Les nombres complexes

Les nombres complexes.
Un peu d’histoire.
C’est au XVI ème siècle que les mathématiciens italiens de la Renaissance sont parvenus à résoudre des
équations du 3ème et 4ème degré. Pour calculer certaines racines réelles de ces équations, ils ont du imaginer des
nombres qui n’étaient pas réels.
C’est Jérôme Cardan qui le premier s’attaque sérieusement au problème : Il publie en 1545 L’Ars Magna
livre essentiellement consacré à la résolution des équations du 3ème degré dans lequel il expose en les
enrichissant des résultats emprunté à son rival Tartaglia.
On montre facilement que toute équation du 3ème degré c’est à dire du type ax3 + bx2 + cx + d = 0 peut se
mettre sous la forme x3 = px + q ou ce qui revient au même sous la forme x3 – px – q = 0.
Dans L’Ars Magna, Cardan s’attaque à la résolution des équations du type x3 = px + q avec p et q positifs.
Exemple 1. Résoudre dans , x3 = 18 x + 35 (E)
1° Résolution graphique : Comme x3 = 18 x + 35  x3 – 18 x – 35 = 0, nous allons étudier la fonction f
définie sur  par f(x) = x3 – 18 x – 35.
a) Dérivée : f ’(x) = 3 x2 – 18 = 3 (x2 – 6)
= 3(x – 6)(x + 6)
b) Tableau de variation.
x
–  – 6 6 + 
f ' (x)
+
–
+
f (x)
– 5,6 + 
–  – 64, 4
Courbe représentative
Graphiquement il semble que cette équation admette le réel 5 pour solution unique.
2° Vérification algébrique.
Cardan calcule f(5) : f(5) = 53 – 18 × 5 – 35 = 125 – 90 – 35 = 0 ;
Il peut donc factoriser f(x) en mettant (x – 5) en facteur.
En posant la division euclidienne, il obtient
f(x) = x3 – 18 x – 35 = (x – 5)(x2 + 5x + 7)
x2 + 5x + 7 = 0 n’a pas de solution dans  puisque son discriminant est strictement négatif ; Cardan vient
donc de montrer par le calcul que 5 est l’unique solution dans  de l’équation :
(E) x  IR, x3 – 18 x – 35 = 0.

Exemple 2. Résoudre dans , x3 = 6 x + 4 (F).
1° Résolution graphique. x3 = 6 x + 4  x3 – 6 x – 4 = 0. Étudions la fonction f : x  x3 – 6 x – 4.
c) Dérivée : f ’(x) = 3 x2 – 6 = 3 (x2 – 2)
= 3(x – 2)(x + 2)
d) Tableau de variation.
x
-  - 2 2 + 
f ' (x)
+
–
+
f (x)
1,66 + 
–  – 9,66
Courbe représentative
Graphiquement il semble que l’équation (F) admette trois solutions puisque la courbeC f coupe trois fois l’axe
des abscisses. L’une des solutions semble être l’entier relatif – 2
2° Vérification algébrique.
Cardan calcule f(– 2) : f(– 2) = (– 2)3 – 6 × (– 2) – 4 = – 8 + 12 – 4 = 0 ;
Il peut donc factoriser f(x) en mettant (x + 2) en facteur.
En posant la division euclidienne, il obtient :
f(x) = (x + 2)(x2 – 4x + 8)
Il espère factoriser le second facteur pour trouver les deux autres solutions.
Pour arriver à ses fins il le met sous forme canonique : x2 – 4x + 8 = (x – 2)2 + 4
Et la surprise ! Il ne peut pas factoriser, pourtant il sait par la résolution graphique que
l’équation (F) admet trois solutions.
Mais Jérôme Cardan n’est pas homme à renoncer au premier obstacle!
Il imagine un nombre qui ne serait pas réel puisque son carré serait – 1 pour pouvoir continuer à factoriser.
Ce nombre sera baptisé imaginaire bien des années plus tard par Descartes en 1637 et noté i par Leonhard Euler
en 1777.
En fait Cardan décide de travailler dans un ensemble contenant   { }
i dans lequel nous pouvons appliquer
les règles de calcul de l’addition et de la multiplication dans .
C’est en 1831 que Gauss baptisera cet ensemble : ensemble des nombres complexes et le notera 
Revenons en 1545. Nous utiliserons la notation i qui n’existait pas à l’époque. Cardan s’apprête à factoriser :
(F’) (X – 2)2 + 4 = 0  (X – 2)2 – 4i2 = 0  (X – 2 – 2i)(X – 2 + 2i) = 0.

Dans  l’équation (F’) admet deux solutions 2 + 2i et 2 – 2i
Après avoir vérifié que (–1 + i)3 = 2 + 2i et que (–1 – i)3 = 2 – 2i, Cardan conclu que :
–1 + i et –1 – i sont les solutions dans  du système {a3 + b3 = 4 ;a3b3 = 8
En posant a = –1 + i et b = –1 – i, il obtient a + b = –2 .
–2 est un réel et c’est bien l’une des solutions de l’équation : (F) x3 – 6 x – 4 = 0, vérifiez le.
Achever la résolution de l’équation.
Cardan renonça à publier sa découverte qui risquait de provoquer un tollé. C’est Bombelli qui eut le courage
de s’en charger en 1572 dans son livre Algébra.