Euclide, Éléments, Livre I.

DÉFINITIONS
1. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
2. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
3. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
4. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
5. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
6. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
7. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ’ ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται.
8. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων
ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπ’ εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
9. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν,
εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία.
10. Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ’ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας
ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα
εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ’ ἣν ἐφέστηκεν.
11. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.
12. Ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
13. Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
14. Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
15. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ
καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ’ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος
κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου
περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
16. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
17. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ
περατουμένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις
καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.
DÉFINITIONS
1. Un point est ce dont il n’y a aucune partie.
2. Une ligne est une longueur sans largeur.
3. Les limites d’une ligne sont des points.
4. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur
elle.
5. Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur.
6. Les limites d’une surface sont des lignes.
7. Une surface plane est celle qui est placée de manière égale par rapport aux droites qui sont
sur elles.
8. Une angle plan est l’inclinaison, l’une sur l’autre, dans un plan, de deux lignes qui se
touchent l’une l’autre et ne sont pas placées en ligne droite.
9. Et quand les lignes contenant l’angle sont droites, l’angle est appelé rectiligne.
10. Et quand une droite, ayant été élevée sur une drite, fait les angles adjacents égaux entre eux,
chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appelée perpendiculaire à
celle sur laquelle elle a été élevée.
11. Un angle obtus est celui qui est plus grand qu’un droit.
12. Un anble aigu est celui qui est plus petit qu’un droit.
13. une frontière est ce qui est limite de quelque chose.
14. Une gure est ce qui est contenu par quelque chose ou par quelque frontière(s).
15. Un cercle est une gure plane contenue par une ligne unique [celle appelée circonférence]
par rapport à laquelle toutes les droites menées à sa rencontre à partir d’un unique point parmi
ceux qui sont placés à l’intérieur de la gure, sont [jusqu’à la circonférence] égales entre elles.
16. Et le point est appelée centre du cercle.
17. Et un diamètre du cercle est n’importe quelle droite menée par le centre, limitée de chaque
côté par la circonférence du cercle, laquelle coupe le cercle en deux parties égales.
Euclide, Éléments, Livre I.
Trad. Bernard Vitrac, PUF, 1990.

18. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς
ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ
καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.
19. Σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ
ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ
τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα.
20. Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας
ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ
τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς.
21. Ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ ἔχον
ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸ ἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς
τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
22. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι
καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος
δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον
πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε
ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.
23. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ
ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν
ἀλλήλαις.
DEMANDES
1. Ἠιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.
2. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ’ εὐθείας ἐκβαλεῖν.
3. Καὶ παντὶ κέντρῳ καὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι.
4. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι.
5. Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη
γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον
συμπίπτειν, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.
NOTIONS COMMUNES / AXIOMES
1. Τὰ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα.
2. Καὶ ἐὰν ἴσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἴσα.
18. Un demi-cercle est la gure contenue par le diamètre et la circonférence
découpée par lui; le centre du demi-cerle est le même que celui du cercle.
19. Les gures rectilignes sotn les gures contenues par des droites;
trilatères: celles qui sont contenues par trois droites, quadrilatères, par
quatre; multilatères par plus de quatre.
20. Parmi les gures trilatères est un triangle équilatéral celle qui a les trois
côtés égaux; isocèle celle qui a deux côtés égaux seulement; scalène celle
qui a les trois côtés inégaux.
21. De plus, parmi les gures trilatères est un triangle rectangle celle qui a
un angle droit; obtusangle, celle qui a un angle obtus; acutangle, celle qui a
les trois angles aigus.
22. Parmi les gures quadrilatères est un carré celle qui est à la fois équi-
latérale et rectangle; est oblongue celle qui est rectangle mais non équila-
térale; un losange, celle qui est équilatérale mais non rectangle; un rhom-
boïde, celle qui a les côtés et les angles opposés égaux les uns aux autres
mais qui n’est ni équilatérale ni rectangle; et que l’on appelle trapèzes les
quadrilatères autres que ceux-là.
23. Des droites parallèles sont celles qui étant dans le même plan et indé-
niment prolongées de part et d’autre, ne se rencontrent pas, ni d’un côté ni
de l’autre.
DEMANDES
1. Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point.
2. Et de prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée.
3. Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout inter-
valle.
4. Et que tous les angles droits soient égaux entre eux.
5. Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et
du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéniment pro-
longées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits.
NOTIONS COMMUNES / AXIOMES
1. Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles.
2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont
égaux.

