, 242
2πe
Remarque La densité d’une VA de loi N (m, σ 2 ) admet un maximum en m et deux points d’inflexion symétriques
par rapport à m à une distance égale à l’écart-type.
Proposition 14. Propriétés de la fonction de répartition de N (0, 1)
On considère Φ la fonction de répartition
VA de loi N (0, 1).
Z x d’une
t2
1
• Pour tout x ∈ R, Φ(x) = √
e− 2 dt. Il n’y a pas d’expression plus simple.
2π −∞
1
• Pour tout x ∈ R, Φ(−x) = 1 − Φ(x) et Φ(0) = .
2
• pour tout x ≥ 0, P (|X| ≤ x) = 2Φ(x) − 1 et P (|X| ≥ x) = 2(1 − Φ(x)).
6
Proposition 15.
Si X suit une loi N (0, 1) alors elle admet une espérance et une variance :
E(X) = 0
V (X) = 1
Si X suit une loi N (m, σ 2 ) alors elle admet une espérance et une variance :
V (X) = σ 2
E(X) = m
Proposition 16. Si X suit une loi normale alors elle admet des moments de tous ordres. Et dans le cas particulier
de la loi N (0, 1) on a, pour tout n ∈ N :
m2n+1 = 0 et m2n =
(2n)!
2n n!
Remarque Il est embêtant de ne pas avoir d’expression pour la fonction de répartition de la loi normale N (0, 1) :
Φ. Pour les calculs numériques, si on n’a pas d’outils informatique sous la main, on utilise une table des valeurs de Φ
sur [0, 3] :
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
0.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8414
0.8644
0.8850
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9640
0.9713
0.9773
0.9821
0.9860
0.9893
0.9918
0.9937
0.9954
0.9965
0.9974
0.9982
0.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8185
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9563
0.9648
0.9720
0.9778
0.9825
0.9864
0.9896
0.9920
0.9939
0.9955
0.9966
0.9974
0.9983
0.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8687
0.8888
0.9066
0.9221
0.9358
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9784
0.9830
0.9867
0.9899
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9983
0.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9485
0.9582
0.9663
0.9732
0.9789
0.9834
0.9871
0.9901
0.9924
0.9942
0.9958
0.9968
0.9977
0.9984
0.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7703
0.7995
0.8263
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9250
0.9382
0.9496
0.9590
0.9671
0.9738
0.9794
0.9838
0.9875
0.9904
0.9926
0.9945
0.9959
0.9969
0.9978
0.9984
0.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8532
0.8750
0.8943
0.9115
0.9264
0.9395
0.9506
0.9599
0.9678
0.9744
0.9799
0.9842
0.9878
0.9907
0.9928
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
7
0.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8314
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9278
0.9406
0.9516
0.9608
0.9685
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9930
0.9948
0.9962
0.9971
0.9979
0.9984
0.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7793
0.8078
0.8339
0.8577
0.8790
0.8979
0.9146
0.9291
0.9418
0.9526
0.9616
0.9692
0.9756
0.9808
0.9849
0.9884
0.9912
0.9932
0.9949
0.9963
0.9971
0.9980
0.9985
0.08
0.5319
0.5714
0.6103
0.6480
0.6844
0.7190
0.7517
0.7823
0.8105
0.8364
0.8599
0.8811
0.8997
0.9162
0.9306
0.9430
0.9536
0.9624
0.9700
0.9762
0.9812
0.9853
0.9887
0.9914
0.9934
0.9951
0.9963
0.9972
0.9981
0.9985
0.09
0.5359
0.5753
0.6141
0.6517
0.6879
0.7224
0.7549
0.7852
0.8132
0.8389
0.8622
0.8830
0.9015
0.9177
0.9319
0.9441
0.9545
0.9632
0.9706
0.9768
0.9817
0.9857
0.9890
0.9916
0.9936
0.9952
0.9964
0.9973
0.9981
0.9986
4
Somme, minimum, maximum
Définition 12. Soient deux variables aléatoires à densité, X et Y . On dit qu’elles sont indépendantes si, pour tous
intervalles réels I et J on a P (X ∈ I, Y ∈ J) = P (X ∈ I)P (Y ∈ J).
