A−B - Gymnase Auguste Piccard

sin α=a
c=cos β
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)
lim
x→∞
anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
bmxm+bm−1xm−1+.. . +b1x+
A3−B3=(A−B)(A2+AB +B2)
alogau=u
x1,2=−b±√b2−4ac
2a
[a,b[={x∈R|a≤x<b}
Formulaire de mathématiques
Ecole de Culture générale
Ecole de Maturité
Gymnase de Morges
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Ensembles
Ensembles de nombres
={0; 1; 2; ...}entiers naturels
={...;−2; −1; 0; 1; 2; ...}entiers relatifs
=x∈x=m
navec m∈, n ∈, n 6= 0nombres rationnels
=...;−2
3;...;√2; ...;π;...; 8; ...nombres réels
∗={n∈|n6= 0}, de même ∗,∗,∗
+={x∈ | x≥0}, de même +,+
−={x∈ | x≤0}, de même −,−
Intervalles dans l’ensemble des nombres réels pour a < b
]a;b[ = {x∈|a < x < b}[a;b] = {x∈ | a≤x≤b}
]a;b] = {x∈|a < x ≤b}[a;b[ = {x∈ | a≤x < b}
]a; +∞[ = {x∈|a < x}[a; +∞[ = {x∈ | a≤x}
]−∞;a[ = {x∈|x < a}]−∞;a] = {x∈ | x≤a}
Opérations
Intersection Réunion
A∩B={x|x∈Aet x∈B}A∪B={x|x∈Aou x∈B}
AB
AB
Différence Complémentaire
A B ={x|x∈Aet x /∈B}∁EA=A={x|x∈Eet x /∈A}
AB
E
A
3

Combinatoire
⋄Nombre d’arrangements simples
An
k=n·(n−1) ·...·(n−k+ 1) = n!
(n−k)!
(Nombre de mots de klettres distinctes prises dans un alphabet de nlettres, n∈∗et k≤n)
⋄Nombre d’arrangements avec répétition
An
k=n·n·...·n=nk
(Nombre de mots de klettres non nécessairement distinctes prises dans un alphabet de nlettres)
⋄Nombre de permutations simples de néléments
Pn=n·(n−1) ·...·2·1 = n!
(Nombre d’anagrammes d’un mot de nlettres distinctes)
⋄Nombre de permutations de néléments avec répétitions
Pn(n1, n2,...,nk) = n!
n1!·n2!·...·nk!
(Nombre d’anagrammes d’un mot de nlettres dont n1, n2,...,nkse répètent)
⋄Nombre de combinaisons simples
Cn
k=n
k=n·(n−1) ·...·(n−k+ 1)
k!=n! (n−k)! k!
(Nombre de sous-ensembles à kéléments d’un ensemble à néléments, n∈∗et k≤n)
⋄Binôme de Newton
Soit n∈∗
(a+b)n=n
0an+n
1an−1b+n
2an−2b2+...+n
kan−kbk+...+n
nbn
⋄Triangle de Pascal
0 1
1 1 1
2121
31331
414641
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
71 7 21 35 35 21 7 1
81 8 28 56 70 56 28 8 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
nk012345678...
4

Probabilités
⋄Fonction de probabilité
Soient Aet Bdes événements contenus dans un univers Uet Pune fonction de probabilité.
0≤P(A)≤1P(U) = 1 P(∅) = 0
P(A) = 1 −P(A)A⊂B⇒P(A)≤P(B)
P(AB) = P(A)−P(A∩B)
P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
⋄Equiprobabilité
Si les événements élémentaires sont équiprobables et si Aet Ucomportent
respectivement pet méléments, alors :
P(A) = p
m=nombre de cas favorables nombre de cas possibles
⋄Probabilité conditionnelle
P(A|B) = P(A∩B)
P(B)P(B)6= 0
⋄Evénements indépendants
Aet Bindépendants ⇔P(A∩B) = P(A)·P(B)
⇔P(A|B) = P(A)
⋄Evénements incompatibles
Deux événements Aet Bsont dits incompatibles si A∩B=∅.
A∩B=∅ ⇒ P(A∪B) = P(A) + P(B)
⋄Processus binomial (épreuve de Bernoulli)
A
A
p
1 – p
Probabilité d’obtenir exactement kfois Aen
népreuves indépendantes :
Cn
k·pk·(1 −p)n−k=n!
k!(n−k)! ·pk·(1 −p)n−k
5