Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Exercice 1
La sélection chez les vaches laitières de race « Fran-
çaise Frisonne Pis Noir » (FFPN)
La production kaitière annuelle, exprimée en litres, des
vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée
par une variable aléatoire à densité X, de loi normale
dde moyenne µ= 6000 et d’écart-type σ= 400.
gdésigne la fonction de densité de cette loi normale.
1. Dans cette question, on arrondira les résultats à
10−4près.
Afin de gérer au plus près son quota laitier (produc-
tion maximale autorisée), en déterminant la taille
optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître
des vaches de cette race souhaite disposer de cer-
taines probabilités.
Calculer la probabilité qu’une vache quelconque de
cette race produise :
a) moins de 5800 litres de lait par an ;
b) entre 5900 et 6100 litres de lait par an ;
c) plus de 6250 litres de lait par an.
2. Dans cette question, on arrondira les résultats à
l’unité près.
Dans son futur troupeau, l’éleveur souhaite
connaître :
a) la production maximale prévisible des 30 % de
vaches les moins productives du troupeau ;
b) la production minimale prévisible des 20 % des
vaches les plus productives.
Exercice 2
Un producteur du Sud-Ouest commercialise des foies
gras d’oie, dont la masse suit une loi normale de
moyenne 750 g et un écart-type de 100 g.
Soit Xla variable aléatoire égale à la masse d’un foie
gras pris au hasard dans la production.
Déterminer, à 10−3près, chacune des probabilités
P(650 6X6850),P(X < 700) et P(X > 900).
Exercice 3
Un laboratoire pharmaceutique fabrique, en très
grande quantité, un certain type de comprimés dont
la masse est exprimée en milligrammes.
Un comprimé de ce type est considéré comme accep-
table lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [586; 614].
On note Mla variable aléatoire qui, à chaque com-
primé prélevé au hasard dans la production, associe sa
masse.
On suppose que Msuit la loi normale de moyenne 600
et d’écart type 9.
1. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au
hasard soit acceptable.
2. Déterminer la probabilité qu’un comprimé prélevé
au hasard ait une masse supérieure à 622,5mg.
3. On admet que 3 % des comprimés d’un lot impor-
tant ne sont pas acceptables. On prélève au hasard
cent comprimés de ce lot pour vérification de la
masse. Le lot est suffisamment important pour que
l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise de cent comprimés.
Soit Nla variable aléatoire égale au nombre de
comprimés non acceptables.
a) Préciser la loi suivie par N.
b) Calculer la probabilité que, dans un tel prélève-
ment de cent comprimés :
•exactement deux ne soient pas acceptables ;
•au moins trois ne soient pas acceptables.
Exercice 4
Une entreprise fabrique en grande quantité des tiges
en plastique de longueur théorique 100 mm.
Une tige est considérée comme conforme pour la lon-
gueur lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, est
dans l’intervalle [99,64; 100,36].
On note Lla variable aléatoire qui, à chaque tige prise
au hasard dans la production, associe sa longueur. On
suppose que Lsuit une loi normale de moyenne 100 et
d’écart-type 0,16.
1. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au ha-
sard dans la production soit conforme pour la lon-
gueur.
2. Déterminer une valeur approchée à 10−2près du
réel ltel que P(L<l)=0,96.Exercice 5
Le cahier des charges de l’usinage d’une tige prévoit
pour sa longueur, exprimée en centimètres, l’intervalle
de tolérance [4,4; 4,8].
Le service qualité constate qu’un premier lot de tiges
fabriquées correspond à une distribution normale de
moyenne 4,52 cm et d’écart-type 0,15 cm.
1. Calculer la probabilité qu’une pièce prélevée au ha-
sard dans ce lot soit acceptable. Arrondir le résultat
au millième.
2. Après avoir procédé à un réglage, un second lot cor-
respondant à une distribution normale de moyenne
4,6cm et d’écart-type 0,13 cm est usiné.