Pour n variables à densité X1 , . . . , Xn , on dit qu’elles sont mutuellement indépendantes si, pour tous intervalles
I1 , . . . , In , P (X1 ∈ I1 , . . . , Xn ∈ In ) = P (X1 ∈ I1 ) . . . P (Xn ∈ In )
4.1
Somme
Définition 13. Soient f et g deux densités de probabilité sur R. On appelle produit de convolution de f et g, la
fonction, notée f ∗ g, définie, en cas de convergence des intégrales, de R dans R par :
Z +∞
Z +∞
∀x ∈ R, (f ∗ g)(x) =
f (t)g(x − t)dt =
f (x − t)g(t)dt
−∞
−∞
Proposition 17. Si f et g sont des densités de probabilité sur R telles que f ∗ g est bien définie et continue sauf
peut-être en un nombre fini de points. Alors f ∗ g est encore une densité de probabilité sur R.
Théorème 12. Densité d’une somme de VA indépendantes
Soient X et Y deux variables aléatoires de densité fX , fY indépendantes. Si f ∗ g est bien définie et continue sauf
peut-être en un nombre fini de points, alors X + Y est une variable à densité, de densité fX ∗ fY .
Théorème 13. Stabilité de la loi normale
• Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes telles que X1 ,→ N (m1 , σ12 ) et X2 ,→ N (m2 , σ22 ). Alors
X1 + X2 ,→ N (m1 + m2 , σ12 + σ22 ).
• Cas général : si (X1 , . . . , Xn ) sont n variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que :
∀k ∈ J1, nK, Xk ,→ N (mk , σk2 )
!
n
n
n
X
X
X
2
Alors si on note Sn =
Xk , on a Sn ,→ N
mk ,
σk .
k=1
Exemple
k=1
k=1
Stabilité de la loi Gamma et de la loi exponentielle

 0
β α α−1 −βx
x
e

Γ(α)
qui définie la loi Gamma de paramètre α et β qu’on note : G(α, β).
On peut montrer que
On verra en TD que, pour tout (α, β) ∈ (R∗+ )2 , γα,β (x) =
si x ≤ 0
si x > 0
est une densité de probabilité
1. Si X1 et X2 sont deux variables aléatoires de lois G(α1 , β) et G(α2 , β) indépendantes,
alors X1 + X2 ,→ G(α1 + α2 , β).
2. Une loi G(1, β) est en fait une loi exponentielle E(β).
3. On en déduit que, si X1 , . . . , Xn sont deux variables aléatoires mutuellement indépendantes de même loi exponentielle E(β), alors X1 + . . . + Xn ,→ G(n, β).
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4.2
Min, Max
Proposition 18.
Soient X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé. On a
∀x ∈ R, (min(X, Y ) ≥ x) = (X ≥ x) ∩ (Y ≥ x) et (max(X, Y ) ≤ x) = (X ≤ x) ∩ (Y ≤ x)
Si, de plus X et Y sont indépendantes, on trouve :
P (min(X, Y ) ≥ x) = P (X ≥ x)P (Y ≥ x) et P (max(X, Y ) ≤ x) = P (X ≤ x)P (Y ≤ x)
On en déduit facilement les fonctions de répartition puis en dérivant (si c’est possible) les densités de min(X, Y ) et
max(X, Y ).
Exemple Si X et Y sont deux variables indépendantes de lois exponentielles de paramètres λ et µ,
alors min(X, Y ) ,→ E(λ + µ).
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Covariance, corrélation
Vous reverrez les résultats du paragraphe correspondant dans le chapitre 7 : tous les résultats demeurent.
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