Les grands théorèmes

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Les grands théorèmes 3
Muni des deux outils fondamentaux que sont la division euclidienne et la décomposition en
facteurs premiers, et du résultat théorique essentiel qu’est le premier théorème d’Euclide, il
est possible d’aborder les problèmes de diviseurs et de multiples communs à deux entiers
naturels. Un processus fondamental, l’algorithme d’Euclide, et son corollaire dû à Bachet
et Bézout permettront d’attaquer théoriquement et informatiquement un certain nombre
de problèmes, comme la résolution des équations diophantiennes du premier degré à deux
inconnues.
Enfin des théorèmes essentiels, comme le petit théorème de Fermat et le théorème chinois,
compléteront l’arsenal de l’apprenti théoricien des nombres et lui permettront d’attaquer
avec succès, voire admirer, quelques exemples d’équations diophantiennes plus ou moins
classiques.
APGCD et PPCM de deux entiers
1Diviseurs d’un entier
Théorème Pour tout couple (a,b)d’entiers naturels de décompositions en
facteurs premiers
a=
k
i=1
pαi
i,b=
k
i=1
pβi
i,
une condition nécessaire et suffisante pour que bdivise aest que chaque exposant
βidans bsoit inférieur ou égal à l’exposant correspondant αidans a.
Remarque • Icilasuite(pi)est une suite finie quelconque d’entiers premiers deux à deux
distincts, et non pas nécessairement la suite des kpremiers nombres premiers.
110 Mathématiques Arithmétique et nombres entiers

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Par ailleurs, les diviseurs premiers de an’ayant aucune raison d’être exactement les diviseurs
premiers de bet réciproquement, la formulation du théorème a étédéfinie de façon àprendre
pour pitous les nombres premiers intervenant dans au moins l’une des deux décompositions
en facteurs premiers des deux entiers, ce qui est possible àcondition d’admettre que certains
exposants αiou βipuissent être nuls, ce qui sera fait désormais.
Démonstration • La condition est clairement suffisante, le quotient exact de apar bétant égal
àc=
k
i=1
pαi−βi
i.
La réciproque résulte de ce que a=bc implique que les diviseurs premiers de cfigurent
parmi les pi, et que l’on dispose des égalités
a=bc =
k
i=1
pβi
i×
k
i=1
pγi
i=
k
i=1
pβi+γi
i,
d’oùαi=βi+γiβipour tout indice ipar unicitéde la décomposition en facteurs
premiers de a.
Théorème Pour tout entier naturel n>1dedécomposition en facteurs pre-
miers n=
k
i=1
pαi
i,l’ensemble div ndes diviseurs de nest l’ensemble des entiers
dqui possèdent une décomposition de la forme d=
k
i=1
pβi
iavec 0 βiαi.
Démonstration • Cela résulte aussitôtduthéorème précédent.
Exemple • Ainsi, les diviseurs de 6! =720 =24.32.5sontlesnombres1,2,3,4,5,6,8,9,10,
12, 15, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 48, 60, 72, 80, 90, 120, 144, 180, 240, 360 et 720.
Corollaire Tout entier naturel n>1dedécomposition en facteurs premiers
n=
k
i=1
pαi
iavec αi>0 pour tout ipossède Ndiviseurs de somme S,où
N=(α1+1)(α2+1)···(αk+1), S=pα1+1
1−1
p1−1
pα2+1
2−1
p2−1···pαk+1
k−1
pk−1
Démonstration • On sait en effet que tout diviseur est de la forme
k
i=1
pβi
ioùles entiers βisont
arbitraires et vérifient 0 βiαi. Cela donne exactement Nnombres tous deux àdeux
distincts (par unicitéde la décomposition).
111Chapitre 3 Les grands théorèmes

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Le calcul de la somme de ces diviseurs se fait par récurrence sur k. La formule de l’énoncéest
vraie pour k=1, car il s’agit simplement de la somme d’une suite géométrique de raison
p1.Silerésultat est exact pour k−1, il le reste pour k. En effet, la somme cherchéeSkest
liéeàla somme précédente Sk−1par l’égalité
Sk=Sk−1+pkSk−1+p2
kSk−1+···+pαk
kSk−1=pαk+1
k−1
pk−1Sk−1,
d’oùle résultat.
Exemple • Ainsi, 6! possède (4+1)(2+1)(1+1)=30 diviseurs, dont la somme est égale à
31 ·13 ·6=2 418, comme on peut d’ailleurs le vérifier directement.
Corollaire Avec les mêmes notations, le produit Pde ces diviseurs vérifie
l’égalité
P2=nN.
Démonstration • La démonstration est analogue àla précédente, mais plus complexe. Cette
relation est presque triviale pour k=1. Pour simplifier les notations, on notera npour
nk−1=
k−1
i=1
pαi
i,Net Pla somme et le produit des diviseurs de n. Il est clair que Ndoit être
remplacépar N=N(αk+1)et npar n=np
αk
k. Comme tous les diviseurs àajouter en
passant de k−1àksont de la forme d.pβk
kavec 0 βkαket d|n, donc au nombre de
αk+1, il en résulte que P2doit être multipliépar le produit des (d.pβk
k)2, donc remplacé
par
P2=P2(αk+1)p2(N+2N+···+αkN)
k=n.pαk
kN(αk+1)=nN
ce qui démontre par récurrence l’égalitéproposée.
Exemple • Ainsi, le produit des 30 diviseurs de 6! est la racine carréede720
30,
soit 72015 =260 ·330 ·515 =7 244 150 201 408 990 671 659 859 968 000 000 000 000 000,
nombre de quarante-trois chiffres (dont les derniers sont quinze zéros), ce que l’on peut
vérifier directement grâce par exemple àun logiciel de calcul formel comme Derive.
Proposition Un nombre naturel pest premier si et seulement si la somme de
ses diviseurs est p+1.
Démonstration • Cela résulte de ce que cette somme est déjàau moins égale àp+1, et qu’elle
lui est strictement supérieure si et seulement s’il existe un diviseur autre que 1 et p.
112 Mathématiques Arithmétique et nombres entiers

