Loi de probabilité Variable aléatoire

Loi de probabilité
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Variable aléatoire
Exercice 1
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, l’une d’entre-elles porte le numéro 10, deux portent le numéro
5, trois portent le numéro 3 et les autres portent le numéro 1.
L’expérience consiste à extraire au hasard une boule de l’urne et à noter son numéro.
L’univers  de cette expérience est formé de l’ensemble des 10 boules. On s’intéresse aux 4 évènements
suivants qui forment une partition de  :
A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 » ;
A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 » ;
A3 : « la boule extraite porte le numéro 3 » ;
A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 ».
Décrire la loi de probabilité associée.
Exercice 2
Un jeu consiste à lancer un dé. Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un
multiple de 3 et paye le montant indiqué à la banque dans le cas contraire.
a) Donner la loi de probabilité associée au gain (positif ou négatif) pour une partie.
b) Calculer l’espérance et la variance de la loi déterminée ci-dessus.
Exercice 3
Dans une kermesse, un jeu est organisé de la façon suivante : le joueur mise 10 euros puis il réalise un tirage en deux
étapes :
1re étape : le joueur tire au hasard un billet dans un panier. Dans ce panier, on a placé 10 billets marqués « U1 » et 2
billets marqués « U2 ».
2e étape :  Si le joueur a obtenu un billet marqué « U1 », il tire alors un jeton dans une urne U1 où sont placés 10
jetons marqués « Perdant » et 2 jetons marqués « Gagnant ».
 Si le joueur a obtenu un billet marqué « U2 », il tire alors un jeton dans une urne U2 où sont placés 7 jetons marqués
« Perdant » et 5 jetons marqués « Gagnant ».
On note A l’événement : « Le joueur a tiré un billet ‘‘U1’’ ».
On note B l’événement : « Le joueur a tiré un billet ‘‘U2’’ ».
On note G l’événement : « Le joueur a tiré un jeton marqué ‘‘Gagnant’’ ».
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Construire un arbre pondéré qui décrit ce jeu.
2. Calculer la probabilité des événements (G ∩ A) et (G ∩ B).
3. Montrer que la probabilité de l’événement G est égale à 
.
4. Quelle est la probabilité conditionnelle de l’événement A par rapport à l’événement G ? Les événements A et G
sont-ils indépendants ?
5. Avec un jeton gagnant de l’urne U1, le joueur reçoit 25€ ; avec un jeton gagnant de l’urne U2, il reçoit 50€ ; sinon
rien. On notera X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur à l’issue du jeu.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
b) Etablir la loi de probabilité de X.
c) Déterminer son espérance mathématique.
Fiche(1)

