Correction du Devoir Surveillé : no V

—- Le mercredi 29 mars 2016
Correction du Devoir Surveillé : no V
Exercice 1
On considère l’équation (E) : 9x − 5y = 7, où x et y sont des entiers relatifs.
1 Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u; v) tels que 9u − 5v = 1.
Trouver un tel couple.
Les nombres 9 et 5 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers u et
v tels que 9u + 5v = 1 et donc le couple (u; −v) est solution de l’équation 9u − 5v = 1.
a
9
5
4
b
5
4
1
r
4 9 = 5 + 4 L1
1 5 = 4 + 1 L2
0
En posant a = 9 et b = 5, on obtient :
L1
L2
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
a = b+4
4 = a−b
b = a−b+1
−a + 2b = 1
On a ainsi 9 × (−1) − 5 × (−2) = 1
Le couple (−1; −2) est donc un couple solution de l’équation 9u − 5v = 1.
2 En déduire une solution particulière de l’équation (E).
En multipliant l’égalité 9 × (−1) − 5 × (−2) = 1 par 7, on obtient :
9 × (−7) − 5 × (−14) = 7.
Le couple (−7; −14) est donc un couple solution de l’équation (E).
3 Résoudre l’équation (E).
♥ Condition nécessaire : supposons que que (x; y) soit un couple solution de (E) :
alors 9x − 5y = 7
Or 9 × (−7) − 5 × (−14) = 7
Ainsi on a : 9x − 5y = 9 × (−7) − 5 × (−14)
donc 9(x + 7) = 5(y + 14) (3)
On en déduit que 9 | 5(y + 14)
Or les nombres 5 et 9 étant premiers entre eux, le théorème de Gauss donne 9 | (y + 14)
Ainsi on peut affirmer qu’il existe un entier k tel que : y + 14 = 9k d’où y = 9k − 14
En reportant y + 14 = 9k dans (3) on obtient : 9(x + 7) = 5 × 9k
soit x + 7 = 5k ou encore x = 5k − 7
Donc les couples candidats à être solutions de (E) , sont : (5k − 7; 9k − 14) où k désigne un entier
relatif quelconque.
♥ Réciproque :
Pour x = 5k − 7 et y = 9k − 14, on calcule :
9x − 5y = 9(5k − 7) − 5(9k − 14)
= 45k − 63 − 45k + 70
=7
1
Donc tous ces couples sont bien solutions de (E).
S = {(5k − 7; 9k − 14) où k ∈ Z}
→
− →
−
4 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé O; ı ,  , on considère la droite D d’équation cartésienne 9x − 5y = 7.
On note C l’ensemble des points M(x; y) du plan tels que 0 ≤ x ≤ 50 et 0 ≤ y ≤ 50. Déterminer le
nombre de points de la droite D appartenant à l’ensemble C et dont les coordonnées sont des nombres
entiers.
0 ≤ x ≤ 50
⇐⇒ 0 ≤ 5k − 7 ≤ 50
⇐⇒ 7 ≤ 5k ≤ 57
7
⇐⇒ 57
≤ k ≤ 57
7
⇐⇒ 1 ≤ k ≤ 11
(
0 ≤ x ≤ 50
0 ≤ y ≤ 50
0 ≤ y ≤ 50
⇐⇒ 0 ≤ 9k − 14 ≤ 50
⇐⇒ 14 ≤ 9k ≤ 64
64
⇐⇒ 14
9 ≤k≤ 9
⇐⇒ 2 ≤ k ≤ 7
⇐⇒ 2 ≤ k ≤ 7
On a donc 6 choix de k tels que 0 ≤ x ≤ 50 et 0 ≤ y ≤ 50 donc C contient 6 points.
Exercice 2
Pour chacune des sept propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1 Soient a et b deux entiers naturels.
Proposition : S’il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 2, alors le PGCD de a et b est égal
à 2.
Pour a = 1 et b = 1, on a : 1.a + 1.b = 2 avec pgcd(a, b) = 1 , 2. La proposition est fausse.
2 Proposition : 5750 − 1 est un multiple de 7.
125
52 ≡ 4(7) , 54 ≡ −1(7) donc 56 ≡ 1(7) donc 56
≡ 1(7) donc 5750 − 1 = 7k(k ∈ Z) : 7|5750 − 1. La
proposition est vraie.
3 a et b sont deux entiers relatifs quelconques, n et p sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Proposition : a ≡ b(p) si et seulement si na ≡ nb(p).
