DS TSTI : fonctions (rappels)

T ale ST I
Rappels sur les fonctions
Vendredi 18 septembre 2008
Devoir Surveillé n˚1
EXERCICE no 1
Le graphique ci-contre représente une fonction f .
1. Sur quel intervalle f est-elle définie ?
2. Quelles sont les images de −2 et de 0 par f ?
3. Lire f (3).
4. Résoudre graphiquement f (x) = 4.
5. Quels sont les antécédents de
3
2
par f ?
6. Dresser le tableau de signes de f (x).
7. Dresser le tableau de variations de f .
1
O
1
b
8. Résoudre l’équation : f (x) 6 −1.
9. Résoudre l’inéquation : f (x) > 0.
EXERCICE no 2
Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π ] les équations suivantes :
√
2
(représenter graphiquement les solutions).
1. cos x =
2
1
2. sin x = − (représenter graphiquement les solutions).
2 π
π
3. cos 3x −
= cos x +
6
2
EXERCICE no 3
Soit P (x) le polynôme défini sur R par : P (x) = 2x3 + 3x2 − 8x + 3.
1. (a) Vérifier que 1 est une racine du polynôme P (x).
(b) Pourquoi peut-on en déduire que P (x) = (x − 1)(ax2 + bx + c) ?
(c) Déterminer les réels a, b et c
(d) Résoudre dans R l’équation P (x) = 0.
2. En utilisant les résultats de la question 1.(d) :
(a) Résoudre dans [ 0 ; 2π ] l’équation 2(sin x)3 + 3(sin x)2 − 8 sin x + 3 = 0.
(b) Résoudre dans R l’équation : 2x6 + 3x4 − 8x2 + 3 = 0.
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Vendredi 18 septembre 2008
Rappels sur les fonctions
Correction de l’interrogation n˚1
EXERCICE no 1
1. Df = ] − ∞ ; 5, 5 ].
2. f (−2) = 1, 5 et f (0) = 5.
3. f (3) = 0.
4. S = {−1; 1}.
5. Les antécédents de
3
par f sont −2 et 2.
2
−∞
x
6. tableau de signes :
f (x)
−4
−
0
−∞
x
3
+
0
0
5, 5
−
4, 5
5, 5
5
7. tableau de variations :
f (x)
ր
−0, 5
ց
−∞
ր
−2
8. S = ] − ∞ ; 5, 5 ] ∪ [ 3, 5 ; 5 ]
9. S =] − 4; 3 [
EXERCICE no 2
1. S =
π 7π
;
4 4
2. S =
7π 11π
;
6
6
π
cos 3x −
6
π
π
3.
⇐⇒ 3x −
= x+
+ k × 2π
6
2
π π
⇐⇒ 2x = + + k × 2π
2
6
2π
⇐⇒ 2x =
+ k × 2π
3
π
⇐⇒ x = + k × π
3
dans l’intervalle [ 0; 2π ], on trouve les solutions suivantes :
π
= cos x +
2
π
4π
+π =
3
3
π
π
17π
,
x=− +3× =
12
2
12
π 5π 11π 4π 17π 23π
S=
; ;
; ;
;
3 12 12 3 12 12
x=
π
3
,
x=
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,
et
π
π
5π
+1× =
12
2
12
π
π
23π
x=− +4× =
12
2
12
x=−
ou
ou
ou
ou
,
π
π
3x −
=− x+
+ k × 2π
6
2
π π
4x = − + + k × 2π
2
6
π
4x = − + k × 2π
3
π
π
x=− +k×
12
2
x=−
π
π
11π
+2× =
12
2
12
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Rappels sur les fonctions
Vendredi 18 septembre 2008
EXERCICE no 3
1.
(a) P (1) = 0 .
(b) 1 est racine, on peut donc factoriser P par (x − 1).
On obtient P (x) = (x − 1)R(x) avec deg(R) = 3 − 1 = 2 d’où R(x) = ax2 + bx + c.
(c) P (x) = (x − 1)(ax2 + bx + c)
= ax3 + bx2 + cx − ax2 − bx − c
= ax3 + (b − a)x2 + (c − b)x − c
Par identification des coefficients, on obtient :




a=2





a=2




 b−a=3

=⇒


c − b = −8





 −c = 3
(d) P (x) = 0
⇐⇒
b=5




 c = −3
(x − 1)(2x2 + 5x − 3) = 0.
Un produit de facteurs est nul ssi l’un des facteurs est nul, soit :
• x−1=0
donc
x = 1,
• 2x2 + 5x − 3 = 0 :
∆ = b2 − 4ac = 52 − 4 × 2 × −3 = 49.
Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
√
−b − ∆
−5 − 7
x1 =
=
= −3
2a
2×2
1
Conclusion : S = −3; ; 1 .
2
2.
√
−b + ∆
−5 + 7
1
x2 =
=
=
2a
2×2
2
(a) Si on pose X = sin x dans 2(sin x)3 + 3(sin x)2 − 8 sin x + 3 = 0, on obtient 2x3 + 3x2 − 8x + 3 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont
• X = −3 soit sin x = −3 : impossible,
1
1
π
5π
• X=
soit sin x =
donc x = ou x =
,
2
2
6
6
π
• X = 1 soit sin x = 1 donc x = .
2
π π 5π
Conclusion : S =
; ;
.
6 2 6
(b) Si on pose X = x2 dans 2x6 + x4 − 13x2 + 6 = 0, on obtient 2X 3 + X 2 − 13X + 6 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont
• X = −3 soit x2 = −3 : impossible,
√
√
1
2
2
1
2
• X=
soit x =
donc x =
ou x = −
,
2
2
2
2
• X = 1 soit x2 = 1 donc x = 1 ou x = −1,
(
)
√ √
2 2
Conclusion : S = −1; −
;
;1 .
2 2
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