Trigonometrie

Trigonom´etrie
I. Longueur d’un arc d’un cercle
1) Unit´e de longueur
Quand on veut faire un graphique repr´esentant des longueurs ou des angles,
on doit choisir une unit´e de longueur. Par exemple, on peut d´ecider que 4 cm
repr´esentent une unit´e de longueur.
2) Longueur d’un arc d’un cercle de rayon 1
La circonf´erence d’un cercle de rayon Rest . . . . . .
Celle d’un cercle de rayon 1 est donc : . . . . . .
Exemple 1 :
On se place sur un cercle de rayon 1. D´eterminez la longueur de l’arc en gras
(fig.1) ainsi que l’angle au centre (fig.2).
La longueur d’un arc d’un cercle de rayon 1 est proportionnelle `a l’angle
au centre correspondant.
. . .
60°
1
fig.1
2
...
1
fig.2
3) Mesure en radians d’un angle
La mesure en radians d’un angle est ´egale `a la longueur de l’arc de cercle de
rayon 1 correspondant : AOB (en radians) = ⌢ AB .
Ainsi, un angle de 60° a pour mesure . . . . . . radians.
Conversion des angles les plus utilis´es :
α(en degr´es) 0 30 45 60 90 180 360
α(en radians)
On retiendra que les mesures en radians et en degr´e soient proportionnelles et
que πrad repr´esentent 180° et 2πrad repr´esentent 1 tour complet .
II. Enroulement de la droite num´erique sur le cercle
trigonom´etrique
1) Cercle trigonom´etrique
Le sens trigonom´ etrique (ou sens positif) est le sens
contraire des aiguilles d’une montre.
Un cercle trigonom´ etrique est un cercle de rayon 1
(c’est-`a-dire l’unit´e de mesure choisie), orient´e dans le
sens trigonom´etrique.
1+
2) Enroulement de la droite num´erique. . .
Soit Iun point du cercle trigonom´etrique ; on trace un
axe gradu´e tangent au cercle en I.
Cet axe repr´esente l’ensemble des r´eels IR.
`
A tout r´eel α(sur la figure ci-contre α= 2,2) correspond
un point Nd’abscisse αsur cet axe.
En enroulant l’axe sur le cercle, on associe au point N
un point Mdu cercle.
On peut associer `a tout r´eel αun point unique Msur le
cercle trigonom´etrique, appel´e point image de α.
M
αrad
I
Nα
α1
2
−1
0
IR
Remarque : : IOM (en radians) = ⌢ IM =α.
Exemple 2 :
Placez sur le cercle trigonom´etrique les points images
M1,M2, etc. des r´eels suivants :
α1= 0 ; α2= 2π;α3=π;α4=π
2;α5=−π 2;
α6= 7π;α7=−3π
4;α8=45π 3.O I
J
I′
J′
+
Remarque : : `a chaque r´eel correspond un seul point mais `a un point donn´e
correspond une infinit´e de r´eels. Deux r´eels αet α′correspondent au mˆeme
point si α−α′=k.2πavec kentier relatif (k∈ZZ).
Exemple 3 : Montrez que −2π
3et 16π 3sont associ´es au mˆeme point.

