Devoir commun de mathématiques 1STG le vendredi 24 avril 2009

Devoir commun de mathématiques 1STG
Nom :
prénom :
le vendredi 24 avril 2009
classe :
Exercice n° 1 :
( 7 points )
Droites dans un plan
Consigne : faire apparaître sur la figure toute lecture graphique
1.
Lire graphiquement une équation de la droite d tracée sur la figure si dessous.
L’ordonnée à l’origine est 2, le coefficient directeur est égal à −3
L’équation de la droite est y = −3x +2
2.
Placer le point A(3 ; 3) et tracer la droite ∆ passant A et de coefficient directeur 0,5.
3.
Soient les points B( 3 ; 0 ) et C( –4 ; 3,5), déterminer une équation de la droite (BC) puis la tracer.
y − yB 3,5−0
• Coefficient directeur : m = C
=
= − 0,5
x C − x B −4−3
L’équation de la droite est du type y =−0,5 x + p
• Les coordonnées de B (3 ;0) vérifient l’équation de la droite donc
0=−0,5×3 + p ⇔ p = 1,5
L’équation de la droite est y=−0,5x +1,5
3x + y = 2
4. Résoudre, par le calcul, le système
x + 2y = 3 .
• En isolant y dans la première équation on a y = 2−3x
{
• En remplaçant dans la seconde, on a : x + 2(2−3x ) = 3 ⇔ −5x +4=3 ⇔ x = 1
5
• En revenant à la première équation : 3× 1 + y = 2 ⇔ y = 2− 3 ⇔ y = 7
5
5
5
La solution du système est (1 ;7 )
5 5
5. Donner une interprétation graphique de la solution du système de la question 4.
Justifier votre réponse.
L’équation 3x +y=2 est équivalente à y=−3x +2 : c’est celle de la droite (d)
L’équation x +2y=3 est équivalente à y = 3−x soit y = − 0,5 x + 1,5 (celle de (BC))
2
La solution du système correspond aux coordonnées du point d’intersection des deux droites.
Exercice n° 2 :
QCM
(6 points)
1. On considère la suite géométrique de premier terme u1 = 3 et de raison 2. Alors u15 est égal à
a) 33
b) 98 304
c) 30
d) 49 152
un = u1 × r n-1 ⇔ un = 3 × 214 =49 152
réponse d)
2. Un somme d’argent de 3000 € est placée à intérêts simples au taux mensuel de 1,2 %. Le capital acquis après
dix mois est égale à :
a) environ 9317,6 €b) 3360 € c) 6036 € d) 3380,1 €
Chaque mois, l’intérêt produit est égal à 1,2 × 3000 = 36
100
Le capital acquis après dix mois est 3000+36×10 = 3360 €
réponse b)
1
3. Un prix P augmente de 20 %, puis baisse de 30 %. Le taux d’évolution global est égal à :
a) – 10 %
b) 60 %
c) 84 %
d) – 16 %
Le coefficient d’évolution global est égal à (1+ 20 )×(1− 30 ) = 0,84
100
100
16
Le taux global est donc égal à 0,84−1=−0,16 = −
réponse d)
100
4. Après augmentation de 10 %, le prix d’un article est de 130 €. Son prix avant augmentation était d’environ
a) 120 €
b) 117 € c) 118 €
d) 143 €
Si y1 est le prix initial, on a l ‘égalité y1 × (1 + 10 )= 130 soit y1 = 130 ≈ 118
100
1,1
réponse c)
5. On donne ci-dessous la répartition des notes des élèves des classes de 1ère STG à un devoir sur 20 :
Note
7
8
12
13
16
Effectif
6
2
2
5
9
La note médiane est égale à
a) 12,5
b) 15
c) 14,5
Il y a 30 élèves. 30 = 15. La médiane est la moyenne des notes de rang 15 et 16, soit
2
13+16 = 14,5
la médiane est 14,5
2
17
6
d) 13
réponse c)
6. En 1ère STG1, la moyenne des tailles des 30 élèves est de 172 cm ; en 1STG2, la moyenne des tailles des 20
élèves est de 176 cm. La moyenne des tailles de l’ensemble des 2 classes réunies est égale à :
a) 173,6 cm
b) 174 cm
c) 174,4 cm
d) on ne peut pas savoir
La somme des tailles de 1STG1 est 30×172 = 5160
Celle des tailles de 1STG2 est 20×176 = 3520
30×172 + 20×176 = 173,6 cm
La moyenne est :
réponse a)
20+30
Exercice n° 3 :
Sortie culturelle ( 5,5 points )
Cotisation FSE
Oui (O)
Non (N)
Total
Sixième (S)
84
21
105
Cinquième (C)
69
46
115
Total
153
67
220
1.
Calculer la fréquence des Oui , puis la fréquence de sixième qui cotisent par rapport à l’ensemble des
élèves qui participent à la sortie culturelle.
f(O) = 153 = 69,54%
69,54 % des élèves cotisent
220
Les élèves de sixièmes qui cotisent représentent 38,18 % des élèves.
f(O ∩ S) = 84 = 38,18 %
220
2. Calculer la fréquence conditionnelle des cotisants par rapport aux classes de sixième.
On cherche fS(O) = effectif de S ∩ O = 84 = 80 %
effectif de S
105
la fréquence des cotisants par rapport aux élèves de sixième est égale à 0,8
3.
Exprimer par une phrase la fréquence fO(C) , puis la calculer.
fo(C) représente la fréquence des élèves étant en cinquième parmi ceux qui ont cotisé.fo(C) = 69 ≈ 0,45
153
La fréquence fo(C) est égale à 0,45
Exercice n° 4 : Lecture graphique
( 7 points)
Le prix moyen du repas est de 121,10 €
1°) a- Déterminer l’image de 0,5 par f. Interpréter le résultat.
f(0,5) = 1
b- Résoudre l’inéquation g ( x ) <1,5. Interpréter le résultat.
