intro complexesx

APPROCHE HISTORIQUE DE LA NOTION DE NOMBRE COMPLEXE
En 1545 dans son ouvrage l’Ars Magna , essentiellement consacré à la résolution des équations du 3
e
degré,
Cardan (1501 – 1576) expose en les enrichissant des résultats qu’il a empruntés à son rival Tartaglia.
Pour des équations du type x
3
+ p x + q = 0 , si le réel
274 274 23 ×
+
=qp d
est positif alors le réel
33
1
22 d
q
d
q
x−
−
++
−
=
est solution. (Il est bien entendu que Cardan ne disposait pas de cette écriture moderne.)
3
a , encore noté a
1/3
, désigne la racine cubique de a ainsi définie :
3
a = b ⇔ a = b
3
En 1572, dans son ouvrage l’Algebra, Bombelli propose une résolution de l’équation x
3
– 15 x – 4 = 0 à l’aide de
cette formule.
On a d = – 121 et on est alors amené à considérer la racine d’un nombre négatif !
Bombelli a l’audace de transgresser l’interdit et imagine un nombre dont le carré est égal à – 1. Il le note – 1.
En 1637 Descartes lui donne le nom d’imaginaire. Euler déclare que la notation – 1 est absurde car elle conduit à
une contradiction : – 1 ² = 1 et – 1 ² = – 1 × – 1 = (– 1) × (– 1) = 1 = 1 donc – 1 = 1 !
Il introduit en 1777 la notation i pour ce nombre.
En exploitant les règles usuelles de calcul et l’égalité i ² = – 1 on peut écrire :
d = ( 11 ) ² i ² = ( 11 i ) ² donc d =
"
– 121
"
= – 11 i La notation – 121 ne sera plus utilisée par la suite.
(2 + i )
3
= 2
3
+ 3 ×
××
× 2 ² ×
××
× i + 3 ×
××
× 2 ×
××
× i ² + i
3
= 8 + 12 i – 6 – i = 2 + 11 i
(2 – i )
3
= 2
3
– 3 ×
××
× 2 ² ×
××
× i + 3 ×
××
× 2 ×
××
× i ² – i
3
= 8 – 12 i – 6 + i = 2 – 11 i
On en déduit en utilisant la formule de Cardan que l’équation a une solution
x
1
=
3
2 + 11 i +
3
2 – 11 i = 2 + i + 2 – i = 4
Les notations
3
2 + 11 i et
3
2 – 11 i ne seront plus utilisées par la suite.
Ce que l’on vérifie aisément, l’audace a donc payé ! 4
3
– 15 ×
××
× 4 – 4 = 0
Déterminer les réels a et b tels que, pour tous réels x, x
3
– 15 x – 4 = (x – x
1
) (x ² + a x + b)   .
 ⇔
⇔⇔
⇔ x
3
– 15 x – 4 = (x – 4) (x ² + a x + b)
 ⇔
⇔⇔
⇔ x
3
– 15 x – 4 = x
3
+ a x ² + b x – 4 x ² – 4 a x – 4 b
 ⇔
⇔⇔
⇔ x
3
+ 0 x ² – 15 x – 4 = x
3
+ (a – 4) x ² + (b – 4 a) x – 4 b
Cette égalité est vraie pour tout réel x si, et seulement si, a – 4 = 0
b – 4 a = – 15
– 4 b = – 4 égalité des coefficients
On peut également écrire : « Par identification des coefficients : »
Soit a = 4
b = 1
En déduire la résolution dans  de l’équation x
3
– 15 x – 4 = 0 .
On a donc x
3
– 15 x – 4 = 0 ⇔
⇔⇔
⇔ (x – 4) (x ² + 4 x + 1) = 0
⇔
⇔⇔
⇔ x – 4 = 0 ou x ² + 4 x + 1 = 0
Le discriminant de x ² + 4 x + 1 est ∆
∆∆
∆ = 4 ² – 4 = 12
x
3
– 15 x – 4 = 0 ⇔
⇔⇔
⇔ x = 4 ou x = – 4 – 12
2 ou x = – 4 + 12 2
x
3
– 15 x – 4 = 0 ⇔
⇔⇔
⇔ x = 4 ou x = – 4 – 12
2 ou x = – 4 + 12 2
x
3
– 15 x – 4 = 0 ⇔
⇔⇔
⇔ x = 4 ou x = – 2 – 3 ou x = – 4 + 3
L’ensemble des solutions dans   (et dans   également) est S = { – 4 ; – 2 – 3 ;– 2 + 3 }

RAPIDE HISTORIQUE DES NOMBRES COMPLEXES
1535 Tartaglia (1500 – 1557) résout en secret des équations du type x
3
+ a x = b .
1538 Tartaglia livre son secret à Cardan (1501 – 1576).
1545 Cardan publie, dans Ars Magna, les résultats de Tartaglia en s’attribuant la découverte.
Il soulève une difficulté dans la résolution mais ne va pas plus loin.
1550 Bombelli (1526 – 1572) redécouvre la même difficulté que Cardan ; il la surmonte en
introduisant un calcul sur des « imaginaires ».
1572 Bombelli publie, dans Algebra, ses calculs de 1550.
1637 Descartes (1596 – 1650), dans La géométrie, propose l’appellation « quantités imaginaires »,
qualifiées par d’autres mathématiciens de « quantités impossibles » ou encore de « quantités
vides de sens ». C’est la formulation de Descartes qui est encore utilisée de nos jours.
XVIIIe siècle D’alembert (1717 – 1783) , Euler (1707 – 1783) – et Gauss (1777 – 1855) – démontrent
que toute quantité imaginaire peut s’écrire a + b – 1 et qu’un polynôme de degré n admet n
racines qui sont de la forme a + b – 1 (a et b réels).
1777 Euler introduit le symbole i pour désigner – 1.
XIXe siècle Argand (1768 – 1822) et Wessel (1745 – 1818) – entre autres – donnent une interprétation
géométrique des nombres complexes. Cela n’apporte pas de connaissances nouvelles sur ces
quantités mais permet d’en visualiser des propriétés et de démontrer des résultats
géométriques.
1831 Gauss est le premier à nommer « nombres complexes » ces nombres imaginaires.
1835 Hamilton (1805 – 1865) établit une construction moderne des nombres complexes encore en
vigueur de nos jours.
Euler (1707 – 1783) a été un géant des mathématiques, de l’astronomie et de la physique. Il passa la plus
grande partie de sa vie à Saint-Pétersbourg. Sa fertilité est telle que l’édition de ses œuvres complètes,
commencée en 1909, n’est pas encore terminée : elle comprend déjà 72 volumes.
Il devint aveugle à la fin de sa vie, mais cela ne diminua pas sa productivité.