DS TS2 - Case des Maths

DEVOIR SURVEILLÉ N◦VII :
TS Mars 2015
Nombres complexes, loi exponentielle, ...
Exercice 1
La durée de vie d’un robot, exprimée en années, jusqu’à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui
suit une loi exponentielle de paramètre λ, avec λ>0.
Ainsi, la probabilité qu’un robot tombe en panne avant l’instant test égale à
p(X 6t) = Zt
0
λe−λxdx.
1. Déterminer λ, arrondi à 10−1près, pour que la probabilité p(X >6) soit égale à 0,3.
Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,2.
2. A quel instant t, à un mois prés, la probabilité qu’un robot tombe en panne pour la première fois est-elle de 0,5?
3. Montrer que la probabilité qu’un robot n’ait pas eu de panne au cours des deux premières années est e−0,4.
4. Sachant qu’un robot n’a pas eu de panne au cours des deux premières années, quelle est, à 10−2près, la probabilité qu’il
soit encore en état de marche au bout de six ans ?
5. On considère un lot de 10 robots fonctionnant de manière indépendante.
Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un robot qui n’ait pas eu de panne au cours des deux
premières années.
Exercice 2
Soient les nombres complexes : z1=−2iet z2=−1 + i√3.
1. Calculer z1×z2et z1
z2.
2. Ecrire z1,z2et z2sous forme trigonométrique.
3. Déterminer le nombre complexe z3tel que ABCD soit un parallélogramme avec Ad’affixe z1,Bd’affixe z2,Cd’affixe z3
et Dd’affixe z4=z2
Exercice 3
On se propose de résoudre dans Cl’équation suivante :
(E) : z3+ (−2 + i)z2+ 2 (1 −i)z+ 2i= 0
4. Résoudre dans Cl’équation suivante :z2−2z+ 2 = 0.
5. Démontrer que (E) a une seule racine imaginaire pure que vous déterminerez.
6. Déterminer les réels aet btels que
z3+ (−2 + i)z2+ 2(1 −i)z+ 2i= (z+i)(z2+a z +b).
.
7. Résoudre dans l’équation : z3+ (−2 + i)z2+ 2(1 −i)z+ 2i= 0
Exercice 4
On considère les nombres complexes : z1= 2eiπ
6;z2= 2e−iπ 4et Z = z1
z2.
1. Donner la forme exponentielle de Z.
2. Donner les formes algébriques de z1et z2. En déduire la forme algébrique de Z
3. En déduire les valeurs exactes de cos5π
12 et sin5π 12 .
Exercice 5
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct (unité graphique 2 cm), on considère les points A, B et C
d’affixes respectives
zA= 2 ,zB= 1 + i√3et zC= 1 −i√3.

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1. a) Donner la forme trigonométrique de zBpuis de zC.
b) Placer les points A, B et C sur un graphique.
2. Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.
3. Déterminer et construire l’ensemble Ddes points M(z)du plan tels que
|z|=|z−2|.
Exercice 6
Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte. Vous devez cocher la réponse exacte
sans justification. Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L’absence de réponse
ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.
Questions Réponses
On considère dans Cle nombre complexe :z= (1 + i)2.
1. zest imaginaire pur Vrai
Faux
Je ne sais pas.
2. zest réel strictement positif. Vrai
Faux
Je ne sais pas.
3. |z|= 1 .Vrai
Faux
Je ne sais pas.
4. Il existe un nombre complexe atel quea2=z.Vrai
Faux
Je ne sais pas.
5. Il existe n∈N∗tel que znsoit un nombre réel strictement
inférieur à −109.
Vrai
Faux
Je ne sais pas.
Exercice 7
Résoudre dans Cl’équation (1 + 2i)z−(4 + 3i)z= 1.
Lycée l’Oiselet 2/