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Activité préparatoire
Les nombres complexes
Historiquement, les nombres complexes ont été introduits pour résoudre les équations du troisième degré.
Le but de cette activité est d’introduire les nombres complexes par la résolution des équations de la forme
x3+px +q= 0 .
Cette méthode de résolution n’est pas à connaître.
0.1 Forme des solutions
Soit pet qdeux réels fixés. Supposons qu’il existe des réels uet vvérifiant :
u3+v3=−q
uv =−p
3
Vérifier que le nombre u+vest solution de l’équation x3+px +q= 0 (méthode de Cardan 1501-1576).
0.2 Premier exemple
On considère l’équation
x3−6x−6 = 0 (E1)
1. En utilisant votre calculatrice, donner une conjecture sur le nombre de solutions de cette équation.
2. Étudier le sens de variation de la fonction f:x7→ x3−6x−6. Vérifier votre conjecture puis encadrer
chaque solution par deux entiers consécutifs.
3. On cherche deux réels uet vvérifiant
u3+v3= 6
uv = 2
Démontrer que u3et v3sont solutions de l’équation
X2−6X+ 8 = 0 .
En déduire uet v.
4. Déterminer la valeur exacte de la solution de l’équation (E1).
0.3 Deuxième exemple
On considère l’équation
x3−30x+ 36 = 0 (E2)
1. En utilisant votre calculatrice, donner une conjecture sur le nombre de solution de cette équation.
2. Soit uet vdeux réels tels que
u3+v3=−36
uv = 10
Donner l’équation du second degré associé à ce système. Cette équation admet-elle des solutions ?

3. Pour pouvoir utiliser la méthode de Cardan,Raphaël Bombelli (1526-1573) inventa un nouveau
nombre, dit «imaginaire», noté plus tard ipar Euler et vérifiant i2=−1.
(a) En utilisant ce nombre imaginaire, donner les solutions «imaginaires» de l’équation
X2+ 36X+ 1 000 = 0 .
(b) On obtient u=−3 + iet v=−3−i. En utilisant les mêmes règles de calculs que dans R, et en
utilisant le fait que i2=−1, calculer uv et u3+v3.
(c) Vérifier que u+vest bien solution de (E2).
(d) Factoriser le polynôme x3−30x+ 36 par x−(u+v)puis achever la résolution de (E2).
0.4 Un peu d’histoire
•L’histoire des nombres complexes commencent en pleine renaissance avec des algébristes italiens à propos de
la résolution des équations de degré 3 tel que x3= 15x+ 4.
Les célébrités de l’époque Girolomo Cardano (1501-1576) dit Cardan, Nicolo Tartaglia (1500-1557) et Rafaël
Bombelli (1526-1573) s’opposent dans des défis algébriques mêlés de controverse sordide (accusation de plagia,
de vols de formules, etc...). Citons aussi Scipone Del Ferro, Antonio Maria Fior et Ludivici Ferrari.
•En 1545, Jérôme Cardan publie l’Ars magna, ouvrage d’algèbre considéré comme fondamental au moment de
sa parution.
L’auteur y résout des équations du troisième de degré. Il met au point des règles précédemment connues, du
moins partiellement, par Scipione Del Ferro et Nicolo Tartaglia en développant leurs méthodes.
Par exemple, pour l’équation x3=px +q, où pet qsont des entiers, il découvre que si 4p3−27q260alors le
réel
x=3q
2+q 2
2
−
p
3
3
+3q
2−
q
2
2
−
p
3
3
est une solution.
Principales dates :
Antiquité La résolution des équations du premier et second degré était connue.
Fin 15ième Scipione Del Ferro résout en secret une équation du type x3+ax =b.
1535 Tartaglia résout en secret des équations du type x3+ax =bet x3=ax +b.
1538 Tartaglia livre son secret à Cardan.
1545 Cardan publie la solution dans l’ars magna et soulève une difficulté à son propos mais ne va pas plus loin.
1550 Bombelli redécouvre la même difficulté que Cardan ; il l’a surmonte en introduisant un calcul sur des
imaginaires.
1572 Bombelli publie dans algébra, ses calculs de 1550.
1637 Descartes dans la géométrie appelle les quantités a+b√−1quantités imaginaires ou impossibles.
1746 D’Alembert démontre que toute quantité imaginaire peut s’écrire sous la forme a+b√−1.
Milieu du 18ième Gauss montre qu’un polynôme de degré nadmet nracines de la forme a+b√−1.
1777 Euler introduit le symbole ipour désigner √−1.
1831 Gauss nomme désormais les imaginaires nombres complexes.
Début 19ième Argand et Wessel donnent une interprétation géométrique des nombres complexes.
1867 Hankel redéfinit la notion de nombres complexes.
Fin 19ième La réponse au problème de résolution des équations du type P(x)=0où Pest une fonction
polynôme est donnée par Evariste Gallois.