Calculer la probabilité qu’une pièce prélevée au ha-
sard dans ce second lot soit acceptable. Arrondir le
résultat au millième.
3. a) Quel lot a sa moyenne la plus proche du centre
de l’intervalle de tolérance ?
b) Le réglage effectué a-t-il été bénéfique ?
Exercice 6
Le périmètre crânien, exprimé en cm, d’un enfant de
trois ans suit une la loi normale d’espérance 49 cm et
d’écart-type 1,6cm.
Quelle est la probabilité que le périmètre crânien d’un
enfant de trois ans :
1. soit compris entre 45,8et 52,2cm ?
2. soit inférieur à 48 cm ?

Exercice 7
Soient Xune variable aléatoire suivant la loi N(0; 1)
et fla fonction de densité associée à cette loi.
L’espérance de Xest définie par :
E(X) = lim
x→−∞ Z0
x
tf(t) dt+ lim
y→+∞Zy
0
tf(t) dt
1. Établir que lim
y→+∞Zy
0
tf(t) dt=1
√2π.
2. En déduire la valeur de E(X).
3. Sachant que la variance de Xest définie comme
étant l’espérance de (X−E(X))2, justifier que :
V(X) = lim
x→−∞ Z0
x
t2f(t) dt+ lim
y→+∞Zy
0
t2f(t) dt
4. En utilisant une intégration par parties, montrer
que pour tout réel positif y:
Zy
0
t2f(t) dt=−y
√2πe−y2
2+P(0 6X6y)
5. En déduire que V(X) = 1.Exercice 8
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arron-
dir au millième.
Une entreprise fabrique en grande quantité des tubes
en aluminium.
La longueur des tubes est exprimée en millimètres.
Un tube est dit « conforme pour la longueur » lorsque
celle-ci appartient à l’intervalle [245; 255].
1. Dans cette question, on considère que 5 % des tubes
ne sont pas conformes pour la longueur.
On prélève au hasard cinquante tubes dans le stock.
Le stock est suffisamment important pour que l’on
puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec re-
mise de cinquante tubes.
On considère la variable aléatoire Xqui, à tout pré-
lèvement de cinquante tubes, associe le nombre de
tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.
a) Justifier que la variable aléatoire Xsuit une loi
binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Calculer et interpréter la probabilité P(X= 3).
c) Calculer la probabilité que dans un tel pré-
lèvement deux tubes au moins ne sont pas
conformes pour la longueur.
2. On désigne par Yla variable aléatoire qui, à chaque
tube pris au hasard dans la production d’une jour-
née, associe sa longueur.
On admet que la variable aléatoire Ysuit la loi
normale de moyenne 250 et d’écart type 2,5.
a) Calculer la probabilité qu’un tube prélevé au
hasard dans la production d’une journée soit
conforme pour la longueur.
b) Le contrôle de conformité rejette les tubes dont
la longueur est inférieure à 245 mm.
Quelle est la probabilité pour qu’un tube prélevé
au hasard dans la production d’une journée soit
rejeté par le contrôle de conformité ?
Exercice 9
Soit aun réel strictement positif fixé et Xune variable
aléatoire suivant la loi N(µ;σ2).
Déterminer le réel bde sorte que P(b6X6b+a)
soit maximale. Exercice 10
Dans chacune des questions de cet exercice, Xest une
variable aléatoire suivant la loi normale N(µ;σ2).
1. Si σ=4 et P(X680)=0,1056, que vaut µ?
2. Si µ=10 et P(X>7,5)=0,8944, que vaut σ?
3. Que valent µet σsachant que P(X625) = 0,8944
et P(156X625)= 0,7888 ?Exercice 11
La durée de vie d’un certain type d’appareil est modé-
lisée par une variable aléatoire suivant une loi normale
de moyenne et d’écart-type inconnus.
Les spécifications impliquent que 80 % de la produc-
tion ait une durée de vie comprise entre 120 et 200
jours et que 5 % de la production ait une durée de vie
inférieure à 120 jours.
1. Déterminer des valeurs approchées arrondies au
dixième de µet de σ.