L’équation g(x )
1,5 a pour solution les nombres de [1,5 ; 3]
Cg
Cf
Exercice n° 6 :
Scolarité dans un village ( 9 points )
Un village dans un pays en voie de développement comptait, en l’an 2005, trois mille enfants d’âges compris
entre six et onze ans. Seuls 700 d’entre eux étaient scolarisés.
Dans tout cet exercice, on comparera la « population d’âge scolaire », c'est-à-dire le nombre d’enfants dont l’âge
est compris entre six et onze ans, et la « population scolarisée », c'est-à-dire le nombre d’enfants d’âge scolaire qui
sont inscrits à l’école.
La population d’âge scolaire de ce pays augmente de 2 % par an et la population scolarisée augmente de 150 par
an.
c- Résoudre l’équation f ( x ) = g ( x ). Interpréter le résultat.
l’équation f(x ) = g(x ) a pour solution 1 et 4
2°) Interpréter les résultats précédents
On en déduit que : • pour 500 objets vendus, la recette est égale
à 1000 €.
• le coût de production est inférieur ou égal
à 1500 € si on produit entre 1500 et 3000 objets.
• le coût de production est égal à la
recette(donc le bénéfice est nul) pour 1000 objets et
4000 objets vendus.
1.
2°) Dans cette question, on s’intéresse au bénéfice réalisé.
a. Déterminer le nombre d’objets que l’entreprise doit produire et
vendre pour réaliser un bénéfice.
Il faut que la courbe des recettes soit supérieure à celle des coût, ce
qui est la cas sur l’intervalle ]1 ; 4[. Il faut donc que la vente soit
comprise entre 1000 et 4000 objets
2.
b. Déterminer graphiquement le nombre d’objets qui doivent être
produits et vendus pour que le bénéfice soit maximum. Quel est
alors le bénéfice réalisé ?
(Toute recherche même non aboutie sera prise en compte dans la
notation)
Il faut que l’écart entre les deux courbes soit le plus grand possible, la courbe des recettes étant au dessus de celle
des coûts. Ceci est vrai pour 3000 objets, où le cout est de 1500 € et la recette de 6000 €, soit le bénéfice de 4500
€
Exercice n° 5 : Une étoile dans un guide ( 5,5 points)
Au cours de l’année 2008, on a servi 14 400 repas au restaurant « Le Petit Polyte ».
Le gestionnaire a réalisé une étude statistique portant sur le montant des notes.
Les résultats figurent dans le tableau suivant.
Montant des notes
( en euros)
[50 ; 80[
[80 ; 110[
[110 ; 140[
[140 ; 170[
[170 ; 200[
Fréquence
(en %)
12
25
36
18
9
Centre des classes (en
euros)
65
95
125
155
185
Compléter le tableau suivant :
Année
Population d’âge scolaire
2005
3 000
2006
3060
2007
3121
2008
3184
Population scolarisée
700
850
1000
1150
n est un entier positif. On note Pn la population d’âge scolaire de ce pays en l’an 2005 + n et Sn la
population scolarisée en cette même année.
a. Quelles sont les valeurs de P0 et S0 ?
Po = 3000 et S0 = 700
b. Montrer que la suite (Pn) est géométrique. En déduire Pn en fonction de n. Calculer P4.
Pn+1 = Pn × 1,02 c’est donc une suite géométrique car on obtient un terme en multipliant le précédent
toujours par le même nombre (raison : 1,03).
Pn = P0 × rn donc Pn = 3000 × 1,02n
Finalement P4 = 3000 × 1,024 ≈ 3247
c.
Effectif
1 728
3600
5184
2592
1296
1. Justifier l’effectif 1 728 repas :
12% de 14 400 repas, c’est 12 × 14 400 = 1728 repas (ce qui justifie l’effectif de 1 728)
100
2. En considérant le série statistique des centres de classes affectés des effectifs correspondants :
a. Calculer le prix moyen du repas
1728×65+95×3600+5184×125+2592×155+1296×185 = 121,10 €
14400
2
b. En utilisant la calculatrice, déterminer l’écart type de cette série des centres et interpréter le résultat.
On trouve à la calculatrice que l’écart type est égal à 33,58 €
Donc l’écart moyen entre les prix des repas est égal à 31,58 €
Montrer que la suite (Sn) est arithmétique. En déduire Sn en fonction de n. Calculer S4.
Sn+1 = Sn +150 c’est donc une suite arithmétique car on obtient un terme en additionnant 150 au
précédente (raison : 150).
Pn = P0 + n×r donc Pn = 700 + n×150
Finalement P4 = 700+4×150 = 1300
3. Calculer la proportion de la population scolarisée dans la population d’âge scolaire en 2005, 2007 puis
prévoir celle de 2009.
en 2005 → 700 ≈23%
le taux de scolarisation est d’environ 23 %
3000
en 2007→1000 ≈ 32%
le taux de scolarisation est d’environ 32 %
3121
S
en 2009, on calcule 4 = 1300 ≈ 40% le taux de scolarisation en 2009 sera de 40%
P4 3247
4. En s’aidant de la calculatrice, déterminer en quelle année on peut espérer que, pour la première fois, plus de la
moitié de la population d’âge scolaire sera scolarisée.
A l’aide de la calculatrice, on trouve que P7≈ 3446 et S7 =1750
Donc c’est l’année 7, soit en 2012 que plus de la moitié de la population en âge d’être scolarisé le sera.