espaces probabilises finis - PCSI

Lycée de l’Essouriau Année 2013-2014
PCSI
ESPACES PROBABILISES FINIS
Exercice 1
Langage ensembliste.
Trois enfants, Arthur, Béatrice et Cécile, lancent chacun un ballon en direction d’un panier de basket. Il est convenu
que celui qui marquera gagnera un paquet de bonbons, et qu’en cas d’ex-aequo les vainqueurs se partageront le
paquet. Si personne ne réussit son panier, chacun obtiendra le tiers des bonbons.
1. Quel espace de probabilité (Ω,P(Ω), P )choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
2. En utilisant les événements :
A={Arthur marque un panier}, B ={Béatrice marque un panier},
C={Cécile marque un panier},
écrire de façon ensembliste les événements suivants :
D={tous les trois réussissent à marquer}, E ={aucun ne réussit à marquer},
F={Béatrice obtient tous les bonbons}, G ={les trois enfants obtiennent des bonbons},
H={Cécile obtient au moins un bonbon}, I ={Arthur ne reçoit aucun bonbon}.
3. Ecrire les événements ci-dessus comme sous-ensembles de Ω, préciser ceux qui sont des événements élé-
mentaires et donner l’expression de leur probabilité en fonction des probabilités notées a,bet cqu’Arthur,
Béatrice et Cécile respectivement marque un panier.
On suppose maintenant que les enfants répètent nfois l’expérience précédente dans les mêmes conditions (on
suppose que l’on dispose de npaquets de bonbons).
1. (a) Quel espace de probabilité (Ωn,P(Ωn), Pn)choisiriez-vous pour décrire cette expérience aléatoire ?
(b) Ecrire l’événement J={Cécile n’a pas gagné lors des deux premières parties}comme sous-ensemble de
Ωn:
2. On s’intéresse désormais uniquement aux succès éventuels de Cécile. On suppose de plus que Cécile a une
probabilité pde marquer à chaque partie.
(a) Proposer un nouvel espace de probabilité.
(b) Soit i∈ {1, ..., n}. Décrire dans cette nouvelle modélisation les éléments de l’événement,
Ci={Cécile a gagné lors de la i-ème partie}.
(c) Ecrire à l’aide des événements Ci, l’événement Jpuis les événements suivants
K={Cécile a gagné au moins une fois lors des npremières parties}
L={Cécile a gagné au moins deux fois lors des npremières parties}.
(d) Donner les événements contraires des événements J,Ket L.
(e) Donner les expressions des probabilités des événements J,Ket Len fonction de p.
1

Exercice 2
On pose au hasard n≥2livres côte à côte sur une étagère. Parmi ces livres, il y en a k∈ {2, . . . , n}qui sont
de l’auteur M.
1. Proposer un codage de la disposition des livres de l’auteur Msur cette étagère n’utilisant que les symboles
0et 1.
2. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l’auteur Msoient côte à côte ?
3. Soit r≥k. Quelle est la probabilité pour que tous les livres de l’auteur Msoient dans les rpremiers livres
de l’étagère ?
4. Soit ℓ∈ {k−2, . . . , n −2}. Quelle est la probabilité qu’il y ait ℓlivres entre le livre de l’auteur Mqui se
trouve le plus à gauche sur l’étagère et celui qui se trouve le plus à droite sur l’étagère ? Si k= 2, combien
de livres est-il le plus probable de trouver entre les deux livres de l’auteur Msur l’étagère ?
Exercice 3
On choisit au hasard deux sous ensembles Aet Bd’un ensemble Eànéléments. Calculer la probababilité que :
1. A∪Bsoit un singleton.
2. A∪B=E.
3. A∩Bsoit un singleton.
4. A⊂B.
Exercice 4
On répartit au hasard rboules dans ncases. On s’intéresse au nombre de boules présentes dans chaque case.
1. Décrire un espace de probabilité associé à cette expérience.
2. Calculer la probabilité, notée µr,n(k), que kboules tombent dans la case 1. Montrer que, si ret ntendent
vers +∞, de sorte que r
ntend vers λ > 0, on a :
µr,n(k)→µ(k) = λk
k!e−λ,∀k∈N.
3. Soient r1, . . . , rndes entiers tels que r1+· · · +rn=r. Calculer la probabilité d’obtenir r1boules dans la
case 1,. . . ,rnboules dans la case n.
4. Application 1 : quelle est la probabilité que parmi rpersonnes, au moins deux personnes aient leur anniversaire
le même jour ? Pour quelles valeurs de rcette probabilité est-elle supérieure à 0.5 ?
5. Application 2 : les messages électroniques envoyés à une entreprise sont dirigés aléatoirement vers la boîte
aux lettres d’une des cinq secrétaires de l’entreprise. Quelle est la probabilité que chaque secrétaire reçoive
au moins un des nmessages envoyés ?
Exercice 5
Une urne contient 10 boules blanches, 4noires, 6rouges.
1. On tire au hasard 3boules successivement et avec remise.Calculer la probabilité des événements suivants :
(a) Tirage contenant une noire exactement
(b) Tirage bicolore
(c) Tirage tricolore
2. Reprendre les questions dans le cas d’un tirage successif sans remise, puis dans le cas d’un tirage simultané.
3. On tire maintenant toutes les boules de l’urne successivement et sans remise. Calculer la probabilité que la
dernière boule blanche apparaîsse au tirage numéro k
2