2. Déterminer la probabilité d’avoir un appareil dont
la durée de vie soit comprise entre 200 et 230 jours.
Exercice 12
Dans une certaine population, on a étalonné un test
de quotient intellectuel de telle façon que la variable
aléatoire Xqui attribue à tout individu pris au hasard
son score, appelé QI, suive la loi normale N(100; 152).
1. Déterminer une valeur approchée arrondie au mil-
lième de la probabilité de chacun des événements
(70 < X < 120),(X < 110) et (X>80).
2. Déterminer une valeur approchée à l’unité près de
la valeur xd’un score de QI tel que la probabilité
qu’un individu pris au hasard obtienne un score
plus faible est égale à 0,4.
3. À partir de quel QI, la probabilité d’avoir un quo-
tient intellectuel supérieur est-elle égale à 0,05 ? On
arrondira le résultat à 1près.
4. Pour limiter « l’effet de tassement du QI » aux ex-
trémités, on étalonne le test de sorte que la variable
aléatoire Ymodélisant le score suive une loi nor-
male de même moyenne µ= 100 mais d’écart-type
σtel que 10,5 % de la population ait un QI au moins
égal à 130. Déterminer σ.
Exercice 13
Sur une ligne de train, une enquête a permis de ré-
véler que le retard (algébrique) du train, exprimé en
minutes, peut-être modélisé par une variable aléatoire
suivant une loi normale.
Des observations ont permis d’établir que P(3 6X6
7) ≈0,954 (à 10−3près) et que E(X) = 5.
1. Déterminer les paramètres de la loi suivie par X.
2. Quelle est, à 10−3près, la probabilité que ce train
arrive avec moins de six minutes de retard ?
3. Quelle est, à 10−3près, la probabilité que le retard
soit supérieur à 3minutes ?

Exercice 14
La vitesse, exprimée en kilomètres par heure, des véhi-
cules à moteur passant à un certain point d’une route,
est une variable aléatoire Vsuivant une loi normale.
Par observation on trouve que 5 % ont une vitesse su-
périeure à 150 km/h et 10 % ont une vitesse inférieure
à90 km/h.
Retrouver les paramètres de la loi suivie par V.
Exercice 15
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au mil-
lième.
Dans une fabrique de boisssons, une machine remplit
automatiquement, avec du soda, des bouteilles d’une
contenance de 51 centilitres. Pour être commercialisée,
une bouteille doit en contenir au moins 48.
La quantité de soda, exprimée en centilitres, fournie
par la machine peut être modélisée par une variable
aléatoire Xsuivant une loi normale d’espérance µet
d’écart-type 1,2.
1. La machine est réglée sur µ= 50.
a) Déterminer, à 0,1 % près, le pourcentage de bou-
teilles qui pourront être commercialisées.
b) Calculer P(X > 51). Que peut-on en déduire ?
2. Le responsable de la production souhaite qu’il y ait
moins de 10 % de bouteilles qui débordent.
Quelle doit-être la valeur maximale de µ, arrondie
au centième ?
3. Le temps de fonctionnement sans panne, exprimé
en jours, de cette machine est une variable aléatoire
Yqui suit la loi exponentielle de paramètre λ.
a) On sait que P(Y < 30) = 0,44. En déduire la
valeur exacte puis une valeur approchée arron-
die au millième de λ.
b) Dans cette question, on convient que λ= 0,019.
Calculer la probabilité que la machine fonc-
tionne sans panne pendant plus de 60 jours.
Exercice 16
Sur une chaîne d’embouteillage dans une brasserie, la
quantité X(en cL) de liquide fournie par la machine
pour remplir chaque bouteille de contenance 110 cL
peut être modélisée par une variable aléatoire suivant
une loi normale de moyenne µd’écart-type σ.
1. Dans cette question, on considère que σ= 2.
a) La législation impose qu’il y ait moins de 0,1 %
de bouteilles contenant moins d’un litre. À
quelle valeur de la moyenne µdoit-on régler la
machine pour respecter cette législation ?
b) La contenance des bouteilles étant de 110 cL,
quelle est alors la probabilité qu’une bouteille
déborde ?
