CHANGEMETS DE REPERE

CHANGEMETS DE REPERE
Groupe IREM Mathématiques et Sciences Physiques au Lycée
Monique Mandleur, Monique Sosset, Michèle Fauré,
Gabriel Birague, Pierre López
Introduction.
On trouvera ci-dessous une première partie exposant la pratique de professeurs de
sciences physiques (rédacteur : Gabriel Birague) suivie de réflexions que peuvent en tirer des
professeurs de mathématiques pour leur enseignement (rédacteur : Pierre López). On invite
les professeurs de mathématiques à lire en détails la partie physique. Ils en tireront sûrement
des enseignements qui vont au-delà de ce qui est dit dans la partie mathématique
1
. En effet, on
s’est contenté de faire certaines remarques les représentations graphiques des fonctions de la
forme k.f . Cependant, au cours de la lecture de la partie physique, il est bon d’avoir à l’esprit
qu’il n’est pas dans nos intentions de dire aux physiciens ce qu’ils doivent faire, mais plutôt
d’être à l’écoute de ce qu’ils font.
1
On remarquera notamment que la recherche d’une puissance maximum peut se rapprocher de la recherche de
l’aire maximum d’un rectangle inscrit dans un triangle, ce qui renvoie à la recherche du maximum du produit de
deux nombres dont la somme est constante, ce qui renvoie à l’article sur les fonctions x → x (1 – x) et
x → x + 1/x .

§1) Adaptation de puissance. Transfert de puissance
maximum.
Ce problème bien connu des physiciens est habituellement l'occasion pour le mathématicien
d'illustrer la notion de dérivée sur un polynôme d'ordre 2 (annexe).
Nous proposons de reprendre cette question pour illustrer la fonction hyperbolique et ses
propriétés, ainsi qu'à la fin, l'intérêt d'utiliser un repère orthonormé.
1°) Présentation du problème.
En Physique (en électricité, notamment),, on cherche à utiliser au mieux le signal fourni par
un capteur (dispositif délivrant une tension ou un courant proportionnel à une grandeur
physique, par ex., vitesse, pression, force, etc...). Le signal obtenu est alors amplifié en
tension et en courant. Le dispositif électronique réalise une amplification de puissance. Le
niveau en sortie est proportionnel à la puissance récupérée à l'entrée.
2°) Exemple de situation où l'adaptation de puissan ce est
nécessaire.
Il est donc important de se placer dans les conditions où on recueillera le maximum de la
puissance disponible sous forme électrique.
Le schéma électrique équivalent est le suivant :
Micro
Amplificateur
électronique
Haut-
parleur
Dispositif d'amplification audio

Dans le modèle du micro, la source de tension E représente, à l'échelle des tensions, la
grandeur physique (ici, les variations de pression de l'air dues à la vibration sonore). R est la
résistance interne du micro, Re est la résistance d'entrée de l'amplificateur.
3°) Plan de l'étude.
On se propose dans les lignes qui suivent de reprendre l'étude de cette question à partir de
considérations sur le point de fonctionnement (u,i) du micro.
Le signal sonore est une grandeur variable fonction du temps. Dans un souci de
simplification, nous ferons l'étude en supposant les grandeurs électriques indépendantes du
temps. Elles sont représentées par des lettres majuscules comme pour les tensions et courants
continus.
Le schéma peut être simplifié :
On tracera la caractéristique (u,i) de celui-ci (droite de charge).
On cherchera le lieu des points (u,i) équipuissance, puis on montrera que selon la valeur de
cette puissance, il peut y avoir deux points de fonctionnement, un seul ou aucun, s'il n'y a pas
d’intersection.
E
Re
Amplificateur électronique
Résistance d'entrée
Micro Haut-parleur
R
i
u
E
Re
R
I
U

On peut terminer en traçant les graphes dans un repère orthonormé (tension u
I
, tension u) où
u
I
= Ri.
Il est impossible de parler de repère orthonormé pour un plan (u,i), car les grandeurs ne sont
pas de même nature et l'on ne peut pas prendre la même échelle sur les deux axes.
4°) Droite de charge du micro.
La loi des branches permet d'écrire la relation courant-tension pour ce dipôle.
U = E - RI
Le tracé ci-dessous est effectué pour E= 10 mV et R = 10 kΩ.
Point de fonctionnement
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0,011
0,012
0,013
0,014
0,00E+00 1,00E-07 2,00E-07 3,00E-07 4,00E-07 5,00E-07 6,00E-07 7,00E-07 8,00E-07 9,00E-07 1,00E-06
i courant A
u tension en V
u
M
N
Considérons le point de fonctionnement pour i = 0,1µA. On lit sur le graphe U = 9 mV.
La puissance fournie par le dipôle est P = UxI; elle vaut pour le point considéré P= 0,9 nW.

5°) Points de fonctionnement équipuissance.
Les points de fonctionnement à puissance constante sont définis par la relation
u
*
i = P =Constante,
soit u = P
i .
Le tracé ci-dessous montre le graphe pour P = 0,9 µW.
droite de charge et lieu équipuissance P=9nW
0
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0,011
0,012
0,013
0,014
0,00E+00
1,00E-07
2,00E-07
3,00E-07
4,00E-07
5,00E-07
6,00E-07
7,00E-07
8,00E-07
9,00E-07
1,00E-06
i, courant en A
u, tension en V
u
up
6°) Puissance maximum fournie.
Traçons une 2
ème
courbe équipuissance pour P = 4 nW. Nous constatons que cette courbe se
situe plus à droite dans le plan et que cette courbe n'a aucun point d'intersection avec la droite
caractéristique. Le dipôle ne peut donc pas fournir une telle puissance.
La recherche de la puissance maximum fournie revient à déterminer la valeur de P pour
laquelle l'hyperbole est tangente à la droite.