Exercice 6
Une armoire contient 10 paires de chaussure. On choisit au hasard 8chaussures parmi les 20. Calculer la
probabilité des évévnements suivants ;
1. Parmi les 8 chaussures ne figure aucune paire
2. Parmi ces 8 chaussures figure exactement une paire.
3. Parmi ces 8 chaussures figure au moins une paire ?
Exercice 7
Un service après-vente dispose d’équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel té-
léphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu’un retard se produise dans le
dépannage à la suite d’un appel est p= 1/4.
1. Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit Xle nombre de retards que ce client a subi.
Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X)et V(X).
2. On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d’entre eux sont mécontents parce qu’ils ont subi un
retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit Mle nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés.
Définir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M).
Exercice 8
Une urne contient 2boules blanches et 8boules noires. Un joueur tire successivement nboules avec remise. S’il
tire une boule blanche, il gagne 2points, sinon il en perd 3.Soit Xnle nombre de boules blanches et Ynle nombre
de points obtenus.
Déterminer la loi de Xn,puis E(Xn)et V(Xn).
Exprimer Ynen fonction de Xn.En déduire la loi de Yn,puis E(Yn)et V(Yn).
Exercice 9
Une piste rectiligne est divisée en cases numérotées 0,1,2, . . . , n, de gauche à droite. Une puce se déplace vers
la droite de une ou deux cases au hasard à chaque saut. Au départ, elle est sur la case 0. Soit Xnle numéro de
la case occupée par la puce après nsauts et Ynle nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours des n
premiers sauts
Donner la loi de Yn, E(Yn)et V(Yn).
Exprimer Xnen fonction de Ynet n. En déduire E(Xn)et V(Xn)puis la loi de Xn.
Exercice 10
Un dé Dcomporte 20 faces marquées dont 7 faces sont numérotées 1, 8 faces sont numérotées 2, 5 faces sont
numérotées 3.
Soit nun entier non nul. On lance nfois le dé Det on note X(i)
nle nombre de faces numérotées iau cours des n
lancers.
1. Donner la loi de X(1)
n, X(2) n, X(3) nainsi que leurs espérances et leurs variances.
2. Lors des nlancers, pour chaque face numéro 1 (resp. 2, 3) obtenue on gagne 1 euro (resp. -2 euros, resp. a
euros). Pour quelle valeur de a, le gain moyen du jeu est positif en moyenne ?.
Exercice 11
On dispose de n+ 1 urnes U0, U1, . . . , Untelles que pour tout k de {0,1, ..., n}l’urne Ukcontient kboules
blanches et n−kboules noires.
On effectue des tirages d’une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les
lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable Zprend la valeur k(avec k>1), alors on tire
une par une et avec remise, kboules dans l’urne Uket l’on note Xla variable aléatoire égale au nombre de boules
blanches obtenues à lissue de ces tirages. Si la variable Za pris la valeur 0, aucun tirage n’est effectué et Xprend
la valeur 0.
3

1. Déterminer X(Ω).
2. (a) Déterminer, en distinguant les cas i= 0 et 16i6n, la probabilité PZ=0 (X=i).
(b) Déterminer, en distinguant les cas i=net 06i6n−1, la probabilité PZ=n(X=i).
(c) Pour tout kde {1,2, ..., n −1}déterminer, en distinguant les cas 06i6ket k < i 6n, la probabilité
conditionnelle PZ=k(X=i).
3. (a) Montrer que P(X= 0) =
n−1
k=1 n−k
2nk
+1
2n
(b) Montrer que P(X=n) = 1
2n
(c) Exprimer, pour tout ide {1,2, ..., n −1},P(X=i)sous forme dune somme que l’on ne cherchera pas
à réduire.
4. Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que n
i=0 P(X=i) = 1.
Exercice 12
On tire, avec remise, cinq boules d’une urne contenant dix boules numérotés de 1à10. On note Xla var égale
au maximum des deux numéros obtenus et Yla var égale au minimum des cinq numéros obtenus.
1. Déterminer soigneusement X(Ω) et Y(Ω).
2. Calculer P(X6k)pour k∈X(Ω) et P(Y>k)pour k∈Y(Ω).
En déduire les lois de Xet Y.
3. Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
Exercice 13
Soient net Ndes entiers non nuls.
Une urne contient njetons numérotés de 1 à n. On effectue Ntirages avec remise dans cette urne.
1. Soit Fi1a, variable aléatoire égale au nombre de fois où le jeton ia été tiré. Déterminer la loi de Fi.
On pose :
F=
n
i=1
Fi
Déterminer la loi de Fi, son espérance et sa variance.
Les variables aléatoires Fisont-elles deux à deux indépendantes ?
2. Pour tout i∈[[1, n]] on note Xila variable aléatoire égale à 0si le numéro in’a pas été tiré et égale a 1 s’il
été tiré au moins une fois.
Déterminer la loi de Xi, son espérance et sa variance.
Pour tout (i, j)∈[[0,1]]2, déterminer la probabilité
PXi=0 (Xj= 0)
Les variables Xi, et Xjsont-elles indépendantes ?
Exercice 14
On considère une urne contenant quatre boules rouges et trois boules noires. On pioche une à une sans remise
les boules de l’urne. Pour tout entier i∈[[1,3]]On note Xile nombre de tirages nécessaires pour obtenir la i`eme
boule noire.
1. Donner la loi de X1ainsi que son espérance et sa variance.
2. Expliciter la loi conjointe de (X1, X2).En déduire la loi de X2.
3. On note Tla variable aléatoire définie par T=X2−X1.
(a) Que représente T? Donner son espérance et sa variance.
(b) Donner la loi conjointe de (T, X1)puis la loi de T.
4. Donner la loi de X3.
4