2. Déterminer µet σafin qu’il y ait moins de 0,1 %
de bouteilles de moins d’un litre et moins de 1 %
de bouteilles qui débordent lors du remplissage.
Exercice 17
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au
millième.
1. La masse, exprimée en grammes, des oeufs de poule
d’une certaine race est une variable aléatoire dis-
tribuée suivant une loi normale de moyenne 60 et
d’écart-type 4.
Un éleveur prélève au hasard un oeuf dans la pro-
duction de son poulailler.
a) Calculer la probabilité que la masse de cet oeuf
dépasse 55 grammes.
b) Déterminer la probabilité que la masse de l’oeuf
prélevé soit comprise entre 54 et 63 grammes.
c) Pour répondre aux exigences de ses clients, l’éle-
veur élimine les 5 % des oeufs les plus légers.
Quelle est, à 0,1gramme près, la masse mini-
male d’un oeuf non écarté ?
2. L’éleveur estime la production journalière moyenne
de son poulailler à 5000 oeufs.
a) Calculer la probabilité qu’au moins 94 % des
oeufs soient commercialisables.
b) Déterminer la probabilité qu’entre 3 % et 5 %
des oeufs soient écartés.
3. S’intéressant à la productivité de ses poules pon-
deuses, l’éleveur estime que le nombre d’oeufs par
poule et par an est une variable aléatoire suivant
une loi normale de moyenne µet d’écart-type σ.
a) Sachant que la probabilité qu’une de ses poules
ponde au plus 240 oeufs par an est 0,1587 et
que la probabilité qu’une de ses poules ponde
au moins 265 oeufs par an est 0,0668, retrouver
les valeurs de µet σ.
b) Calculer la probabilité qu’une de ses poules
ponde entre 242 et 258 oeufs.
c) Quelle est la production maximale des 30 % de
poules les moins productives de l’élevage ?
d) Quelle est la production minimale des 10 % de
poules les plus productives de l’élevage ?
Exercice 18
Dans une revue on peut lire : « On estime à 60,5 % le
pourcentage de Français partant au moins une fois en
vacances dans le courant de l’année. ».
On considère un échantillon de cent personnes prises
au hasard dans la population française.
Dans ce qui suit, les résultats seront arrondis au mil-
lième.
On désigne par Xla variable aléatoire mesurant, parmi
ces cent personnes, le nombre de celles qui ne partent
pas en vacances dans le courant de l’année.
1. Expliquer pourquoi on peut considérer que Xsuit
une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
2. Calculer l’espérance et l’écart-type de X ainsi que
les probabilités respectives des événements (X=
45),(X630),(X>40) et (15 6X635).
3. On décide d’approcher cette loi par une loi normale.
On nomme Yla variable aléatoire suivant cette loi.

a) Calculer les paramètres de la loi suivie par Y.
b) Déterminer une valeur approchée de la proba-
bilité de chacun des événements suivants :
•A: « Exactement 45 personnes ne partent pas
en vacances dans le courant de l’année. » ;
•B: « Au plus 30 personnes ne partent pas en
vacances dans le courant de l’année. ».
Exercice 19
Un revendeur de matériel photographique désire s’im-
planter dans une galerie marchande.
Il estime qu’il pourra vendre 40 appareils photogra-
phiques par jour et que les ventes sont deux à deux
indépendantes.
Une étude lui a montré que, parmi les différentes
marques disponibles, la marque Aréalise 38,6 % du
marché.
1. On note Xla variable aléatoire qui, un jour donné,
associe le nombre d’appareils de marque Avendus
ce jour-là.
Expliquer pourquoi Xsuit une loi binomiale et pré-
ciser les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité que, sur 40 appareils vendus
par jour, exactement la moitié soient de marque A.
En donner une valeur arrondie à 10−3près.