Loi de probabilité
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Variable aléatoire − CORRIGE
Exercice 1
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher, l’une d’entre-elles
porte le numéro 10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 3 et les
autres portent le numéro 1. L’expérience consiste à extraire au hasard une
boule de l’urne et à noter son numéro.
L’univers  de cette expérience est formé de l’ensemble des 10 boules. On
s’intéresse aux 4 évènements suivants qui forment une partition de  :
A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 » ;
A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 » ;
A3 : « la boule extraite porte le numéro 3 » ;
A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 ».
Décrire la loi de probabilité associée.
A1 dont la probabilité est 
 ; A2 dont la probabilité   ; A3 dont la probabilité   ; A4 dont la probabilité  .
On peut établir le tableau suivant :
Exercice 2
Un jeu consiste à lancer un dé. Le joueur empoche une somme équivalente au nombre apparu si ce nombre est un multiple de 3 et paye le montant indiqué à la
banque dans le cas contraire.
a) Donner la loi de probabilité associée au gain (positif ou négatif) pour une partie.
Les gains possibles sont les suivants :
La loi de probabilité associée à cette épreuve est
donc :
b) Calculer l’espérance et la variance de la loi déterminée ci-dessus.
En appliquant la formule du cours, l’espérance est :     
L’espérance de cette loi est de . Cela signifie qu’en moyenne, le joueur perd 0,50€.
Calcul de la variance :    
Donc   
La variance de cette loi est 
Exercice 3
Dans une kermesse, un jeu est organisé de la façon suivante : le joueur mise 10
euros puis il réalise un tirage en deux étapes :
1re étape : le joueur tire au hasard un billet dans un panier. Dans ce panier, on a
placé 10 billets marqués « U1 » et 2 billets marqués « U2 ».
2e étape :  Si le joueur a obtenu un billet marqué « U1 », il tire alors un jeton
dans une urne U1 où sont placés 10 jetons marqués « Perdant » et 2 jetons
marqués « Gagnant ».
 Si le joueur a obtenu un billet marqué « U2 », il tire alors un jeton dans une
urne U2 où sont placés 7 jetons marqués « Perdant » et 5 jetons marqués
« Gagnant ».
On note A l’événement : « Le joueur a tiré un billet ‘‘U1’’ ».
On note B l’événement : « Le joueur a tiré un billet ‘‘U2’’ ».
On note G l’événement : « Le joueur a tiré un jeton marqué ‘‘Gagnant’’ ».
Tous les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. Construire un arbre pondéré qui décrit ce jeu.
2. Calculer la probabilité des événements (G ∩ A) et (G ∩ B).
P(G ∩ A) = PA(G)  P(A) = 
 P(G ∩ B) = PB(G)  P(B) = 
3. Montrer que la probabilité de l’événement G est égale à 
.
D’après la formule des probabilités totales : P(G) = P(G ∩ A) + P(G ∩ B)
P(G) = 
4. Quelle est la probabilité conditionnelle de l’événement A par rapport à l’événement G ? Les événements A et G sont-ils indépendants ?
PG(A) = 
P(G ∩ A)  P(G)  P(A), les événements G et A ne sont donc pas indépendants.
5. Avec un jeton gagnant de l’urne U1, le joueur reçoit 25€ ; avec un jeton gagnant de l’urne U2, il reçoit 50€ ; sinon rien. On notera X la variable aléatoire égale au
gain algébrique du joueur à l’issue du jeu.
a) Quelles sont les valeurs prises par X ?
Si le joueur tire un jeton gagnant de l’urne U1, alors X = 25 – 10 = 15.
Si le joueur tire un jeton gagnant de l’urne U2, alors X = 50 – 10 = 40.
Sinon, X = 0 – 10 = -10. Les valeurs prises par X sont donc 15 ; 40 et -10.
b) Etablir la loi de probabilité de X.
P(X = 15) = P(G ∩ A) = 
 ; P(X = 40) = P(G ∩ B) =   ;
P(X = -10) = 1 – P(G) = 1 – 
Loi de probabilité de X :
c) Déterminer son espérance mathématique.
E(X) = 15  
 + 40    – 10    =  .
Valeurs possibles de l’expérience
10
5
3
1
Probabilité correspondante
Face
1
2
3
4
5
6
gain
−1
−2
3
−4
−5
6
gain
−1
−2
3
−4
−5
6
probabilité
Gain 
−1
−2
3
−4
−5
6
Probabilité 
X
15
40
-10
probabilités
Fiche(1)

Loi de probabilité
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Exercice (La Réunion – juin 2007)
Les deux parties sont totalement indépendantes.
Partie A
Soient A, B, C et T quatre évènements associés à une épreuve aléatoire. On note 
l’évènement contraire de l’évènement T. On donne l’arbre de probabilités suivant.
1. Donner la probabilité pA(T) de l’évènement « T sachant que A est réalisé ».
2. Calculer :
a. la probabilité p(B) de l’évènement B;
b. la probabilité pA(
) de l’évènement « non T sachant que A est réalisé » ;
c. la probabilité p(A∩T) de l’évènement « A et T ».
3. On sait que la probabilité p(T) de l’évènement T est : p(T) = 0,3.
a. Calculer la probabilité pT(A).
b. Calculer la probabilité pB(T).
Partie B
Un domino est une petite plaque partagée en deux parties.
Sur chacune des parties figure une série de points.
Il peut y avoir de zéro à six points dans une série.
Un jeu de dominos comporte 28 dominos, tous différents.
Lors d’une fête, on propose le jeu suivant :
• le joueur tire au hasard un domino parmi les 28 dominos du jeu,
• il gagne, en euros, la somme des points figurant sur le domino tiré.
On suppose que tous les dominos du jeu ont la même probabilité d’être tirés
1. Établir la loi de probabilité des gains possibles.
2. Le joueur doit miser 7 (avant de tirer un domino. En se fondant sur le calcul des probabilités, peut-il espérer
récupérer ses mises à l’issue d’un grand nombre de parties ?
Fiche(2)