• Condition nécessaire : supposons que a ≡ b(p). Comme n ≡ n(p), on a na ≡ nb(p) ( Cours )
• Condition suffisante : Supposons que na ≡ nb(p). Alors na − nb = pk(k ∈ Z)
donc n(a − b) = pk donc p|n(a − b). Or pgcd(p, n) = 1, donc d’après le théorème de Gauss : p|(a − b),
donc a − b = ph, (h ∈ Z) donc a ≡ b(p)
• Conclusion : a ≡ b(p) ⇐⇒ na ≡ nb(p). La proposition est vraie.
4 x est un entier relatif.
Proposition : x2 + x + 3 ≡ 0(5) si et seulement si x ≡ 1(5).
J’effectue la division euclidienne de x par 5 : x = 5k + r où 0 ≤ r ≤ 4. Alors x − r = 5k donc x ≡ r(5).
Par suite
x≡ 0 1 2 3 4
x2 ≡ 0 1 4 4 1
2
x +x+3 ≡ 3 0 4 0 3
D’après le tableau x2 + x + 3 ≡ 0(5) ⇒ x ≡ 1(5) ou x ≡ 3(5)
x ≡ 1(5) ou x ≡ 3(5) ⇒ x2 + x + 3 ≡ 0(5).
La proposition est fausse : x2 + x + 3 ≡ 0(5) ⇐⇒ x ≡ 1(5) ou x ≡ 3(5)
2
5 n est un entier naturel non nul.
Proposition : 3n + 1 et 4n + 1 sont premiers entre eux.
Posons d = pgcd(4n + 1, 3n + 1). Alors d|3n + 1 et d|4n + 1 donc d divise toute combinaison linaire de
4n + 1 et 3n + 1.
En particulier d|4(3n + 1) − 3(4n + 1). donc d|1 donc d = 1 car d ≥ 0. La proposition est donc vraie.
6 On appelle S l’ensemble des couples (x; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation 3x − 5y = 2.
Proposition : L’ensemble S est l’ensemble des couples (5k − 1; 3k − 1) où k est un entier relatif.
3(−1) − 5(−1) = 2 ; (−1; −1) est une solution particulière.
Soient x et y des entiers relatifs quelconques.
3x − 5y = 2 équivaut successivement à 3x − 5y = 3(−1) − 5(−1)
3(x + 1) = 5(y + 1)
• Analyse : Supposons que 3(x + 1) = 5(y + 1). Alors 3|5(y + 1).
Or pgcd(3; 5) = 1( 3 et 5 sont des nombres premiers premiers entre eux.) donc d’après le théorème
de Gauss : 3|(y + 1) donc y + 1 = 3k ( k ∈ Z)
Alors 3(x + 1) = 5 × 3k donc x + 1 = 5k ( 3 , 0). Finalement x = −1 + 5k, y = −1 + 3k
• Synthèse Supposons que x = −1 + 5k, y = −1 + 3k, alors 3(x + 1) = 3 × 5k = 5 × 3k = 5(y + 1).
(
• 3x − 5y = 2 ⇐⇒ 3(x + 1) = 5(y + 1) et 3(x + 1) = 5(y + 1) ⇐⇒
x = −1 + 5k
y = −1 + 3k
(k ∈ Z)
D’ où S = {(−1 + 5k; −1 + 3k)|k ∈ Z}. La proposition est vraie.
7 On considère l’équation (E 0 ) : x2 − 52x + 480 = 0, où x est un entier naturel .
Proposition : Il existe deux entiers naturels non nuls dont le PGCD et le PPCM sont solutions de
l’équation (E 0 ).
Dans R : x2 − 52x + 480 = 0 a pour discriminant ∆ = 522 − 4 × 480 = 784 qui est le carré de 28 et -28,
52 + 28
52 − 28
donc les solutions sont
= 40 et
= 12.
2
2
2
Dans N : x − 52x + 480 = 1.(x − 40)(x − 12) donc les solutions sont aussi 40 et 12.
Soient a et b dans N∗ . On désigne par d et m leur pgcd et leur ppcm. On a d|m.
• 1er cas : a = b = 12. Alors d = 12 et m = 12 : d est solution de (E 0 ) et m est solution de (E 0 ).
• 2e cas : a = b = 40. Alors d = 140 et m = 40 : d est solution de (E 0 ) et m est solution de (E 0 ).
• 3e cas : d = 40 et m = 12. Alors 40|12 absurde car 12 = 40 × 0 + 12 avec 0 ≤ 12 < 40.
• 4e cas : d = 12 et m = 40. Alors 12|40 absurde car 40 = 12 × 3 + 4 avec 0 ≤ 4 < 12.
La proposition est vraie à condition de ne pas imposer que « le PGCD et le PPCM soient les solutions
de (E 0 ). »
3