resume probabilite statistique - e

Décembre/2011
Résumé : Compliment de probabilité et de statistique
U.K.M-Ouargla- Elaggoune Hocine- Traitement de signal et Asservissement- 3
ème
Année Electrotechnique 1
Résumé : Compliment de probabilité et de statistique
 Compliment de probabilité
 Notion sur la théorie des ensembles
• Propriétés
!"!"!#"
$
$$
$ %"&"'%"%
(
((
( !"!"&)"*
• Théorème de probabilité totale &)"+*
On posse : ,-.
/
).
0
1
2-.
/
).
3
41
5-.
6
4).
0
1
7-.
6
4).
3
41 ,!2!5!7
• Probabilité conditionnelle
Cette probabilité est nommée « probabilité conditionnelle de 8 sachant 9 est arrivée ».
Si :9; cette probabilité s’écrit :
:<8
9=:8)9 :9
• Formule de Bayes
Soit une expérience aléatoire dont l’ensemble des issues possibles est >'?@A est un ensemble
fini des évènements B
C
'B
D
'B
E
'FF##'B
G
incompatibles tels que leurs unions égales H#
IB
C
G
JKC
H

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ème
Année Electrotechnique 2
On pose :B
J
L
J
; d’où
ML
J
G
J
C
Soit A un évènement qui peut être un résultat d’un évènementB
J
.
On pose :
J
:8 B
J
N  sachantB
J
.
Essayons nous de déterminer les probabilités :B
J
8
N  sachant8.
Pour chaque valeur de OJOon peut écrire l’équation :
:8)B
J
:8:B
J
8
N :B
J
:8 B
J
N 
:8:B
J
8
N L
J
:
J
'FFFF#C
On effectuant la somme de OGO nombres d’équations, on obtient la formule suivante :
:8M:B
J
8
N 
G
J
ML
J
:
J
G
J
Comme :
M:B
J
8
N 
G
J
PQMB
J
8
N
G
J
RCS:8ML
J
:
J
G
J
D’après l’équation (1) :
:B
J
8
N  :B
J
:8 B
J
N 
T:B
J
:8 B
J
N 
G
J
UVWXYZ?[?9\]?^
Terminologie Probabiliste Terminologie ensembliste Symboles et propriétés
Evènement certain Ensemble tout entier
_
Evènement E Sous-ensemble E
`
Evènement contraire de E Sous-ensemble Complémentaire de E
`
a
`
b
Evènement Impossible Sous-ensemble Vide
c
Conjonction de (E
1
et E
2
) Intersection de (E
1
et E
2
) E
1
∩ E
2
Evènements Incompatibles Ensemble disjoints E
1
∩ E
2
= Ø
E
1
ou (non exclusif) E
2
Réunion de (E
1
et E
2
) E
1
U E
2
Réunion de deux Evènements Incompatibles Somme de (E
1
et E
2
) E
1
+ E
2
Alternative : de E ou non E Partition de deux éléments
`
!
`
a
_
Système Exhaustif d'Evènements E
1
, E
2
,…, E
n
,.... Partition Ω = E
1
+E
2
+…+E
n
+...
Implication de (E2 par E
1
) Inclusion de (E
1
et E
2
) E
1
E
2

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Année Electrotechnique 3
 Les variables aléatoires
• Fonction de répartition :
Notée def elle est définie par la probabilité que la variable aléatoire g prenne une valeur
inférieure ou égale à la valeur x : hi:WVjk%i
Cette fonction de répartition a les propriétés suivantes :
• delmdeeng%el
• d!o
•dmo
Pour une VA continue, la fonction de répartition évolue de manière continue de 0 vers 1. Pour
une VA discrète, cette fonction évolue par saut à chaque valeur discrète et reste constante entre
deux valeurs discrètes contigües. C’est une fonction dite « en marches d’escalier ».
Exemple de fonction de répartition de V.A. continue Exemple de fonction de Répartition de V.A. discrète
• Densité de probabilitépppp
eqede
e
r eed!omdmo
st
ut
vw rxy$y
z
ut
• Fonction caractéristique
La fonction caractéristique d’une V.A X est l’espérance mathématique de la fonction ?
JYi
:
{
i
Y r ?
JYi
st
ut
Ui[i
C’est fonction à une variable complexe définie continue quelle que soitY.
a- {
i
| C
b- {
i
mY {
i
b
b
b
b
Y; ({
i
b
b
b
b
Y c’est le conjugué de{
i
Y).
c- }{
i
Y}% {
i
| C'Y#

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Année Electrotechnique 4
d- Si ~\k!j alors : {
i
Y?
JYj
{
i
\Y
f- Par un développement en série on démontre que si tous les moments sont finis on à :
{
i
YC!M•Y
G
G€ A•k
G
‚
G
g- Si ƒ
„
… est dérivable alors on peut écrire :
A•k
G
‚C
•
G
†[
G
{
i
Y
[Y
G
‡
YK|
• La transformée ˆ‰[?:i
Est liée à la fonction caractéristique, par définition :
ˆ‰ r ?
uJ‰i
st
ut
:i[i{
i
m‰
Soit : :i
Š#h
‹
Œ
{
i
m‰ est la transformée inverse par définition :
:iC
D• r ?
J‰i
st
ut
ˆ‰[‰ C
D• r ?
uJYi
st
ut
ˆmY[Y
:iC
D• r ?
uJYi
st
ut
{
i
Y[Y
• Exemples de lois de probabilités
a- Loi de Poison :GfŽ?
u•Ž
<•Ž
G€=
G
 Loi de Gauss •Xf‘
UiC
‘’D•?
u“iuX
D
D‘
D
”
Pour • on l’appelle loi gaussienne centrée réduitef.
UiC
’D•?
ui
D
D
Résultat important :
r ?
ui
D
D
st
ut
[i’D•
c- Loi Exponentielle
Ui•?
u•i
\–?B•;

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Année Electrotechnique 5
d- Loi de Maxwell
Ui—D
•i
D
?
ui
D
D
'i;
Résultat important :
r i?
ui
D
D
st
|
[iC
r i
D
?
ui
D
D
st
|
[i˜•
D
e- Loi Uniforme
• Calcule de lois
a- Définition
g Est une variable aléatoire représentant un courant.
Pour connaître l’énergie dissipée par celui-ci dans une résistance, il faut savoir calculer la
loi™g
š
. Connaissant celle de g (™ caractérise la résistance).
Plus généralement, il est nécessaire de savoir calculer la loi ›e connaissant la loi de la VA X
et la fonction ›#
b- Théorème de transfert
1. X est une variable aléatoire réelle de densité.
œ&…•ž `-œe1rœeee
2. gfŸ un couple aléatoire réel dont la loi a pour densitéef .
¡&…•ž `-¡ef 1r¡ef ef e
c- Théorème d’identification
1. g Est une variable aléatoire réelle de densité.
¢ Est une fonction continue par morceau et p
£¢g
Pour trouver la loi de T on écrit :
œ&…•ž