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2Diviseurs communs et PGCD
Étant donnés deux entiers naturels aet b,onchercheàdéterminer la nature de l’ensemble
div a∩div bde leurs diviseurs communs.
a. Connaissant maintenant les diviseurs des deux entiers aet b, il est facile de déterminer
leurs diviseurs communs.
Théorème Pour tout couple (a,b)d’entiers naturels de décompositions en
facteurs premiers a=
k
i=1
pαi
i,b=
k
i=1
pβi
i,l’ensemble de leurs diviseurs com-
muns est l’ensemble des entiers admettant une décomposition en facteurs pre-
miers de la forme
k
i=1
pγi
iavec, pour tout indice i,γiαiet γiβi.
Démonstration • C’est clair d’après la description des diviseurs d’un entier donnépar sa
décomposition en facteurs premiers.
Théorème Pour tout couple (a,b)d’entiers naturels de décompositions en
facteurs premiers a=
k
i=1
pαi
i,b=
k
i=1
pβi
i,l’ensemble de leurs diviseurs com-
muns est l’ensemble des diviseurs de l’entier d=
k
i=1
pγi
iavec, pour tout indice i,
γi=min (αi,βi).
Démonstration • C’est clair d’après la description des diviseurs d’un entier donnépar sa
décomposition en facteurs premiers.
Remarque • Puisqu’on y parle de décompositions en facteurs premiers, l’énoncédu théorème
ci-dessus suppose a>1etb>1. Toutefois, on constatera aisément que le résultat reste
exact si a=1oub=1, voire les deux àla fois, puisqu’il suffit alors de prendre tous les αi
(tous les βi) nuls et que div 1 ={1}.
Définition Pour tout couple (a,b)d’entiers naturels aet bnon nuls, on ap-
pelle PGCD (plus grand commun diviseur)deaet b,etl’on note PGCD (a,b),
ou a∧b,oua∩b,voiremême (a,b)l’entier ddéfini par le théorème précédent.
Remarque • Cet entier dest donc, au sens propre, le plus grand diviseur commun àaet àb
puisque dans Ntout diviseur est inférieur ou égal aux nombres non nuls qu’il divise. Tou-
tefois une extension de ce concept proposée plus loin ne permettra plus de garder cette in-
terprétation commode, tout en respectant le nom consacrépar l’usage.
113Chapitre 3 Les grands théorèmes

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Théorème Pour tout couple (a,b)d’entiers naturels aet bnon nuls dont d
est le PGCD, on dispose de l’égalité
div a∩div b=div d.
Démonstration • C’est clair d’aprèsladéfinition et le théorème précédent.
Exemple • Ainsi, le PGCD de 30 576 =24·3·72·13 et de 6 600 =23·3·52·11 est égal
à23·3=24. Les 60 diviseurs de 30 576 et les 48 diviseurs de 6 600 ont en commun les 8
diviseurs de 24, àsavoir 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.
Remarque • Si l’on permet aux entiers aet bd’être négatifs et non nuls, rien ne change si l’on
définit alors le PGCD de aet de bcomme étant celui de |a|et de |b|, puisque les diviseurs
de net de −nsont les mêmes pour tout entier relatif n. Par contre, on imposera au PGCD
d’être toujours positif.
Par ailleurs, si l’on prend b=0 par exemple, l’ensemble des diviseurs de bétant N(ou Z)
toutentier,onvoitquel’intersection des ensembles de diviseurs de aet de 0 est l’ensemble
div a; il est donc normal de poser alors PGCD (a,0)=|a|et, de même, PGCD (0,b)=|b|.
Enfin le cas a=b=0 est tel que l’ensemble des diviseurs communs est N(ou Z) tout
entier. Il est donc normal, et cohérent avec ce qui précède, de poser PGCD (0,0)=0. Toutes
ces extensions seront tacitement admises dans ce qui suit. Il faut toutefois prendre garde à
ce que, dans ces nouvelles conditions, les expressions du PGCD àpartir des décompositions
en facteurs premiers et la remarque selon laquelle le PGCD est bien le ‹‹ plus grand›› diviseur
commun ne sont plus toujours exactes.
b. L’opérateur PGCD possède,enoutredesprécédentes, de nombreuses propriétés. Toutes
les suivantes sont également essentielles àconnaître.
Théorème Pour tout couple (a,b)d’entiers relatifs, on dispose des égalités
a∧b=b∧a,a∧a=a∧0=|a|,a∧1=1
et des relations
div a∩div b=div (a∧b), (a∧b)|a,(a∧b)|b.
Démonstration • C’est clair d’après les résultats et les extensions qui précèdent.
Théorème Pour tout couple (a,b)d’entiers relatifs, on dispose de l’égalité
(a−b)∧b=a∧b.
114 Mathématiques Arithmétique et nombres entiers