Logique

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TD n˚13 : Jeux d’Ehrenfeucht-Fraïssé & décidabilité de l’arithmétique de
Presburger.
Exercice 1 :
Soit F=∅et P={R(2),=(2)}. On définit Anla structure consistant en un anneau orienté.
On note ses sommets s1, . . . , snet on a donc s1R s2R . . . sn−1R snR s1. On considère
S1:= A5et S2:= S1] S1.
1. Montrer que, pour tous sommets b, b0dans le domaine de S2on peut trouver deux
sommets ai, aj∈ S1tels que la fonction hdéfinie par h(ai) = bet h(aj) = b0soit un
isomorphisme partiel de S1dans S2.
2. Qu’en est-il pour 3sommets ? Conclure en exhibant une formule φqui distingue nos
deux structures.
Exercice 2 :
On prend P={R(2),=(2)}, les modèles sont donc des graphes orientés. On souhaite établir
qu’il n’existe pas de formule exprimant la connexité d’un tel graphe.
On se donne un n∈Nquelconque. On pose S1:= A2net S2:= S1] S1. On notera s1
i,
s2
jles sommets de S2dans les copies respectives de S1. On note di(s, s0)la quasi-métrique
(distance non symétrique) entre deux sommets s, s0dans Si. Cette distance est infinie quand
il n’y a pas de chemin de sàs0.
1. Montrer que, pour un jeu à ntours, duplicateur a une stratégie permettant d’assurer
l’invariant suivant : si a1, b1, a2, b2, . . . , ak, bksont les coups joués, alors pour tout i, j
on a :
d1(ai, aj) = d2(bi, bj)si d1(ai, aj)≤2n−k
d2(bi, bj)>2n−ksi d1(ai, aj)>2n−k
2. Montrer que la stratégie de la question précédente est une stratégie gagnante.
3. Conclure.
Exercice 3 :
On considère F={s(1),0(0)},P={=}et la théorie Tengendrée par les axiomes de l’égalité
et : (A1)∀x∀y. s(x) = s(y)→x=y
(A2)∀x. x 6= 0 → ∃y. x =s(y)
(A3)∀x. 06=s(x)
(An
4)∀x. x 6=sn(x)
Soient M1et M2deux modèles de T, de domaines D1et D2. On note di(a, b)la fonction
définie sur Di×Dipar di(a, b) = min{n∈N:a=sn
Mi(b)}. Le minimum est +∞s’il n’y a
pas de tels entiers.
1. Soit i∈ {1,2}. Montrer que pour tout a∈Di,k∈N, on a di(sk(a), a) = k, et que pour
tout a, b, c ∈Di,di(a, b) + di(b, c)<+∞entraîne di(a, b) + di(b, c) = di(a, c).

2. Montrer que pour tout a∈Di,k∈N,di(a, 0Mi)≥k, il existe un b∈Ditel que
a=sk
Mi(b).
3. Construire, pour n∈N, une stratégie gagnante pour le duplicateur dans le jeu de
Erhenfeucht-Fraïssé à nrondes sur M1, M2.
4. Montrer que Test complète.
5. Les axiomes (An
4)sont-ils tous nécessaires pour la complétude ? Peut-on n’en garder
qu’un sous-ensemble fini ?
Exercice 4 :
On s’intéresse ici à la théorie logique du premier ordre des entiers munis de l’addition,
appelée arithmétique de Presburger. Plus précisément, c’est la théorie du premier ordre sur
le language dont l’unique symbole de prédicat est l’égalité et dont les symboles de fonctions
sont l’addition et le zéro, dont les théorèmes sont les formules vraies dans les entiers, i.e. les
formules Φsur ce language telles que pour toute assignation σdes variables libres de Φdans
N,N, σ Φ.
1. Montrez que toute formule peut être transformée en temps polynomial en une formule
équivalente (dans le sens où elle est vraie dans Nssi la formule de départ l’est) dont
les atomes sont de la forme x= 0 ou x+y=z(avec x,y,zdes variables) et sans
quantificateur universel. On appellera une telle formule réduite.
On choisit de coder les entiers en binaire, avec bit de poids fort à droite. On définit une
fonction de décodage ν:{0,1}∗−→ Npar :
ν()=0 ν(0w)=2ν(w)ν(1w) = 1 + 2ν(w)
Remarquez que cette fonction est surjective mais non injective. Soit Vun sous-ensemble de
variables. Les assignations σ:V −→ Nseront codées par des mots sur l’alphabet ΣV=
{0,1}V. Si west un mot sur ΣV, on notera wxla projection sur la composante de x. La
fonction νs’étend en une fonction de Σ∗
Vdans les assignations sur Vpar :
ν(w)=(x7→ ν(wx))x∈V
Si Φest une formule et Vest un ensemble de variables contenant les variables libres de Φ,
on note [Φ]V={w∈Σ∗
V|N, ν(w)Φ}.
2. Montrez qu’une formule Φest vraie dans Nssi [Φ]V ar(Φ) = Σ∗
V ar(Φ) où V ar(Φ) est
l’ensemble des variables libres de Φ.
3. Montrez que pour toute formule Φréduite, il existe un automate fini AΦdont le language
est [Φ]V ar(Φ).
4. Déduisez la décidabilité de l’arithmétique de Presburger. Qu’elle est la complexité de
cette procédure ?