Exercice 15
On dispose de deux urnes U1et U2, de six boules numérotées de 1à6ainsi que d’un dé équilibré. Initialement,
l’urne U1contient les boules numérotées 1et 2, l’urne U2contient les boules numérotées 3,4,5et 6.
On appelle échange l’expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d’urne la boule portant le numéro
obtenu avec le dé.
Pour n∈N, on note Xnla variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans U1après néchanges
successifs.
1. Les cinq premiers lancers du dé donnent : 1,3,2,3,5.
Quel est le contenu de U1à l’issue du cinquième échange ?
2. Quelle est la loi de X1? Calculer son espérance mathématique E(X1).
3. Déterminer la loi du couple (X1, X2). En déduire la loi de X2.
Calculer la covariance du couple (X1, X2).
4. Montrer que pour tout entier nde N×, on a :
P(Xn+1 = 0) = 1
6P(Xn= 1), P (Xn+1 = 6) = 1 6P(Xn= 5)
∀k∈ {1, .., 5},P(Xn+1 =k) = 7−k
6P(Xn=k−1) + k+ 1 6P(Xn=k+ 1).
5. En déduire que, pour tout entier nde N×:E(Xn+1) = 2
3E(Xn)+1.
Calculer alors E(Xn)en fonction de n, puis lim
n→+∞E(Xn).
Exercice 16
On veut transporter entre deux villes A et B dans des conditions de confort acceptables 1600 voyageurs se
présentant pratiquement en même temps à la gare de A. On met à leur disposition deux trains identiques. On
suppose que chaque individu choisit au hasard l’une ou l’autre rame et qu’il n’a pas le temps d’en changer. Combien
faut-il prévoir de places assises dans chaque rame si l’on veut qu’il y ait moins de 1% de chance que des voyageurs
soient obligés de rester debout ? (utiliser l’inégalité de Bienaymé-Chebychev pour répondre).
Exercice 17
Un joueur lance une pièce équilibrée autant de fois que nécessaire . On note XNla variable aléatoire réelle
discrète égale au nombre de fois où, au cours des Npremiers lancers, deux résultats successifs ont été différents
(On peut appeler XNle " nombre de changements " au cours des Npremiers lancers ).
Par exemple , si les 9 premiers lancers ont donné successivement : Pile , Pile , Face , Pile , Face , Face , Face , Pile
, Pile alors la variable X9aura pris la valeur 4 (quatre changements, aux 3i`eme,4i`eme,5i`eme et 8i`eme lancers).
1. Déterminer la loi de X1, X2, X3, X4.
2. Justifier que XN(Ω) = {0, ..., N −1}.
3. Montrer que P(XN= 0) = 1
2N−1
et P(XN= 1) = 2(N−1) 1
2N
.
4. (a) Justifier que pour tout entier kde {0, ..., N −1}:P(XN=k)(XN+1 =k) = 1
2
(b) En déduire que pour tout entier kde {0, ..., N −1}P(XN+1 −XN= 0 ∩XN=k) = 1
2P(XN=k).
(c) En sommant cette relation de k= 0 àN−1, montrer que P(XN+1 −XN= 0) = 1
2.
(d) Que représente la variable XN+1−XN.En déduire que XN+1 −XNsuit une loi de Bernoulli de paramètre
1
2.
En déduire la relation E(XN+1) = 1
2+E(XN), puis donner E(XN)en fonction de N.
5. (a) Montrer grâce aux résultats 4(b) et 4(c) que les variables XN+1 −XNet XNsont indépendantes.
(b) En déduire par récurrence sur Nque XNsuit une loi binômiale B(N−1,1
2).
5