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Exercice (La Réunion – juin 2007) − CORRIGE
 Partie A
1. Par simple lecture de l’arbre donné dans l’énoncé : pA(T) = 0; 4
2. a) On a : p(A) + p(B) + p(C) = 1
donc p(B) = 1 - p(A) - p(C) = = 1 – 0,2 – 0,7
p(B) = 0,1
b) On a : pA(
) + pA(T) = 1
donc pA(
) = 1 - pA(T) = 1 – 0,4
pA(
) = 0; 6
c) Par définition, pA(T) = 
donc p(A ∩T) = pA(T) ×p(A) = 0,4 × 0,2
p(A ∩T) = 0,08
3) On sait que : p(T) = 0; 3
a) Par définition, pT(A) = 
pT(A) = 
b) Pour calculer pB(T), nous devons calculer tout d’abord P(B ∩ T)
On peut écrire : T = (T ∩ A)  (T ∩ B)  (T ∩C)
A, B, C constituent une partition de l’univers. { T ∩ A}, { T ∩ B }, { T ∩C } constituent une partition de T
Nous pouvons écrire : p(T) = P(T ∩ A) + p(T ∩ B) + p(T ∩ C)
donc : p(B ∩ T) = p(T) - p(T ∩ A) - p(T ∩ C)
=pC(T)×p(C)
ainsi, p(B ∩ T) = 0,3 – 0,08 - pC(T) × p(C)
on a : , p(B ∩ T) = 0,3 – 0,08 – 0,2 × 0,7
donc p(B ∩T) = 0,08
Nous pouvons maintenant calculer pB(T) : par définition, pB(T) = 
Nous pouvons écrire : pB(T) = 
 Partie B
1) Introduisons la variable aléatoire X égale au gain possible, c’est-à-dire la somme des points figurant sur le domino
tiré.
Les différentes valeurs prises par X sont : X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4; 5; … ; 10; 11; 12}
X=k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P(X=k)
Le joueur mise 7€ avant de tirer un domino. Introduisons une nouvelle variable aléatoire T égale au gain algébrique du
joueur (gain algébrique : gain - mise).
Les différentes valeurs prises par T sont : T(Ω) = {-7;-6;-5;-4;-3;-2; … ; 3; 4; 5}
X=k
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
P(X=k)
Calculons l’espérance de T.
E(T) =   
Comme E(T) < 0, le joueur ne peut pas espérer récupérer ses mises
Fiche(2)

Loi de probabilité
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Exercice (Liban – juin 2007)
Les parties A et B sont indépendantes.
Les places d’une salle de cinéma sont toutes occupées. Le film proposé est une rediffusion d’une comédie à grand
succès. Dans cette salle, les hommes représentent 25 % des spectateurs, les femmes 
 des spectateurs et les autres
spectateurs sont des enfants.
 des hommes et 30% des femmes ont déjà vu ce film au moins une fois. À la fin de la projection, on interroge au
hasard une personne sortant de la salle.
On appelle :
H l’événement : « la personne interrogée est un homme »
F l’événement : « la personne interrogée est une femme »
E l’événement : « la personne interrogée est un enfant »
V l’événement : « la personne interrogée avait déjà vu le film avant cette projection »
 l’événement : « la personne interrogée n’avait jamais vu le film avant cette projection ».
La notation p(A) désigne la probabilité de l’événement A.
La notation pB(A) désigne la probabilité de l’événement A sachant que B est réalisé.
Partie A
1. À l’aide des notations ci-dessus, traduire la situation décrite en recopiant et en complétant l’arbre pondéré dont le
départ est proposé ci-dessous. On prendra soin de le compléter au fur et à mesure.
2. (a) Exprimer à l’aide d’une phrase l’événement H ∩ V.
(b) Donner pH(V) et en déduire p(H∩V).
3. La probabilité que l’événement V soit réalisé est égale à 0,345.
(a) Déterminer p(
).
(b) Déterminer la probabilité que si l’on interroge un enfant, il ait déjà vu ce film au moins une fois avant cette
projection.
4. On interroge au hasard et successivement quatre personnes sortant de la salle. On suppose que le nombre de
spectateurs est suffisamment grand pour assimiler l’interrogation au hasard d’un spectateur à un tirage avec remise.
Quelle est la probabilité arrondie à 10−3 près, qu’au moins une personne ait déjà vu le film avant cette projection?
Partie B
À la fin de l’année, une étude nationale a été réalisée sur le nombre de fois qu’un spectateur sortant de la salle est allé
voir ce film. Le tableau ci-dessous, pour lequel il manque une valeur notée q représente la loi de probabilité du nombre
de fois que le spectateur est allé voir ce film.
Nombre de fois
1
2
3
4
5
6
probabilité
0,55
0,15
0,15
0,05
q
0,05
1. Déterminer q.
2. En déduire l’espérance mathématique, arrondie à l’unité de cette loi de probabilité et interpréter le résultat obtenu.
Fiche(3)