3. Καὶ ἐὰν ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφαιρεθῇ, τὰ καταλειπόμενά ἐστιν ἴσα.
[4. Καὶ ἐὰν ἀνίσοις ἴσα προστεθῇ, τὰ ὅλα ἐστὶν ἄνισα.
5. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
6. Καὶ τὰ τοῦ αὐτοῦ ἡμίση ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.]
7. Καὶ τὰ ἐφαρμόζοντα ἐπ’ ἄλληλα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
PROPOSITIONS
1. Ἐπὶ τῆς δοθείσης εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ.
Δεῖ δὴ ἐπὶ τῆς ΑΒ εὐθείας τρίγωνον ἰσόπλευρον συστήσασθαι.
Κέντρῳ μὲν τῷ Α διαστήματι δὲ τῷ ΑΒ κύκλος
γεγράφθω ὁ ΒΓΔ, καὶ πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Β
διαστήματι δὲ τῷ ΒΑ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΓΕ, καὶ ἀπὸ
τοῦ Γ σημείου, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλλήλους οἱ κύκλοι, ἐπὶ
τὰ Α, Β σημεῖα ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΑ, ΓΒ.
Καὶ ἐπεὶ τὸ Α σημεῖον κέντρον ἐστὶ τοῦ ΓΔΒ κύκλου,
ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΑΒ: πάλιν, ἐπεὶ τὸ Β σημεῖον κέντρον
ἐστὶ τοῦ ΓΑΕ κύκλου, ἴση ἐστὶν ἡ ΒΓ τῇ ΒΑ. ἐδείχθη δὲ
καὶ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ ἴση: ἑκατέρα ἄρα τῶν ΓΑ, ΓΒ τῇ ΑΒ
ἐστὶν ἴση. τὰ δὲ τῷ αὐτῷ ἴσα καὶ ἀλλήλοις ἐστὶν ἴσα: καὶ
ἡ ΓΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἐστὶν ἴση: αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΓΑ, ΑΒ, ΒΓ
ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
Ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, καὶ συνέσταται ἐπὶ τῆς δοθείσης
εὐθείας πεπερασμένης τῆς ΑΒ.
[Ἐπὶ τῆς δοθείσης ἄρα εὐθείας πεπερασμένης τρίγωνον ἰσόπλευρον
συνέσταται]: ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
3. Et si, à partir de choses égales, des choses égales sont retranchées, les restes sont égaux.
4. [Et si, à des choses inégales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont inégaux.
5. Et les doubles du même sont égaux entre eux.
6. Et le moitiés du même sont égales entre elles.]
7. Et les choses qui s’ajustent les unes sur les autres sont égales entre elles.
PROPOSITIONS
1. Sur une droite limitée donnée, construire un triangle équilatéral.
Soit AB la droite limitée donnée.
Il faut alors construire un triangle équilatéral sur la droite AB.
Que du centre A et au moyen de l’intervalle AB soit décrit le cercle BCD
(Dem. 3), et qu’ensuite du centre B, et au moyen de l’intervalle BA, soit décrit
le cerle ACE (Dem. 3), et que du point C auquel les cercles s’entrecoupent
soient jointes les droites CA, CB jusqu’aux points A, B (Dem. 1).
Et puisque le point A est le centre du cercle CDB, AC est égale à AB (Df. 15);
ensuite, puisque le point B est le centre du cercle CAE, BC est égale à BA
(Df. 15). Et il a été démontré que CA est égale à AB; donc chacune des droites
CA, CB est égale à AB; or les choses égales à une même chose sont aussi
égales entre elles (N.C. 1); et donc CA est égale à CB; donc les trois droites
CA, AB, BC sont égales entre elles.
Donc le triangle ABC est équilatéral (Df. 20) et il est construit sur la droite limitée donnée
AB.
[Donc, sur une droite limitée donnée, un triangle équilatéral est construit.] Ce qu’il fallait
faire.