DS TSTI : fonctions (rappels)

TaleST I Rappels sur les fonctions Vendredi 18 septembre 2008
Devoir Surveillé n˚1
EXERCICE no1
Le graphique ci-contre représente une fonction f.
1. Sur quel intervalle fest-elle définie ?
2. Quelles sont les images de −2 et de 0 par f?
3. Lire f(3).
4. Résoudre graphiquement f(x) = 4.
5. Quels sont les antécédents de 3
2par f?
6. Dresser le tableau de signes de f(x).
7. Dresser le tableau de variations de f.
8. Résoudre l’équation : f(x)6−1.
9. Résoudre l’inéquation : f(x)>0.
O1
1
EXERCICE no2
Résoudre dans l’intervalle [ 0 ; 2π] les équations suivantes :
1. cos x=√2
2(représenter graphiquement les solutions).
2. sin x=−1
2(représenter graphiquement les solutions).
3. cos 3x−π
6= cos x+π 2
EXERCICE no3
Soit P(x) le polynôme défini sur Rpar : P(x) = 2x3+ 3x2−8x+ 3.
1. (a) Vérifier que 1 est une racine du polynôme P(x).
(b) Pourquoi peut-on en déduire que P(x) = (x−1)(ax2+bx +c) ?
(c) Déterminer les réels a,bet c
(d) Résoudre dans Rl’équation P(x) = 0.
2. En utilisant les résultats de la question 1.(d) :
(a) Résoudre dans [ 0 ; 2π] l’équation 2(sin x)3+ 3(sin x)2−8 sin x+ 3 = 0.
(b) Résoudre dans Rl’équation : 2x6+ 3x4−8x2+ 3 = 0.
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TaleST I Rappels sur les fonctions Vendredi 18 septembre 2008
Correction de l’interrogation n˚1
EXERCICE no1
1. Df= ] − ∞ ; 5,5 ].
2. f(−2) = 1,5 et f(0) = 5.
3. f(3) = 0.
4. S={−1; 1}.
5. Les antécédents de 3
2par fsont −2 et 2.
6. tableau de signes : x−∞ −4 3 5,5
f(x)−0 + 0 −
7. tableau de variations :
x−∞ 0 4,5 5,5
5−0,5
f(x)ր ց ր
−∞ −2
8. S= ] − ∞ ; 5,5 ] ∪[ 3,5 ; 5 ]
9. S=] −4; 3 [
EXERCICE no2
1. S=π
4;7π 4
2. S=7π
6;11π 6
3. cos 3x−π
6= cos x+π 2⇐⇒ 3x−π 6=x+π 2+k×2πou 3x−π 6=−x+π 2+k×2π
⇐⇒ 2x=π
2+π 6+k×2πou 4x=−π 2+π 6+k×2π
⇐⇒ 2x=2π
3+k×2πou 4x=−π 3+k×2π
⇐⇒ x=π
3+k×πou x=−π 12 +k×π 2
dans l’intervalle [ 0; 2π], on trouve les solutions suivantes :
x=π
3,x=π 3+π=4π 3,x=−π 12 +1×π 2=5π 12 ,x=−π 12 +2×π 2=11π 12
,x=−π
12 + 3 ×π 2=17π 12 et x=−π 12 + 4 ×π 2=23π 12
S=π
3;5π 12 ;11π 12 ;4π 3;17π 12 ;23π 12 
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TaleST I Rappels sur les fonctions Vendredi 18 septembre 2008
EXERCICE no3
1. (a) P(1) = 0 .
(b) 1 est racine, on peut donc factoriser Ppar (x−1).
On obtient P(x) = (x−1)R(x) avec deg(R) = 3 −1 = 2 d’où R(x) = ax2+bx +c.
(c) P(x) = (x−1)(ax2+bx +c)
=ax3+bx2+cx −ax2−bx −c
=ax3+ (b−a)x2+ (c−b)x−c
Par identification des coefficients, on obtient :
a= 2
b−a= 3
c−b=−8
−c= 3
=⇒
a= 2
b= 5
c=−3
(d) P(x) = 0 ⇐⇒ (x−1)(2x2+ 5x−3) = 0.
Un produit de facteurs est nul ssi l’un des facteurs est nul, soit :
•x−1 = 0 donc x= 1,
•2x2+ 5x−3 = 0 : ∆ = b2−4ac = 52−4×2× −3 = 49.
Le discriminant est positif, il y a deux solutions réelles :
x1=−b−√∆
2a=−5−7 2×2=−3x2=−b+√∆ 2a=−5 + 7 2×2=1 2
Conclusion : S=−3; 1
2; 1.
2. (a) Si on pose X= sin xdans 2(sin x)3+3(sin x)2−8 sin x+3 = 0, on obtient 2x3+3x2−8x+3 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont
•X=−3 soit sin x=−3 : impossible,
•X=1
2soit sin x=1 2donc x=π 6ou x=5π 6,
•X= 1 soit sin x= 1 donc x=π
2.
Conclusion : S=π
6;π 2;5π 6.
(b) Si on pose X=x2dans 2x6+x4−13x2+ 6 = 0, on obtient 2X3+X2−13X+ 6 = 0.
Or, les solutions de cette dernière équation sont
•X=−3 soit x2=−3 : impossible,
•X=1
2soit x2=1 2donc x=√2 2ou x=−√2 2,
•X= 1 soit x2= 1 donc x= 1 ou x=−1,
Conclusion : S=(−1; −√2
2;√2 2; 1).
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