3. Calculer l’espérance et l’écart-type de X.
4. On décide d’approcher cette loi par une loi normale
de paramètres 15,44 et 3,0792). Justifier ce choix.
5. On note Yla variable aléatoire suivant la loi
N(15,44; 3,0792).
Donner une approximation de la probabilité de cha-
cun des événements suivants :
a) B: « Un jour choisi au hasard, il y a exactement
20 appareils de marque Avendus. » ;
b) C: « Un jour choisi au hasard, au moins 20 des
appareils vendus sont de marque A. » ;
c) D: « Un jour choisi au hasard, le nombre d’ap-
pareils de marque Avendus est compris entre
15 et 25. ». Exercice 20
Dans cet exercice, on donnera les probabilités arron-
dies à 10−3près.
Une usine fabrique des billes en métal. L’étude porte
sur le diamètre de ces billes, mesuré en millimètres.
Partie A
On appelle Xla variable aléatoire qui, à chaque bille
prise au hasard dans la production de l’usine, associe
son diamètre mesuré en millimètres.
On admet que Xsuit une loi normale de moyenne 25
et d’écart type 0,44.
1. Calculer la probabilité de chacun des événements :
a) A: « Le diamètre est compris entre 24,1et
25,9. » ;
b) B: « Le diamètre est inférieur à 25,2. » ;
c) C: « Le diamètre est supérieur à 25,5. ».
2. Déterminer une valeur approchée à 0,1mm près du
diamètre dtel que la probabilité qu’une bille prise
au hasard dans la production ait un diamètre infé-
rieur soit égale à 0,3.
3. Déterminer, une valeur approchée à 0,1mm près,
du diamètre minimal d′des 20 % des billes qui ont
le plus grand diamètre.
Partie B
On admet que 4 % des billes sont défectueuses.
Les billes sont conditionnées par paquets de 150. On
admet que le choix d’un paquet peut être assimilé à
un tirage avec remise de 150 billes.
On note Yla variable aléatoire qui associe à tout pa-
quet choisi au hasard le nombre de billes défectueuses.
1. Indiquer la loi suivie par Y, préciser ses paramètres
puis calculer l’espérance et l’écart-type de Y.
2. Calculer la probabilité de chacun des événements :
a) D: « Le paquet choisi contient exactement cinq
billes défectueuses. »
b) E: « Le paquet choisi contient au plus six billes
défectueuses. »
c) F: « Le paquet choisi contient au moins neuf
billes défectueuses. » Exercice 21
Dans cet exercice, on s’intéresse au contrôle de la qua-
lité de la fabrication d’un modèle de flotteur.
On désigne par Mla variable aléatoire qui, à chaque
flotteur prélevé au hasard dans la production, associe
sa masse exprimée en grammes.
On suppose que la variable aléatoire Msuit la loi nor-
male de moyenne 25 et d’écart type 1,58.
Le tableau suivant donne des valeurs approchées des
probabilités de l’événement (M6m)pour quelques
valeurs du réel m.
m23 23,5 24 x24,5 25
P(M6m)0,103 0,171 0,263 0,306 0,376 u
m25,5 26 26,3 26,5 27 27,5
P(M6m)0,624 0,737 w0,829 0,897 0,943
1. Interpréter concrètement la valeur se trouvant dans
la case grisée du tableau et donner la valeur de u.
2. Retrouver, à l’aide du tableau, une valeur appro-
chée de la probabilité qu’un flotteur prélevé au ha-
sard dans la production :
a) ait une masse inférieure à 27 grammes ;
b) ait une masse supérieure à 24,5grammes.
3. Donner l’instruction à entrer dans la calculatrice
permettant de retrouver :
a) une valeur approchée à 10−3près de w;
b) une valeur approchée à 10−1près de x.
4. Un flotteur est jugé acceptable lorsque sa masse,
exprimée en grammes, appartient à [24,5; 25,5].
Retrouver une valeur approchée de la probabilité
qu’un flotteur prélevé au hasard dans la produc-
tion soit acceptable à l’aide du tableau puis vérifier
à l’aide de la calculatrice.

