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Activité préparatoire
Les nombres complexes
Historiquement, les nombres complexes ont été introduits pour résoudre les équations du troisième degré.
Le but de cette activité est d’introduire les nombres complexes par la résolution des équations de la forme
x3 + px + q = 0 .
Cette méthode de résolution n’est pas à connaître.
0.1
Forme des solutions
Soit p et q deux réels fixés. Supposons qu’il existe des réels uet v vérifiant :
¨
u3 + v 3 = −q
uv = − p3
Vérifier que le nombre u + v est solution de l’équation x3 + px + q = 0 (méthode de Cardan 1501-1576).
0.2
Premier exemple
On considère l’équation
x3 − 6x − 6 = 0
(E1 )
1. En utilisant votre calculatrice, donner une conjecture sur le nombre de solutions de cette équation.
2. Étudier le sens de variation de la fonction f : x 7→ x3 − 6x − 6. Vérifier votre conjecture puis encadrer
chaque solution par deux entiers consécutifs.
3. On cherche deux réels uet v vérifiant
¨
u3 + v 3 = 6
uv = 2
Démontrer que u3 et v 3 sont solutions de l’équation
X 2 − 6X + 8 = 0 .
En déduire u et v.
4. Déterminer la valeur exacte de la solution de l’équation (E1 ).
0.3
Deuxième exemple
On considère l’équation
x3 − 30x + 36 = 0
1. En utilisant votre calculatrice, donner une conjecture sur le nombre de solution de cette équation.
2. Soit u et v deux réels tels que
¨
u3 + v 3 = −36
uv = 10
Donner l’équation du second degré associé à ce système. Cette équation admet-elle des solutions ?
(E2 )
3. Pour pouvoir utiliser la méthode de Cardan, Raphaël Bombelli (1526-1573) inventa un nouveau
nombre, dit «imaginaire», noté plus tard i par Euler et vérifiant i2 = −1.
(a) En utilisant ce nombre imaginaire, donner les solutions «imaginaires» de l’équation
X 2 + 36X + 1 000 = 0 .
(b) On obtient u = −3 + i et v = −3 − i. En utilisant les mêmes règles de calculs que dans R, et en
utilisant le fait que i2 = −1, calculer uv et u3 + v 3 .
(c) Vérifier que u + v est bien solution de (E2 ).
(d) Factoriser le polynôme x3 − 30x + 36 par x − (u + v) puis achever la résolution de (E2 ).
0.4
Un peu d’histoire
• L’histoire des nombres complexes commencent en pleine renaissance avec des algébristes italiens à propos de
la résolution des équations de degré 3 tel que x3 = 15x + 4.
Les célébrités de l’époque Girolomo Cardano (1501-1576) dit Cardan, Nicolo Tartaglia (1500-1557) et Rafaël
Bombelli (1526-1573) s’opposent dans des défis algébriques mêlés de controverse sordide (accusation de plagia,
de vols de formules, etc...). Citons aussi Scipone Del Ferro, Antonio Maria Fior et Ludivici Ferrari.
• En 1545, Jérôme Cardan publie l’Ars magna, ouvrage d’algèbre considéré comme fondamental au moment de
sa parution.
L’auteur y résout des équations du troisième de degré. Il met au point des règles précédemment connues, du
moins partiellement, par Scipione Del Ferro et Nicolo Tartaglia en développant leurs méthodes.
Par exemple, pour l’équation x3 = px + q, où p et q sont des entiers, il découvre que si 4p3 − 27q 2 6 0 alors le
réel
Ê
r Ê
r 3 q
3 q
q 2
p 3
q 2
p 3
x=
+
−
+
−
−
est une solution.
2
2
3
2
2
3
Principales dates :
Antiquité La résolution des équations du premier et second degré était connue.
Fin 15ième Scipione Del Ferro résout en secret une équation du type x3 + ax = b.
1535 Tartaglia résout en secret des équations du type x3 + ax = b et x3 = ax + b.
1538 Tartaglia livre son secret à Cardan.
1545 Cardan publie la solution dans l’ars magna et soulève une difficulté à son propos mais ne va pas plus loin.
1550 Bombelli redécouvre la même difficulté que Cardan ; il l’a surmonte en introduisant un calcul sur des
imaginaires.
1572 Bombelli publie dans algébra, ses calculs de 1550.
√
1637 Descartes dans la géométrie appelle les quantités a + b −1 quantités imaginaires ou √
impossibles.
1746 D’Alembert démontre que toute quantité imaginaire peut s’écrire sous la forme a + b −1.√
Milieu du 18ième Gauss montre qu’un polynôme
√ de degré n admet n racines de la forme a + b −1.
1777 Euler introduit le symbole i pour désigner −1.
1831 Gauss nomme désormais les imaginaires nombres complexes.
Début 19ième Argand et Wessel donnent une interprétation géométrique des nombres complexes.
1867 Hankel redéfinit la notion de nombres complexes.
Fin 19ième La réponse au problème de résolution des équations du type P (x) = 0 où P est une fonction
polynôme est donnée par Evariste Gallois.