III. Cosinus et sinus d’un r´eel
1) D´efinitions
Soit Mle point image d’un r´eel α. On d´efinit
respectivement le cosinus et le sinus de α
comme l’abscisse et l’ordonn´ee de Mdans le
rep`ere orthonorm´e O;−→
OI , −→ OJ :
cos α=xMsin α=yM
Remarques :
➫cos αet sin αsont compris entre −1 et 1.
M
α
O I
J
I′
J′
cos α
sin α
➫Si l’angle est en degr´es, on le pr´ecisera : cos π
4= cos 45° (mais π 46= 45 !).
2) Lien avec les d´efinitions du coll`ege
Consid´erons un triangle rectangle. On d´emontre facilement que les deux angles
non droits sont aigus (entre 0 et 90°).
Sur la figure ci-contre, on a plac´e un point M
tel que 0 <IOM < 90° et H,Kles projet´es
orthogonaux de Msur les axes.
Alors, dans le triangle rectangle OHM :
cˆot´e adjacent `a α
hypot´enuse =OH OM =xM 1=xM= cos α
et
cˆot´e oppos´e `a α
hypot´enuse =HM OM =OK OM =yM 1=yM=
sin α
M
α
O I
J
cos α
sin α
H
K
1
On retrouve donc les d´efinitions du coll`ege. Pourquoi introduire de nouvelles
d´efinitions alors ? Pour pouvoir parler du cosinus et du sinus d’angles quel-
conques (pas forc´ement aigus).
Exemple 4 : En utilisant la figure du 1°), compl´etez :
α0π
2−π−5π
22015π2015π 2
Point image de α ... ... ... ... ... ...
cos α ... ... ... ... ... ...
sin α ... ... ... ... ... ...
3) Valeurs remarquables :
Propri´ et´ e 1
Pour tout αon a cos2α+ sin2α= 1 o`u cos2α= (cos α)2et sin2α= (sin α)2.
Preuve : dans le triangle rectangle OHM , d’apr`es le th´eor`eme de Pythagore :
OH2+HM2=OM2= 12= 1.
Or OH2=x2
M= (cos α)2et HM2=y2
M= (sin α)2.
Applications
Supposons que α=π
3(angle au centre de 60°). Alors on montre ais´ement que
OHM est ´equilat´eral donc la hauteur issue de Mest aussi une m´ediane donc
OH =...... d’o`u cos ...···=.......
On en d´eduit que sin2α=............... donc sin α=...............
Par des raisonnements analogues, on obtient le tableau de valeurs suivant :
α0π
6
π
4
π
3
π
2π
cos α1√3
2
√2
2
1
20−1
sin α01
2
√2
2
√3
21 0
4) Exemples d’utilisation de sym´etries
Exemple 5 : consid´erons le point Massoci´e `a π
6(angle au centre de 30°)
et N,P,Qles sym´etriques de Mpar rapport `a l’axe des abscisses, `a Oet `a
l’axe des ordonn´ees. Compl´etez la figure :
M(......)
N(......)P(......)
Q(......)
π/6
O I
J
............
......
......

puis le tableau :
Point N P Q
Un r´eel associ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•cos −π
6=...cos π 6et sin −π 6=...sin π 6.
•cos 7π
6= cos π+π 6=...cos π 6et sin 7π 6=...sin π 6.
5) Valeurs approch´ees du cosinus et du sinus
Exemple 6 : en utilisant la calculatrice en mode radians, donnez des valeurs
approch´ees de : cos 1 ≃...... ; sin 1,46 ≃...... ; cos π
12 ≃.......
6) Exemples d’´equations trigonom´etriques
Soit kun entier. Le nombre k.2πindique un certain nombre kde tours.
Exemple 7 : r´esoudre dans IR l’´equation sin x=1
2.
M´ethode :
•on place le ou les point(s) correspondant(s) ;
•1
2est le sinus de : ...... ;
•l’observation du graphique nous donne alors
comme solution(s) : .................. ;
•on peut ajouter un nombre quelconque de tours :
les solutions s’´ecrivent donc
.................................................
−1
−1
1
1
0
x
y
Exemples 8 :donnez les solutions r´eelles de l’´equation cos x=√2
2:
..........................................................................
puis celles 2 cos x+ 1 = 0 :
..........................................................................
et enfin celles de 2 sin x+ 3 = 0 :
..........................................................................
puis le tableau :
Point N P Q
Un r´eel associ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
•cos −π
6=...cos π 6et sin −π 6=...sin π 6.
•cos 7π
6= cos π+π 6=...cos π 6et sin 7π 6=...sin π 6.
5) Valeurs approch´ees du cosinus et du sinus
Exemple 6 : en utilisant la calculatrice en mode radians, donnez des valeurs
approch´ees de : cos 1 ≃...... ; sin 1,46 ≃...... ; cos π
12 ≃.......
6) Exemples d’´equations trigonom´etriques
Soit kun entier. Le nombre k.2πindique un certain nombre kde tours.
Exemple 7 : r´esoudre dans IR l’´equation sin x=1
2.
M´ethode :
•on place le ou les point(s) correspondant(s) ;
•1
2est le sinus de : ...... ;
•l’observation du graphique nous donne alors
comme solution(s) : .................. ;
•on peut ajouter un nombre quelconque de tours :
les solutions s’´ecrivent donc
.................................................
−1
−1
1
1
0
x
y
Exemples 8 :donnez les solutions r´eelles de l’´equation cos x=√2
2:
..........................................................................
puis celles 2 cos x+ 1 = 0 :
..........................................................................
et enfin celles de 2 sin x+ 3 = 0 :
..........................................................................