Exercice 22
Dans cet exercice, les probabilités seront données sous
forme décimale, arrondies à 10−4près.
1. Un industriel de l’agroalimentaire conditionne du
ketchup dans des bouteilles en verre.
On désigne par Xla variable aléatoire qui, à chaque
bouteille prélevée au hasard dans la production
d’une journée, associe la masse de sauce, exprimée
en grammes, contenue dans cette bouteille.
a) On suppose que la variable aléatoire Xsuit la
loi normale de moyenne 570 et d’écart-type 4.
Calculer la probabilité que la masse de sauce
soit inférieure à 565 grammes.
b) Une bouteille n’est commercialisée que si la
masse de sauce qu’elle contient est comprise
entre 560 et 580 grammes.
Calculer la probabilité qu’une bouteille prise au
hasard dans la production soit commercialisée.
c) Déterminer, au gramme près, la masse de sauce
maximale des 20 % des bouteilles les moins rem-
plies.
2. Dans un stock important de bouteilles destinées
aux livraisons en France, on admet que 10 % des
bouteilles contiennent une masse de sauce infé-
rieure ou égale à 565 grammes.
Les bouteilles sont livrées en France par lots de 16.
On prélève au hasard 16 bouteilles de ce stock pour
vérification. Le stock est assez important pour que
l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise de 16 bouteilles.
On considère la variable aléatoire Yqui, à tout pré-
lèvement de 16 bouteilles, associe le nombre de bou-
teilles de ce prélèvement qui contiennent une masse
de sauce inférieure à 565 g.
a) Justifier que Ysuit une loi binomiale dont on
déterminera les paramètres.
b) Calculer la probabilité qu’aucune bouteille de
ce prélèvement ne contienne une masse de sauce
inférieure à 565 grammes.
c) Calculer la probabilité que, dans un tel prélè-
vement, une bouteille au plus, contienne une
masse de sauce inférieure à 565 grammes.
3. Les bouteilles destinées à l’exportation sont condi-
tionnées par colis de 100.
On prélève au hasard 100 bouteilles pour vérifica-
tion dans le stock destiné à l’exportation. Le stock
est assez important pour que l’on assimile ce pré-
lèvement à un tirage avec remise de 100 bouteilles.
Soit Zla variable aléatoire qui, à tout prélèvement
de 100 bouteilles, associe le nombre de bouteilles de
ce prélèvement qui contiennent une masse de sauce
inférieure à 565 g.
Un client s’est récemment plaint que les colis de
100 bouteilles qu’il avait reçus contenaient tous au
moins 20 bouteilles ayant une masse de sauce infé-
rieure à 565 g.
À la place de l’industriel, quelles suites donneriez-
vous à la plainte de ce client ?
Exercice 23
Une usine fabrique en grande quantité des récipients
cylindriques pour les laboratoires.
Le couvercle d’un récipient est conçu pour avoir un
diamètre de 60 millimètres.
Il est non défectueux lorsque son diamètre, exprimé en
millimètres, appartient à l’intervalle [59,93; 60,07].
On note Dla variable aléatoire qui, à chaque récipient
prélevé au hasard dans la production d’une journée,
associe le diamètre, en millimètres, de son couvercle.
On suppose que la variable aléatoire Dsuit la loi nor-
male de moyenne 60 et d’écart type 0,03.
Le tableau ci-dessous donne la probabilité de l’événe-
ment (60−d6D660+d)pour quelques valeurs de d.
Retrouver, à l’aide de ce tableau, une valeur approchée
à10−4près de la probabilité qu’un récipient prélevé au
hasard dans la production ait un couvercle :
1. non défectueux ;
2. de diamètre inférieur à 60,05 mm ;
3. de diamètre supérieur à 59,98 mm.
d0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
P(D∈[60 −d; 60 + d]) 0,2611 0,4950 0,6827 0,8176 0,9044 0,9545 0,9804 0,9923 0,9973 0,9991